Champ magnétique. I. Introduction. 1. Rappel. 2. Notion de champ vectoriel

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1 Champ magnétique I. Introduction 1. Rappel Nous avons rencontré le champ magnétique dans le cours de mécanique. Son action sur une charge électrique en mouvement à la vitesse v dans le référentiel galiléen dans lequel sera défini le champ magnétique B se traduit par la force F = q v B Les champs magnétiques sont crées par des aimants ou par des courants électriques, c est-àdire par des charges en mouvement 1. Les très forts champs magnétiques sont créés par des bobines supraconductrices. 2. Notion de champ vectoriel Dans le chapitre précédent, on a défini la notion de champ scalaire (exemple champ de pression, de température). Le champ magnétique sera quant à lui décrit par un champ vectoriel B( r) défini en tout point de l espace. On a déjà rencontré d autres champs vectoriels comme le champ gravitationnel, le champ électrique. On peut définir aussi le champ de vitesse du vent dans l atmosphère, champ de gradient, etc... Le champ magnétique en un point sera caractérisé par sa norme (ou son intensité) mesurée en tesla (T) et par sa direction. Une façon simple de visualiser sa direction est de tracer les lignes de champ. Par définition, une ligne de champ est une ligne en tout point tangente au champ B. On oriente la ligne de champ dans le sens du vecteur B. Deux lignes de champ ne peuvent pas se croiser, sauf pour B =. Une ligne de champ ne donne pas d indication sur la norme du champ qui peut varier le long de la ligne. 1. On constate ici que, compte-tenu de sa définition, le champ magnétique dépendra du référentiel dans lequel on se place. Il en est de même pour le champ électrique E (le champ électrostatique est défini dans le référentiel où les charges sont fixes). Les vecteurs E et B sont donc liés. On parle du champ électromagnétique. Son expression varie lorsqu on change de référentiel 1

2 II. Aimants et boussoles 1. Cartographie du champ On peut obtenir l allure des lignes de champ en utilisant de la limaille de fer. En présence du champ magnétique, la limaille de fer s aimante et tend à s orienter dans le sens du champ. aimant droit aimant en U 2. Pôles d un aimant Tout aimant possède un pôle nord et un pôle sud magnétique. Les interactions entre deux aimants obéissent à la loi suivante : deux pôles de même nature se repoussent deux pôles de nature distincte s attirent On appelle pôle nord le pôle par lequel émerge les lignes de champ. Ces lignes sont ainsi orientées du pôle nord vers le pôle sud. 3. Boussoles Une boussole est un petit aimant susceptible de tourner librement autour d un axe (en général vertical). Placée dans un champ magnétique, la boussole tend à s aligner sur le champ B. Si on note S b et N b les pôles sud et nord de la boussole, localement le vecteur S b N b est colinéaire 2

3 et de même sens que le champ magnétique B. Sur le schéma ci-dessus on peut voir que le pôle nord (en rouge) des boussoles pointe vers le sud de l aimant et réciproquement. III. Champ créé par des circuits 1. Fil infini a) Cartographie On considèrera un fil infini, si on se place à une distance r très petite devant sa longueur l (r l). Vous établirez en deuxième année l expression du champ magnétique créé par le fil en coordonnées cylindriques : B = µ I 2πr u θ avec µ la perméabilité magnétique du vide. En unité S.I. sa valeur est µ = 4π1 7 H.m 1 ( 1 ). La norme du champ magnétique produit est proportionnelle à l intensité du courant qui le crée ( B = ki). La norme du champ magnétique décroît au fur et à mesure que l on s éloigne de la source (ici du fil). On constate que les lignes de champ magnétiques sont des cercles d axe Oz. Les lignes de champ magnétiques s enroulent autour du fil. Pour obtenir le sens on peut utiliser la règle du tire-bouchon ou la règle de la main droite. 1. Vous montrerez en deuxième année que la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est c = 1 µε 3

4 Tire-Bouchon : le sens de rotation permettant une avancée du tire-bouchon dans le sens de I, indique le sens d enroulement de B Main droite : lorsque l index pointe dans le sens de I les autres doigts se replient dans le sens de B. b) Invariance par translation, rotation. Symétries Le courant parcourant le fil est invariant par translation parallèlement à Oz : il en est de même pour le champ magnétique. Le courant parcourant le fil est invariant par rotation quelconque autour de Oz : il en est de même pour le champ magnétique. Tout plan contenant Oz est plan de symétrie pour le courant et d antisymétrie pour B. On note S π la symétrie par rapport au plan π contenant Oz. Si M = S π (M) alors B(M ) = S π ( B(M)) Dans le cas particulier où M π on a M = M et donc B(M ) = B(M) = S π ( B(M)) ce qui implique B(M) π. M / π M π En tout point d un plan de symétrie pour le courant, et donc d antisymétrie pour B, B est perpendiculaire à ce plan. 4

