Modèles pour des durées de survie.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Modèles pour des durées de survie."

Transcription

1 Survie 1 Modèles pour des durées de survie. Catherine Huber Partie I Introduction 1 Quelques exemples Le terme de durée de survie est employé de manière générale pour désigner le temps qui s écoule jusqu à la survenue d un événement particulier qui n est pas forcément la mort : il peut s agir par exemple d une rechute et la durée de survie est, dans ce cas, un délai de rémission, ou de la guérison, et la durée de survie représente alors le délai qui sépare le diagnostic de la guérison. Dans le domaine biomédical, les deux objectifs principaux de l analyse des durées de survie sont les suivants: 1. Lors d un essai thérapeutique, il s agit de tester l efficacité d un nouveau traitement en comparant les durées de survie qu il permet d obtenir à celles que donne le traitement habituel (ou un placebo). 2. Lors d une étude épidémiologique, il s agit d évaluer la valeur pronostique d un ou plusieurs facteurs, soit sur la durée de survie, soit sur le délai de survenue d une maladie. Dans un cas comme dans l autre, les modèles employés et les méthodes correspondantes sont essentiellement les mêmes. Exemple 1 (Données de Freireich) : Freireich, en 1963, a fait un essai thérapeutique ayant pour but de comparer les durées de rémission, en semaines, de sujets atteints de leucémie selon qu ils ont reçu ou non du 6 M-P (le groupe témoin a reçu un placebo et l essai a été fait en double C. Huber Partie I

2 1 QUELQUES EXEMPLES Survie 2 aveugle). Durée de rémission, en semaines, selon le traitement: 6M-P 6, 6, 6, 6 +, 7, 9 +, 1, 1 +, 11 +, 13, 16, 17 +, 19 +, 2 +, 22, 23, 25 +, 32 +, 32 +, 34 +, Placebo 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23. Les nombres suivis du signe + correspondent à des patients qui ont été perdus de vue àladateconsidérée. Ils sont donc exclus vivants de l étude et on sait donc seulement d eux que leur durée de survie est supérieure à celle indiquée. Par exemple, le quatrième patient traité, par 6 M-P a eu une durée de rémission supérieure à6 semaines, alors que les trois premiers ont eu une durée de rémission égale à 6 semaines. On dit que les perdus de vue ont été censurés, etceproblème de la censure demande un traitement particulier. En effet si l on se contentait d éliminer les observations incomplètes c est-à-dire les 12 patients censurés du groupe traité par le 6 M-P on perdrait beaucoup d information car on ne tiendrait pas compte des patients qui ont justement les durées de rémission les plus longues. Par exemple un test de Wilcoxon appliqué aux 9 patients restants dans le groupe 6 M-P et aux 21 patients du groupe Placebo sous-évaluerait l effet du traitement très visiblement. Exemple 2 (Données de Embury et al: leucémie) : Il s agit d un essai thérapeutique destiné à vérifier l efficacité d un traitement chimiothérapique d entretien pour des patients atteints de leucémie aiguë de la moelle épinière (AML pour Acute Myelogenous Leukemia), conduit à Stanford par Embury et al. Après avoir atteint un stade de rémission grâce à un traitement chimiothérapique, les patients ont été randomisés en deux groupes: l un reçoit un traitement chimiothérapiqe d entretien, l autre un placebo. Les durées de rémission complète, en semaines, sont les suivantes: Groupe traité: 9, 13, 13 +, 18, 23, 28 +, 31, 34, 45 +, 48, Groupe non traité: 5, 5, 8, 8, 12, 16 +, 23, 27, 3, 33, 43, 45. Exemple 3 (Données de Brown: cancer) : Il s agit de la comparaison de deux traitements contre un cancer: un essai thérapeutique a été mené chez des patients atteints de cancer, assignés aléatoirement à deux groupes, l un traité par A, l autre traité par B: Groupe A : Groupe B : On remarque que, dans cet exemple il n y a pas d ex-aequo. En principe, le temps étant continu, il ne devrait jamais y avoir d ex-aequo. Cependant, comme la précision avec C. Huber Partie I

