Arithmétique Chapitre 1 Ce que tout le monde utilise

Transcription

1 1 Arithmétique Chapitre 1 Ce que tout le monde utilise Axiomes de PEANO (mathématicien italien ) 2 Utilisation de l axiome de récurrence 3 Le suivant d un entier naturel 4 Le précédent d un entier naturel différent de 0 5 L unicité des applications définies par récurrence 6 Définition des opérations connues de tout le monde 7 Divertissement 8

2 2 Axiomes de PEANO (mathématicien italien ) On suppose l existence d un ensemble N qui vérifie les 3 axiomes de PEANO Vocabulaire Un élément de N est nommé «entier naturel» Axiome 1 de PEANO N n est pas vide : il contient un élément nommé zéro noté 0 Notation Les éléments de N différents de 0 forment l ensemble N Axiome 2 de PEANO Il existe une bijection s : N N Vocabulaire Si n est un entier naturel s(n) se nomme le «suivant de n» Axiome 3 de PEANO (Axiome de récurrence) Si A est un sous-ensemble de N telle que 1) 0 A 2) si n A alors s(n) A (le suivant de A est encore un élément de A) alors :A = N

3 3 Utilisation de l axiome de récurrence Prouver qu une propriété P(n) est vraie pour tout n Si à tout entier naturel n est associée une propriété P (n), pour prouver que P(n) est vraie pour tout n on effectue le travail suivant : 1 () on prouve que P(0) est vraie 1 ( ) on prouve que si P(n) est vraie (hypothèse de récurrence) alors P(s(n)) est encore vraie (la propriété est encore vraie pour le suivant de n) Justification Si on est arrivé à prouver () et ( ), en notant A l ensemble des entiers naturels n tels que P (n) soit vraie alors : 1) 0 A 2) si n A alors: s(n) A Donc A = N d après l axiome 3 de récurrence et P (n) est vraie pour tout entier naturel n Définir une application f : N E () On définit f (0) ( ) On donne la règle de définition de f (s(n)) à partir de la connaissance de f (n) Justification En notant A l ensemble des entiers naturels n tels que f (n) soit défini alors : 1) 0 A 2) si n A alors: s(n) A Donc A = N d après l axiome 3 de récurrence et f (n) est défini pour tout entier naturel n

4 4 Le suivant d un entier naturel L application s : N N est définie par l axiome 2 Vocabulaire Si n N,s(n) se nomme le suivant de n L application s : N N est une bijection donc elle est injective : si s(x) = s(y) alors x = y Tout entier naturel est différent de son suivant Pour tout entier naturel n : s(n) n Démonstration On utilise l axiome 3 de récurrence pour prouver que la propriété P(n) s écrit s(n) n est vraie pour tout entier n (Voir page 3 : utilisation de l axiome de récurrence) qui Voici : 1)s(0) 0 Preuve Par définition 0 N et s : N N donc s(0) N et s(0) 0 2) Si s(n) n (hypothèse de récurrence) alors s(s(n)) s(n) Preuve Puisque s est une injection lorsque a b: s(a) s(b) ; l hypothèse de récurrence s(n) n implique donc s(s(n)) s(n) La propriété s(n) n est vraie pour tout n N d après l axiome de récurrence L entier naturel 1 Le suivant de 0, s(0), est nommé «un» et noté 1: s(0) = 1 1 0

5 5 Le précédent d un entier naturel différent de 0 L application s : N N est définie par l axiome 2 L application s : N N est une bijection donc elle est surjective : si n N 1il existe un unique entier naturel x tel que s (x) = n Vocabulaire Si n est un entier naturel différent de 0 (n N ), l unique entier naturel x tel que s (x) = n se nomme le «précédent de n» Notation Le précédent de n est noté p (n) 0 est le seul entier naturel qui n admet pas de précédent A chaque entier naturel n différent de 0 est associé son précédent p (n) L application p : N N est la bijection réciproque de s : N N : 1si a N alors p(s(a)) = a si n N alors s(p(n)) = n Le précédent de 1 est 0 : p(1) = 0 S il est différent de 0 tout entier naturel est différent de son précédent Pour tout entier naturel n différent de 0 : n p(n) Preuve (on n utilise pas l axiome de récurrence) S il existait un entier naturel n 0tel que n = p(n) alors : s (n) = s(p(n)) = n Cela est impossible puisque tout entier naturel est différent de son suivant