5 Ainsi, tout plan contenant Oz étant plan de symétrie pour I et donc d antisymétrie pour B, B est orthoradial. 2. Spire de courant a) Cartographie des lignes de champ On constate que le sens du champ magnétique créé est en accord avec la règle tire-bouchon (ou de la main droite) vue précédemment. Dans le cas des circuits à enroulement circulaire il existe une seconde loi de la main droite utilisable : si les doigts s enroulent dans le sens de I alors le pouce pointe dans le sens de B. De manière équivalente, si on tourne le tire-bouchon dans le sens du courant il avance dans le sens de B : On peut établir l expression du champ sur l axe : B = µ I 2R sin3 α u z = µ I 2R R 3 u (R 3 + z 3 ) 3 z 2 La norme du champ magnétique au centre de la spire vaut B() = µ I 2R. 5

6 b) Invariance par rotation. Symétrie On constate que la spire de courant est invariante par rotation quelconque autour de Oz : le champ magnétique vérifie la même invariance. Le plan contentant la spire est un plan de symétrie pour le courant : une symétrie par ce plan laisse la spire inchangée. On constate que ce plan est un plan d antisymétrie pour B. En tout point de ce plan B est perpendiculaire à ce plan. Ailleurs B vérifie les propriétés d antisymétrie. 6

7 3. Utilisation de deux spires pour obtenir un champ uniforme Les lois de l électromagnétisme étant linéaires, la superposition des courants entraîne la superposition des champs magnétiques. Ainsi, si on considère deux spires (1) et (2) créant respectivement les champs magnétiques B 1 ( r) et B 2 ( r), le champ résultant créé par les deux bobines vaudra B( r) = B 1 ( r) + B 2( r) On s intéresse au champ créé par deux bobines identiques de même axe. Sur l animation suivante : html Modifier la distance entre les deux bobines : c est lorsque la distance séparant les deux spires est égale au rayon que l on obtient un champ quasi-constant sur l axe (dans cette situation on superpose les points d inflexion des deux courbes). Sur l animation suivante : html Observer l influence de l écart entre les deux spires : c est lorsque la distance séparant les deux spires est égale au rayon que l on obtient un champ quasi-uniforme sur un grand domaine. Variation spatiale du champ : Cliquer sur une ligne de champ et faire varier la position du point : on constate que, sur une même ligne de champ, lorsque les lignes de champ se rapprochent, la norme du champ magnétique augmente, lorsque les lignes de champ restent parallèles entre elles le champ est constant le long de la ligne et lorsque qu elles divergent le champ diminue. Dans la zone où les lignes de champ sont parallèles, on constate que la norme du champ est uniforme quand on passe d une ligne à l autre. Dans le vide si les lignes de champ magnétiques sont parallèles alors le champ magnétique peut être considéré comme uniforme. Ajouter d autres spires et observer. Justification mathématique de la distance R : L expression du champ magnétique sur l axe d une bobine centrée en O est : R B(z) = B 3 avec B = µ I champ magnétique au centre de la spire. 2R (R 3 +z 3 ) 3 2 7

8 db dz = 3B R 3 z (R 3 +z 3 ) 5 2 d 2 B = 3B R 3 (R 2 4z 2 ) dz 2 (R 3 +z 3 ) 7 2 La dérivée seconde s annule pour z = ± R. Graphiquement on observe un point d inflexion. 2 Dans la configuration des bobines de Helmoltz où la distance entre les deux bobines vaut R les points d inflexion des deux courbes se superposent. B(z) = B 1 (z) + B 2 (z) B(z) est une fonction paire. Si on effectue un DL au voisinage de O ( db dz ( ) ( ) ( ) ( ) db d 2 B z 2 d 3 B(z) = B() + z + dz z= dz 2 z= 2 + B z 3 d 4 dz 3 z= 3! + B z 4 dz 4 z= 4! ( )z= = et d 3 B car les dérivées impaires d une fonction paire sont impaires et donc dz )z= 3 s annulent en. ( d 2 B dz 2 )z= = car dans le cas particulier de la configuration des bobines de Helmoltz on superpose les points d inflexion des deux courbes, pour lesquels la dérivée seconde est nulle. On en déduit donc au voisinage de ( ) d 4 B z 4 B(z) = B() + dz 4 4! le champ sur l axe varie en z 4. On peut vérifier sur l animation qu il varie également peut lorsqu on s écarte de l axe. La configuration où les deux bobines sont distantes de R est appelé configuration de Helmoltz. On parle alors de "bobines de Helmoltz". Les bobines de Helmoltz constituent un dispositif intéressant pour réaliser un champ magnétique uniforme. z= 4. Solénoïde Un solénoïde est constitué d un enroulement de fil conducteur sur un profil cylindrique. Il est assimilable à la juxtaposition de N spires parcourues par un courant I. Si on note L la longueur totale du solénoïde, on définit n = N nombre de spires par unité de longueur. L html 8

9 Si on note R le rayon d une spire, plus L r plus le champ est uniforme à l intérieur du solénoïde. À la limite du solénoïde infini, on obtient un champ uniforme à l intérieur du solénoïde et parallèle à l axe Oz. B = µ ni u z L orientation de B se déduit de celle de I par la règle du tire bouchon ou la règle de la main droite. On peut, par analogie avec le champ créé par un aimant, attribuer des faces Nord et Sud à un solénoïde (ou à une spire). La face Nord correspond à la face par laquelle le champ magnétique émerge. 9