3 2 CINQ FONCTIONS ÉQUIVALENTES Survie 3 laquelle les durées sont données est limitée, l unité de mesure étant le jour, la semaine ou le mois, ou même parfois l année, en pratique, on a souvent des ex-aequo. Comme la théorie mathématique (convergence et normalité asymptotique des estimateurs et des tests), est faite pour le temps continu, il importe de savoir comment traiter ces ex-aequo. Nous verrons qu il y a plusieurs façons de le faire. Deux exemples tests (pour faire les calculs directement) : La présentation des deux jeux de données suivants est différente. C est celle qui permet un traitement mathématique et informatique des données en introduisant une variable qui est l indicateur de censure: quand la variable de censure vaut, c est qu il y a un +, et quand elle vaut 1 c est qu il n y en a pas. Exemple test 1: Dans le premier cas, on a les durées, les indicateurs de censure et les indicateurs de traitement. temps censure traitement Exemple test 2: Dansledeuxième cas, on a comme première variable les dates de début et de fin. temps (1, 2] (2, 3] (5, 6] (2, 7] (1, 8] (7, 9] (3, 9] (4, 9] (8, 14] (8, 17] censure traitement Cinq fonctions équivalentes Cinq fonctions équivalentes définissent la loi de la durée: Supposons que la durée de survie X soit une variable positive ou nulle, et absolument continue. Alors sa loi de probabilité peut être définie par l une des fonctions suivantes: 1. La fonction de survie S Par définition S(t) =P{X t}, t ; (1) Pour t fixé c est la probabilité de survivre jusqu à l instant t. 2. La fonction de répartition F La fonction de répartition (f.r. ou c.d.f en anglais pour cumulative distribution function) est F (t) =P{X <t} =1 S(t) (2) Pour t fixé, c est la probabilité de mourir avant l instant t. C. Huber Partie I

4 2 CINQ FONCTIONS ÉQUIVALENTES Survie 4 Remarque Il est arbitraire de décider que S(t) =P (X t) ous(t) =P (X >t) entraînant du même coup que F (t) =1 S(t) vautf (t) =P (X <t)ouf (t) =P (X t). Lorsque la loi qui régit X est continue, cela n a aucune importance car ces deux quantités sont égales: P (X > t) = P (X t) et P (X < t) = P (X t). Cependant, dans les cas où S et donc F ont des sauts, ce qui arrive lorsque le temps est discret, compté en mois ou en semaines par exemple, on a quelquefois avantage à adopter la notation suivante qui évite toute ambiguïté: S (t) = P (X t) S + (t) =P (X >t) F (t) = P (X <t) F + (t) =P (X t) les limites à gauche (S et F )etàdroite(s + et F + ) de ces fonctions. On remarque que S S + F F + 3. La densité de probabilité f C est une fonction f(t) telle que pour tout t F (t) = t f(s)ds. (3) Si la fonction de répartition a une dérivée au point t alors P(t X<t+ dt) f(t) = lim = F (t) = S (t). (4) dt dt Pour t fixé, la densité de probabilité caractérise la probabilité demourirdansun petit intervalle de temps après l instant t. 4. Le taux d incidence ou risque instantané )h Le risque instantané est aussi très souvent appelé le taux de hasard (c est un anglicisme) est défini comme h(t) = lim dt P(t X<t+ dt X t) dt = f(t) S(t), (5) pour t fixé, caractérise la probabilité de mourir dans un petit intervalle de temps après l instant t, conditionnellement au fait d avoir survécu jusqu à l instant t. Aussi cela signifie-t-il le risque de mort instantané pour ceux qui ont survécu. 5. Le taux de hasard cumulé H C est l intégrale du taux de hasard h: H(t) = t C. Huber Partie I h(u)du = ln{s(t)}. (6)

5 3 LES TROIS TYPES DE CENSURE Survie 5 On peut déduire la fonction de survie du taux de hasard cumulégrâce àlarelation: S(t) =exp{ H(t)} =exp{ t h(u)du}. (7) N importe laquelle des fonctions ci-dessus peut être obtenue à partir de l une quelconque des autres. Quelques quantités associées à la loi de la survie: 1. Les quantiles de la durée de survie Pour <p<1, on définit le quantile t p et la fonction q(p) p (, 1) comme t p q(p) =inf{t : F (t) p}. (8) Quand F (t) est strictement croissante et continue alors t p = q(p) =F 1 (p), <p<1. (9) Pour p fixé, le quantile t p est le temps auquel une proportion p de la population adisparu. 2. Moyenne et variance de la durée de survie Le temps moyen de survie E(X) ainsi que sa variance Var(X) sont des quantités importantes: E(X) = S(t)dt, Var(X) =2 ts(t)dt {E(X)} 2. La moyenne et la variance peuvent être déduites de n importe laquelle des cinq fonctions ci-dessus (F, S, f, h, H), mais pas vice versa. 3 Les trois types de censure 1. Censure de type I : fixée Au lieu d observer les variables X 1,...,X n qui nous intéressent, on n observe X i que lorsque X i est inférieur ou égal à une durée fixée C, X i C, sinon on sait seulement que X i est supérieur à C. On note aussi T i = X i C. (le signe signifie : a b =min(a, b), la plus petite des deux valeurs a et b). 2. Censure de type II : attente On décide d observer les durées de survie des n patients jusqu à ce que r d entre eux soient décédés et d arrêter l étude à ce moment là. Si l on ordonne les durées de survie X 1,...,X n,soitx (1) la plus petite, X (i) la ième etc... : X (1) X (2) X (n) C. Huber Partie I