6 6 L unicité des applications définies par récurrence A tout couple ( F,a) où F: N N est une application et a N est associée une unique application f : N N qui vérifie : 1) f (0) = a 2) si f (n) est défini alors:f (s(n)) = F(f (n)) Démonstration L existence est assurée par l axiome de récurrence (Voir page 3) : 1 ) f (0) est défini(f (0) = a) 2) La règle de définition de f (s(n)) à partir de la connaissance de f (n) donnée par f (s(n) = F(f (n) est L unicité se vérifie avec l axiome de récurrence (Voir page 3) : Si g : N N vérifie aussi 1) g(0) = a 2) si g(n) est défini alors:g(s(n)) = F(g(n)) on en déduit f = g (pour tout n N : f (n) = g(n)) Preuve 1)si n = 0 : f (n) = g(n) puisque f (0) = a = g(0) 2)si f (n) = g(n) alors f (s(n)) = g(s(n) puisque : f (s(n)) = F(f (n)) = F(g(n)) = g(s(n)) L égalité f (n) = g(n) est donc vérifiée pour tout n N d après l axiome de récurrence (voir page 3) Vocabulaire L unique application f ainsi définie est dite 1 application définie par récurrence Utilisation Cette propriété permet de définir l addition, la multiplication et la puissance dans l ensemble des entiers naturels (voir plus loin)

7 7 Définition des opérations connues de tout le monde A tout couple ( F,a) où F: N N est une application et a N on associe une unique application f : N N qui vérifie 1)f (0) = a 2)f (s(n)) = F(f (n)) L addition F: N N est maintenant l application connue s : N N Si a N on note par exemple fa : N N l application associée au couple ( s,a) 1) fa (0) = a ; 2) fa (s(n)) = s(fa (n)) Si n N fa (n) s écrit a + n Donc, par définition : 1 ) a + 0 = a;2)a + s(n) = s(a + n) La multiplication F: N N est maintenant l application connue fa : N N Si a N on note par exemple ma : N N l application associée au couple ( fa,0) 1) ma (0) = 0 2) ma (s(n)) = fa (ma (n)) Si n N ma (n) s écrit a n Donc, par définition : 1 )a 0) = 0; 2)a s(n)) = a + a n La puissance F: N N est maintenant l application connue ma : N N Si a N (a 0) on note par exemple pa : N N l application associée au couple ( ma,1) 1)pa (0) = 1 2)pa (s(n)) = ma (pa (n)) Si n N pa (n) s écrit a n Donc, par définition : 1 )a 0 = 1 ;2)a s(n) = a n a

8 8 Divertissement Si F: N N et a N on peut noter par exemple Γ(F,a) Γ( F,a) : N N telle que l unique application 1) Γ (F,a)(0) = a 2) Γ(F,a)(s(n)) = F( Γ(F,a)(n)) Si on note plus simplement Γ ( F,a) = f : 1 )f (0) = a 2) f (s(n)) = F(f (n)) On peut résumer cela en : 1)f (0) = a 2) f o s = Fo f On note Γ(F,a) l application N N déduite du couple ( F,a) L addition à a est définie par Γ (s,a) La multiplication par a est définie par Γ (Γ(s,a),0) La puissance de a pour a 0 est définie par Γ ( Γ( Γ(s,a),0),1) Question Quel est l ensemble de départ de l application Γ? Quel est son ensemble d arrivée? Quelle est l opération définie par Γ ( Γ( Γ( Γ(s,a),0),1),a)?(sia 0)? Quelle est l opération définie par Γ Γ( Γ( Γ( Γ(s,a),0),1),a,)?(sia 0,)?