10 IV. Moment magnétique 1. Champ à grande distance d une spire Considérons une spire de rayon a. On remarque que le champ produit à grande distance de la spire (pour r a) est comparable à celui produit par un aimant. Ce champ s appelle un champ dipolaire magnétique. On le caractérise par un vecteur M appelé moment dipolaire magnétique. champ à proximité de la spire champ loin de la spire On définit le moment magnétique d une spire par le vecteur M = I S = IS n où S désigne la surface de la spire et n est un vecteur unitaire normal à la surface de la spire et dont le sens se déduit du sens d orientation du courant par la règle du tire-bouchon. [ M ] = A.m 2 On attribue également un moment magnétique à un aimant, même si dans ce cas, il ne s exprime plus par un produit de deux termes. Le vecteur M est orienté Sud-Nord. Exemples : le moment dipolaire d une spire de rayon 5 cm parcourue par un courant d intensité égale à 1A vaut M = A.m 2 le moment dipolaire d un aimant dépend de son volume : un aimant usuel possède un moment dipolaire de l ordre 1 A.m 2. 1

11 2. Champ dipôlaire magnétique (hors programme) Les composantes du champ magnétique créé par un dipôle M placé à l origine O, s expriment sur la base des coordonnées sphériques ( u r, u θ, u ϕ ) par B r = µ 2M cos θ 4π r 3 B θ = µ M sin θ 4π r 3 B ϕ = V. Champ magnétique terrestre 1. Description En première approximation le champ magnétique terrestre correspond au champ créée par un aimant placé au centre de la Terre mais dont la direction ne coïncide par tout à fait avec celle des pôles géographiques situés sur l axe de rotation de la Terre. Ainsi le pôle nord d une boussole (en rouge) pointe vers le Nord (qui correspond en réalité à un sud magnétique). Le champ magnétique terrestre a subi des inversions. Il s est inversé environ 3 fois ces derniers 2 millions d années. La dernière inversion est survenue il y a 78 ans. Actuellement une anomalie magnétique apparaît dans l atlantique sud, prémisse possible d une future inversion? En 213, le premier satellite SWARM a été mis sur orbite dans le but d étudier le champ magnétique terrestre (à terme, la mission utilisera 3 satellites). Le moment dipolaire de la Terre vaut M T = 7, A.m 2. 11

12 2. Inclinaison magnétique Le champ magnétique est incliné par rapport au plan horizontal. Une boussole, d axe de rotation vertical, placée dans le champ magnétique s aligne parallèlement à la composante horizontale B H du champ magnétique. Le nord de l aiguille aimanté pointe approximativement vers le Nord géographique. Pour visualiser l inclinaison du champ magnétique terrestre par rapport au plan horizontal, on peut utiliser une boussole d axe horizontal perpendiculaire à l axe nord-sud. On constate sur l image ci-contre que l aiguille s incline d un angle I = 6 (son nord pointant vers le bas dans l hémisphère nord). À Paris, l ordre de grandeur de la norme du champ magnétique est de T (soit, 5 G (1 gauss correspondant à 1 4 T). La composante horizontale est de l ordre de T (, 2 G). 3. Déclinaison Une boussole d axe de rotation vertical s oriente dans de sens de la composante horizontale B H du champ magnétique et pointe vers le Nord magnétique. La déclinaison magnétique est, en un point donné sur la surface de la terre, l angle formé entre la direction du pôle Nord géographique et le Nord magnétique (il s agit donc d un angle sur le plan horizontal du point d observation). Cet angle est compté positivement vers l est et négativement vers l ouest. Il existe des programmes qui permettent de calculer la déclinaison pour un lieu donné. Des modèles tracent les courbes isogones (courbes d égale déclinaison magnétique). 12

13 US/UK World Magnetic Model -- Epoch 25. Main Field Declination (D) Map Date : 25. Units (Declination) : degrees (Red contours positive (east), blue negative (west)) Contour Interval : 2 degrees Map Projection : Mercator VI. Ordres de grandeur La mesure de la norme du champ magnétique s effectue avec un teslamètre. Champ magnétique terrestre : T soit.5 G. Champ entre deux bobines de Helmoltz, alimentées par 1 A (5 spires, R = 5 cm) : 1 3 T Champ à la surface d un aimant de bonne qualité (les meilleurs étant au néodyme) :, 1 à 1 T Champ au voisinage d un électroaimant : de 1 à 1 T Une électroaimant est constitué d un bobinage de cuivre autour d un noyau de fer doux. La présence du fer amplifie le champ magnétique produit. Champ créé par des bobines supraconductrices : de l ordre de la dizaine de teslas (LHC, IRM). Par exemple, CMS, une des détecteurs du LHC, utilise un solénoïde supraconducteur (fil en alliage niobium-titane) refroidi par un circuit d hélium liquide et parcouru par un courant de 18 ka. 13