6 3 LES TROIS TYPES DE CENSURE Survie 6 On dit que les X (i) sont les statistiques d ordre des X i. La date de censure est alors X (r) et on observe: T (1) = X (1) T (2) = X (2) T (r) = X (r) T (r+1) = X (r)... T (n) = X (r) 3. Censure de type III : aléatoire Achaquepatienti, associons non seulement son temps de survie X i mais aussi son temps de censure C i.onn observeraévidemment que le plus petit des deux, c est-à-dire T i = X i C i Mais on peut supposer que, tout comme les Xi, les Ci sont indépendantes et équidistribuées (iid) de fonction de répartition G. On fait l hypothèse que : C i et X i sont indépendantes. Alors pour le ième patient, l information dont on dispose peut être résumée par: - la durée réellement observée T i - un indicateur D i du fait qu à l issue de cette durée d observation le patient est : - mort : D i = 1 - censuré :D i =. La censure aléatoire, lors d un essai thérapeutique peut avoir plusieurs causes: (a) Perte de vue : le patient peut décider d aller se faire soigner ailleurs et on ne le revoit plus. (b) Arrêt du traitement : le traitement peut avoir des effets secondaires si désastreux que l on est obligé d arrêter le traitement. (c) Fin de l étude : l étude se termine alors que certains des patients sont toujours vivants. patients A1 A2 A3 B1 B3 B Temps C. Huber Partie I

7 4 LE PROCESSUS PONCTUEL N(T ) Survie 7 Figure 1: Exemple: 3 patients. La figure 1 représente le suivi de trois patients. Le premier est entré audébut de l étude et il est mort àladatex 1 =6. Ledeuxième était toujours vivant à la fin de l étude, qui a eu lieu au temps 1. Il est donc censuré ent = 1. Et le troisième patient a été perdu de vue avant la fin de l étude. Il a donc été censuré au temps t =7. Remarque : L hypothèse d indépendance de X i et de C i est utile mathématiquement. Il est important de voir si elle se justifie. Dans les cas où la censure est due àun arrêt du traitement, elle n est pas vérifiée. Notation : Par abus de notation, lorsqu on ordonne les durées de survie (T i,d i ) selon les valeurs croissantes des T soit : T (1) T (2) T (n) On notera D (i) l indicateur de censure associé à T (i). 4 le processus ponctuel N(t) L étude des durées de survie peut être abordée d une autre façon: Au lieu de considérer X, la durée étudiée, qui est une variable aléatoire réelle positive, généralement continue, de densité f, fonction de répartition F et fonction de survie S =1 F,onreprésente l expérience par le processus ponctuel associé N(t), qui vaut tant que l événement n a pas eu lieu et 1 après, c est àdire N(t) =1{X t}, t. (1) La considération de ce processus fait intervenir naturellement les deux fonctions h et H quenousavonsintroduitesenplusdef, S et f, qui sont respectivement le taux d incidence instantané ou fonction de risque, h, et la fonction de risque cumulée H h(t) = f(t) S(t) H(t) = t h(u)du. (11) Bien que chacune de ces cinq fonctions (F, S, f, h, H) caractérise à elle seule la loi de N, la plus intéressante est h car elle est une description probabiliste du futur immédiat du sujet encore vivant et reflète des différences entre les modèles souvent moins lisibles sur les fonctions de survie, ou fonctions de répartition. Remarquons que ce taux instantané de mort est déterministe, le taux cumulé H est lui aussi déterministe. C. Huber Partie I

8 4 LE PROCESSUS PONCTUEL N(T ) Survie 8 Figure 2: Les deux représentations de la durée de survie x. Considérons maintenant la durée de vie sous l aspect d un processus ponctuel, N(t) qui saute d une unité autempst = x lorsque la variable aléatoire X vaut x. P (dn(t) =1 N(t )=) = h(t)dt P (dn(t) =1 N(t )=1) = que l on peut aussi écrire : P (dn(t) =1 N(t )) = h(t)dt avec probabilité S(t) = avec probabilité 1 S(t). L intensité λ(t) du processus à l instant t est aléatoire: où λ(t) =Y (t)h(t) Y (t) =1{t T } est l indicateur de présence du sujet juste avant l instant t. L intensité cumulée du processus ponctuel N est elle aussi une quantité aléatoire qui vaut, en adoptant la notation usuelle min(t, X) =t X : Λ(t) = t λ(u)du = t Y (u)h(u)du = H(t X). (12) A chaque instant t et conditionnellement à l ensemble Ft des événements du passé immédiat, c est à dire ayant eu lieu jusque juste avant t, l accroissement du processus N sur un intervalle de temps infinitésimal ]t, t + dt] est une variable de Bernoulli qui vaut 1 avec la probabilité f(t) =h(t) dt et avec la probabilité q(t) =1 h(t) dt : dn(t) = 1 avec probabilité f(t) = λ(t) dt = Y (t)h(t) dt = avec probabilité q(t) =1 λ(t) dt =1 Y (t)h(t) dt. C. Huber Partie I

9 4 LE PROCESSUS PONCTUEL N(T ) Survie 9 Conditionnellement à F t, l espérance de dn(t) est donc λ(t) dt et sa variance est aussi λ(t) dt car pq = λ(t) dt(1 λ(t) dt) est équivalent à λ(t) dt. Exemple. Considérons l exemple le plus simple qui est celui d une durée exponentielle de paramètre θ, c est à dire dont le taux instantané est constant et vaut θ.alors, pour tout t f(t) = θe θt S(t) = e θt h(t) = θ H(t) = θt. L intensité cumulée (aléatoire) vaut: Λ(t) =θ(t X) et la différence entre le processus ponctuel N et l intensité cumulée Λ est une martingale M : N(t) Λ(t) =M(t) On appelle Λ le compensateur prévisible de N car il est déterminé parft alors que M(t) est un processus qui, conditionnellement à Ft, est d accroissement nul en moyenne : c est une martingale, E[dM(t) F t ]=E[dN(t) h(t)dt F t ]=. processus theta t H(t) N(t) M(t) temps Figure 3: Les trois processus N, M et H dans le cas simple exponentiel. Exemple. Si à l exemple précédenton ajoute unecensuredroitec, c est à dire que l on observe, au lieu de X, la durée T =min(x, C),notée X C, ainsi que l indicatrice de C. Huber Partie I

10 4 LE PROCESSUS PONCTUEL N(T ) Survie 1 mort D =1{X C}, qui est nulle si c est la censure au lieu de la variable d intérêt qui est observée, alors l indicatrice de présence à risque du sujet est : Y (t) =1 { t X C}. Si de plus on a une troncature gauche U, c est àdirequex n est observée que si X excède U, sinon le sujet n est même pas répertorié, alors l indicatrice de présence à risque devient : Y (t) =1 {U t X C}. Notations Supposons que l on ait n patients, indexés par i =1,,n. A chaque patient correspond un indicateur Y i (t) deprésence àrisqueà l instant t et un processus ponctuel d événement N i (t), Y i (t) =1{T i t} (13) N i (t) =1{T i t, D i =1} (14) Si le taux instantané demorth i (t) dusujeti est le même pour tout i, soit h i (t) =h(t) t, (15) on a un n-échantillon. On note Y la somme des processus Y i (t) deprésence àrisque, et N la somme des processus N i (t) d événement: Y (t) = N(t) = n Y i (t). (16) i=1 n N i (t). (17) i=1 C. Huber Partie I

11 1 ESTIMATEUR DE NELSON-AALEN Survie 11 Partie II Sans Modèle: Approche Non Paramétrique. Si l on ne fait aucun modèle, les deux estimateurs les plus importants sont: l estimateur de Nelson-Aalen, Ĥ NA du taux de hasard cumulé, l estimateur de Kaplan-Meier ŜKM de la fonction de survie. 1 Estimateur de Nelson-Aalen du taux cumulé: 1.1 Définition Cet estimateur de H est fondé sur la remarque suivante: H(s + ds) H(s) h(s)ds = P (événement dans (s, s + ds) àrisqueens) Il est naturel d estimer cette quantité par[n(s + ds) N(s)]/Y (s). En sommant ces quantités sur les intervalles de (,t] et en faisant tendre ces intervalles vers, de telle sorte que chacun ne contienne qu un seul événement, on obtient l estimateur de Nelson-Aalen: t dn(s) Ĥ(t) = (18) Y (s) qui peut aussi s écrire, puisqu il n y a que des sauts: Ĥ(t) = {i:t i t} N(t i ) Y (t i ) où N(t i ) m(t i ) est le nombre des décès à l instant t i et Y (t i ) r(t i )lenombredes sujets à risque juste avant cet instant. L estimateur de Nelson-Aalen est une fonction en escalier qui a un saut de taille m(t i )/r(t i )à chaque instant de mort t i. On choisira donc la plus simple des trois écritures: Ĥ(t) = {i:t i t} (19) m(t i ) r(t i ). (2) car les trois équations (18), (19), (2) représentent la même quantité. Les deux premières sont utiles lorsqu on utilise l approche des durées de survie par les processus ponctuels. C. Huber Partie II

12 1 ESTIMATEUR DE NELSON-AALEN Survie Exemple 4: les données de Nelson-Aalen Exemple N-A (Données de Nelson et Aalen) : Il s agit de la durée de vie de ventilateurs, en nombre de milliers d heure de fonctionnement. La question qui se posait était de savoir si la fonction de risque h était décroissante dans le temps. Les durées sont en milliers d heures. durées censure Si on appelle t 1 le premier instant de mort (ici: panne), t 2 le second, etc.., on calcule Ĥ(t),pourt supérieur ou égal à la plus grande valeur observée, qui est de 87 5 heures, comme Ĥ(t) = Nombre de pannes en t 1 Nombre de ventilateurs àrisqueent 1 Nombre de pannes en t + 2 Nombre de ventilateurs àrisqueent 2 +etc... = Nombre de pannes en 4.5 Nombre de ventilateurs à risque en Nombre de pannes en 87.5 Nombre de ventilateurs à risque en 87.5 = = Deux interprétations de l estimateur de Nelson-Aalen On peut interpréter de deux façons différentes l estimateur de Nelson-Aalen: C. Huber Partie II

13 1 ESTIMATEUR DE NELSON-AALEN Survie Ĥ(t) estime le nombre moyen de pannes pour un élément unique perpétuellement à risque sur l intervalle de temps (t]. Pour l exemple des ventilateurs, cela signifie le nombre moyen de pannes attendu lorsqu on fait fonctionner un ventilateur pendant un nombre de milliers d heures égal à t en le remplaçant chaque fois qu il tombe en panne par un autre ventilateur qui a le même taux de panne instantané que celui qui a été remplacé, c est à dire qui a déjà fonctionné exactement le même nombre de milliers d heures que celui qu il remplace. (On appelle cela en fiabilité le protocole de réparation minimale ). 2. La pente de Ĥ(t) estime le risque instantané h. Leproblème posé par l estimation de h est comparable à celui de l estimation d une densité: tout comme la fonction de répartition empirique, l estimateur Ĥ(t) deh est une fonction en escalier. Il faut donc la lisser pour estimer h, qui est la pente de cette fonction. L objectif initial de l étude étaitdesedemandersilerisqueinstantanédécroît au cours du temps. Exercice 1 On fait l hypothèse que la durée de vie des ventilateurs a un risque instantané constant, égal à θ. 1. Estimer θ. 2. Tracer sur un même graphique l estimateur non-paramétrique du risque cumulé des ventilateurs. l estimateur du risque cumulé sous l hypothèse que la durée de vie suit une loi exponentielle. 1.4 Estimation de la variance de l estimateur de Nelson-Aalen L accroissement t N(t) =N(t + t ) N(t), qui est le nombre des événements dans un court intervalle de temps t suit approximativement une loi de Poisson de paramètre h(t)t. Or, pour une variable aléatoire de Poisson, le nombre moyen des événements est le produit du taux par le temps et par le nombre à risque. Conditionnellement au passé, t N(t) est de Poisson de moyenne et de variance toutes les deux égales à Donc t+t t Y (s)h(s)ds Y (t)h(t)t. Var [ t N(t) ] h(t)t Y (t) Y (t) C. Huber Partie II

14 2 ESTIMATION DE S Survie 14 qui peut être estimée par Var t N(s) Y (s) = t N(s) Y 2 (s) ce qui donne finalement pour estimateur de la variance de Ĥ(t): Var [Ĥ(t]] = N(t i ) i:t i t Y 2 (t i ). (21) qui peut s écrire aussi, en utilisant la notation simplifiée précédente (m(t i )etr(t i )pour les nombres de décès et de sujets àrisqueà l instant t i ): Var [Ĥ(t]] = m(t i ) (22) r 2 (t i ) i:t i t Exemple des durées de rémission de Freireich pour 6-MP: Rechutes Durées t terme Ĥ(t) σ(ĥ(t)) / / / / / / / Exercice 2: Calculer l estimateur de Nelson-Aalen du risque cumulépourlesventilateursdenelson- Aalen et tracer la courbe correspondante en fonction du temps. Faire de même pour les données d Embury et celles de Brown. Exercice 3: Démontrer que l estimateur de Nelson-Aalen du risque cumulé alapropriété suivante: n n Ĥ(T i )= N i. i=1 i=1 2 Estimation de la fonction de survie Si l on ne peut pas supposer a priori que la loi de la durée de survie obéit àunmodèle paramétrique, on peut estimer la fonction de survie S grâce à plusieurs méthodes non-paramétriques dont la plus intéressante est celle de Kaplan-Meier. Nous allons cependant donner d abord l estimateur de Harrington et Fleming car il se déduit immédiatement de l estimation du taux cumulé. C. Huber Partie II

15 2 ESTIMATION DE S Survie Estimateur de Harrington et Fleming de S:ŜHF C est l estimateur qui découle de l estimateur de Nelson-Aalen du risque cumulé H en utilisant la relation S = exp( H): Ŝ HF =exp( Ĥ NA ) (23) Grâce à la delta-méthode,on rappelle que, sous des conditions de régularité de la fonction f, Var (f(y )) f 2 (E(Y ))Var (Y )), on peut obtenir un estimateur de la variance de cet estimateur:ici la fonction f est l exponentielle, de dérivée f = f et donc Var (Ŝ) =Ŝ2 Var (Ĥ) Var S NA (t) =exp( 2 i m(t i ) r(t i ) ) i m(t i ) r(t i ) 2. (24) 2.2 Estimateur de Kaplan-Meier de S:ŜKM Cet estimateur est aussi appelé P-L (Produit-Limite) car il s obtient comme la limite d un produit. Il est fondé sur la remarque suivante : si t <t, la probabilité de survivre au-delà de l instant t est égale au produit suivant : S(t + )=P (X >t X >t ).S(t ). Si l on renouvelle l opération en choisissant une date t antérieure à t,onaurade même S(t )=P (X >t X>t )S(t ), et ainsi de suite. Si l on choisit pour les dates où l on conditionne celles où il s est produit un événement, qu il s agisse d une mort ou d une censure, on aura seulement à estimer des quantités de la forme : P (X >T (i) X>T (i 1) )=p i. Or p i est la probabilité de survivre pendant l intervalle de temps I i =]T (i 1) T i ] quand on était vivant au début de cet intervalle. Notant, comme précédemment, R i le nombre des sujets qui sont vivants (donc à risque de mourir) juste avant l instant T (i), ce qui peut aussi s écrire: #vivantsà l instant T (i) ou #sujetsder(t (i) )endésignant par R(t) l ensemble des sujets àrisqueà l instant t. et M i le nombre des morts à l instant T (i), q i =1 p i est la probabilité demourir pendant l intervalle I i sachant que l on était vivant au début de cet intervalle. Alors l estimateur naturel de q i est q i = M i R i. C. Huber Partie II

16 2 ESTIMATION DE S Survie 16 Supposons qu il n y ait pas d ex-aequo. Si D (i) = 1, c est qu il y a eu un mort en T (i) et donc M i =1. SiD (i) =, c est qu il y a eu une censure en T (i) et donc M i =. Par suite p i = 1 1 R i en cas de mort en T (i) = 1 en cas de censure car il est clair que R i = n i + 1. L estimateur de Kaplan-Meier est donc dans ce cas : Ŝ(t) = 1 (1 n i +1 )D (i). (25) T (i) t Exemple 5: cancer des bronches Sur 1 patients atteints de cancer des bronches on a observé les durées de survie suivantes, exprimées en mois: L estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie S(t) se calcule de la manière suivante: temps R i m i Survie Intervalle 1 1 [ 1[ [1 3[ [3 5[ [5 8[ [8 9[ [9 11[ Exercice 4 Comparer cet estimateur de la survie à celui de Fleming et Harrington. Dans cet exemple, il n y a pas d ex-aequo. Cependant la plupart du temps il y en a, comme dans le premier exemple qui est celui des données de Freireich. 2.3 Traitement des ex-aequo Il y a plusieurs configurations possibles pour les ex-aequo: 1. Si ces ex-aequo sont des deux sortes, on considère que les observations non censurées ont lieu juste avant les censurées. 2. Si ces ex-aequo sont tous des morts, la seule différence tient àcequem i n est plus égal à 1 mais au nombre des morts et l estimateur de Kaplan-Meier devient: Ŝ(t) = (1 M i ). (26) R i T (i) t C. Huber Partie II

17 2 ESTIMATION DE S Survie 17 survie temps Figure 4: Estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie pour le cancer des bronches C. Huber Partie II

18 2 ESTIMATION DE S Survie 18 Exercice 5 Calculer l estimateur de Kaplan-Meier de la survie pour les données de Freireich, séparément pour le groupe traité et pour le placebo. Comparer cet estimateur à celui de Fleming et Harrington. 2.4 Estimateur de Breslow du risque cumulé H:ĤBr On peut estimer H à partir de l estimateur de Kaplan-Meier de S en utilisant le fait que H = log(s): Ĥ Br = log(ŝkm). (27) ce qui donne Ĥ Br = log(1 q i ). (28) i:t (i) t Pour estimer la variance de cette somme, on remarque que la variance de chaque terme vaut en première approximation p i q i r i (1 q i = m i(r i m i )r 2 ) 2 i ri 3(r i m i ) 2 m = i r i (r i m i ) De plus, si les q i étaient indépendants, la variance de la somme serait égale àlasomme des variances. Cela donne pour variance de l estimateur de Breslow: Var (Ĥ(t)) = m i r i (r i m i ). (29) i:t (i) t 2.5 Estimateur de Greenwood de la variance de ŜKM: L estimateur de Greenwood de la variance de l estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie est obtenu à partir de la précédente log(ŝkm(t)) = log(1 q i ) i:t (i) t Cela donne, en employant la delta-méthode qui consiste àconsidérer que si X est approximativement égal à µ + σz,où Z est centré etréduit et σ petit : Var (f(x)) = Var (f(µ + σz)) = Var(f(µ)+σZf (µ)) = σ 2 f (µ) 2,avecf =log: Var (log(ŝ(t))) i:t (i) t C. Huber Partie II m i r i (r i m i ) Var (Ŝ(t)) 1 Ŝ(t) 2

19 2 ESTIMATION DE S Survie 19 ce qui donne finalement pour variance de Ŝ(t) Var (Ŝ(t)) = Ŝ(t)2 i:t (i) t m i r i (r i m i ). (3) Remarque Nous avons donc deux estimateurs du risque cumulé. On peut démontrer qu ils sont équivalents, et que les estimateurs de leur variance le sont aussi. En fait il existe trois estimateurs de la variance Variance de Greenwood: m(t) Variance de Tsiatis: Variance de Klein: r(t)(r(t) m(t)) m(t) r(t) 2 m(t)(r(t) m(t)) r(t)(r(t)) 3 Nous avons rencontré les deux premiers. Exercice Justifier heuristiquement le troisième estimateur de la variance. C. Huber Partie II

20 2 DÉFINITION D UNE MARTINGALE Survie 2 Partie III Processus Ponctuels. 1 Modélisation du processus ponctuel: l histoire ou filtration F t Considérons maintenant la durée de vie sous l aspect d un processus ponctuel, N(t) qui saute d une unité autempst = x lorsque la variable aléatoire X vaut x. Pour faire un modèle statistique, on doit préciser sur quelle information il est fondé. Pour un processus de comptage, cela est fait en spécifiant l histoire, souvent appelée filtration, etnotée {F t,t }. Un choix naturel pour {F t,t } est l histoire de l expérience depuis le début (le temps ) jusqu à l instant t inclus. Quand on a un n- échantillon, il faut cependant remarquer que, en fait, ce n est pas le temps chronologique qui est utilisé. En effet, chaque patient a un temps qui est celui du début de la durée qui le concerne. On réaligne donc les processus àrisquey i et de comptage N i sur une origine commune des temps. Jusqu à présent, nous avons supposé que nous avions unéchantillon de patients expérimentant la même loi de durée de survie, donc le mêmerisquecumulé H que nous avons estimé par Nelson-Aalen. Mais il se peut que le risque instantané ne soit pas le même d un individu à l autre car il peut dépendre de certaines caractéristiques du sujet; il peut s agir par exemple de taux biologiques, de traits génétiques ou de conditions environnementales du sujet. On appelle ces caractéristiques des covariables. On modélise alors l effet de ces différentes covariables sur le risque h. 2 Définition d une martingale 2.1 Sommes de variables aléatoires indépendantes: A l origine, les martingales ont été inventées pour généraliser les sommes de variables aléatoires indépendantes et centrées. Supposons que nous ayons une somme de variables aléatoires indépendantes X 1,X 2,..., X k,...,, soits n = n k=1 X k. Alors, on a des théorèmes sur la limite de ces sommes, convenablement normées quand n tend vers l infini : lois des grands nombres (convergence en probabilité oupresquesûre vers un nombre) etthéorèmes limites centraux (approximations normales). Sans restriction de la généralité, on peut supposer que ces variables sont centrées: E(X k ) = pour tout k. Donc on suppose que X 1,X 2,..., X k,..., sont indépendantes et centrées. C. Huber Partie III

21 2 DÉFINITION D UNE MARTINGALE Survie 21 Alors on a, pour tout n, les trois propriétés suivantes E(X n+1 X 1,X 2,..., X n ) = E(X n+1 ) = E(X n+1 S 1,S 2,..., S n ) = E(S n+1 S 1,S 2,..., S n ) = E(S n + X n+1 S 1,S 2,..., S n ) = S n. (M) 2.2 Définition Définition 1 Lorsque une suite S 1,S 2,..., S n, de variables aléatoires vérifie la propriété, (M) E(S n+1 S 1,S 2,..., S n )=S n, pour tout n. on dit que la suite S 1,S 2,..., S n, est une martingale. Une définition équivalente de la propriété de martingale est la suivante : Définition 2 Un processus (M 1,M 2,..., M n, ) est une martingale à temps discret si pour tout n IN E( M n ) < E[M n+1 F n ] = M n, (M) où F n = σ{m 1,M 2,..., M n } est la tribu du passé jusqu à l instant n, quicroît avec n. Remarque : Si (M) est satisfaite, alors E[M n F k ]=M k pour tous les entiers k<ncar E[M n F k ]= E[E[M n F n 1 ] F k ],cequidonne,deprocheenproche,lerésultat. Définition 3 : Un processus M t est une martingale à temps continu si E( M t ) <, t IR et si de plus Remarques: (M) E[M t F s ]=M s, pour tous <s<t. (31) 1. Une propriété équivalente à(m) est:pourtous<t 1 <t 2 <...<t n+1, E[M tn+1 M t1,...,m tn ]=M tn. 2. La propriété de martingale (M)a pour conséquence que l espérance de l accroissement est nulle, ce qui s écrit : E[M t M s F s ] = pour tous <s<t. ou encore dans sa version infinitésimale : (M ) E[dM t F t ]=. C. Huber Partie III

MODELES DE DUREE DE VIE

MODELES DE DUREE DE VIE MODELES DE DUREE DE VIE Cours 1 : Introduction I- Contexte et définitions II- Les données III- Caractéristiques d intérêt IV- Evènements non renouvelables/renouvelables (unique/répété) I- Contexte et définitions

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Analyse des durées de vie avec le logiciel R

Analyse des durées de vie avec le logiciel R Analyse des durées de vie avec le logiciel R Ségolen Geffray Des outils ainsi que des données pour l analyse des durées de vie sont disponibles dans les packages survival MASS Il est nécessaire de charger

Plus en détail

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation PAR Alireza MOGHADDAM TUTEUR : Guy HÉDELIN Laboratoire d Épidémiologie et de Santé publique, EA 80 Faculté de Médecine de Strasbourg

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée, Paris 6 4 Mars 2014

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Risque et assurance : quelques éléments théoriques Ecole des Ponts - Le 6 Avril 01 Jacques Pelletan 1 Théorie du risque et pérennité de l

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

MODÈLES DE SURVIE Notes de Cours MASTER 2 ESA voies professionnelle et recherche. Gilbert Colletaz

MODÈLES DE SURVIE Notes de Cours MASTER 2 ESA voies professionnelle et recherche. Gilbert Colletaz MODÈLES DE SURVIE Notes de Cours MASTER 2 ESA voies professionnelle et recherche Gilbert Colletaz 21 juillet 2014 2 Avertissements Ce document constitue le support du cours consacré au traitement des données

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Statistique descriptive et prévision

Statistique descriptive et prévision Statistique descriptive et prévision Année 2010/2011 L. Chaumont Contents 1. Étude d une variable 5 1.1. Définitions................................ 5 1.2. Représentations graphiques usuelles................

Plus en détail

4 Distributions particulières de probabilités

4 Distributions particulières de probabilités 4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Principales caractéristiques de Mixmod

Principales caractéristiques de Mixmod Modèle de mélanges Principales caractéristiques de Mixmod Gérard Govaert et Gilles Celeux 24 octobre 2006 1 Plan Le modèledemélange Utilisations du modèle de mélange Les algorithmes de Mixmod Modèle de

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Méthodes de Simulation

Méthodes de Simulation Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 8 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

Econométrie Appliquée Séries Temporelles

Econométrie Appliquée Séries Temporelles Chapitre 1. UFR Economie Appliquée. Cours de C. Hurlin 1 U.F.R. Economie Appliquée Maîtrise d Economie Appliquée Cours de Tronc Commun Econométrie Appliquée Séries Temporelles Christophe HURLIN Chapitre

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1 1. a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S = 5 C et qu à la date t = 1 on a (S u 1 = 51, S d 1 = 48).

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Analyse de survie : comment gérer les données censurées?

Analyse de survie : comment gérer les données censurées? Mémento biostatistique Analyse de survie : comment gérer les données censurées? Méthode de Kaplan-Meier C. Alberti 1, J.-F. Timsit 2, S. Chevret 3 1 Centre d Epidémiologie Clinique, Hôpital Robert Debré,

Plus en détail

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires CHAPITRE I. SIMULATION DE VARIABLES ALÉATOIRES 25 Chapitre I Simulation de variables aléatoires La simulation informatique de variables aléatoires, aussi complexes soient elles, repose sur la simulation

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.

Feuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre. Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences

Plus en détail

Le point de vue du certificateur

Le point de vue du certificateur Le point de vue du certificateur Sépia «Certification des tables d expérience» Paris, mardi 23 novembre 2010 Pierre Thérond Actuaire Associé ptherond@galea-associes.eu PROJET / CONFIDENTIEL Sommaire 1.

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Variables Aléatoires. Chapitre 2

Variables Aléatoires. Chapitre 2 Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,

Plus en détail

Marketing quantitatif M2-MASS

Marketing quantitatif M2-MASS Marketing quantitatif M2-MASS Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN 2 décembre 2012 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN Marketing quantitatif M2-MASS 2 décembre 2012 1 / 61 Première partie I Analyse Analyse

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Classe de Terminale S

Classe de Terminale S Classe de Terminale S Programme BO HS n 4 du 30 août 001 II.3 Probabilités et statistique Après avoir introduit en classe de seconde la nature du questionnement statistique à partir de travaux sur la fluctuation

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3)

M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de

Plus en détail

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA) Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014

Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014 Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA

MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option

Plus en détail

Tables d expérience : les outils de suivi du risque

Tables d expérience : les outils de suivi du risque Tables d expérience : les outils de suivi du risque Sépia «Construction de tables d expérience en assurance : quels outils?» Paris, jeudi 24 janvier 2013 Pierre Thérond ptherond@galea-associes.eu http://www.galea-associes.eu

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques IFT 6561 Simulation: aspects stochastiques DIRO Université de Montréal Automne 2013 Détails pratiques Professeur:, bureau 3367, Pav. A.-Aisenstadt. Courriel: bastin@iro.umontreal.ca Page web: http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

Plus en détail

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,

Plus en détail

Le modèle linéaire généralisé avec R : fonction glm()

Le modèle linéaire généralisé avec R : fonction glm() SEMIN- Le modèle linéaire généralisé avec R : fonction glm() Sébastien BALLESTEROS UMR 7625 Ecologie Evolution Ecole Normale Supérieure 46 rue d'ulm F-75230 Paris Cedex 05 sebastien.ballesteros@biologie.ens.fr

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail