TD : Constructions géométriques

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1 Université d'angers L3SEN TD géométrie p. 1 TD : Constructions géométriques Exercice 1 : Relations métriques dans le triangle rectangle Soit un triangle ABC rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. a. Montrer que AH²=BH HC b. Montrer que AC² = CH CB Exercice 2 : Constructions géométriques élémentaires (compas et règle non graduée) 1. Construire la longueur a + b 2. Construire la longueur ab en utilisant le théorème de Thalès. 3. Construire la longueur a b en utilisant le théorème de Thalès. 4. Construire la longueur a a. Construire un demi cercle de diamètre AB = 1+a. b. Soit I le point du segment [AB] tel que AI=1. Construire l'intersection notée C de la perpendiculaire à [AB] passant par I et du demi cercle. c. Démontrer que IC²=IC IB. En déduire la construction de a. d. En déduire une construction de 4 a. Exercice 3 : Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique (compas et règle non graduée) 1. Construire la moyenne arithmétique de a et b. 2. Construire la moyenne géométrique (utiliser l'exercice 2-4). 3. Construire la moyenne harmonique h vérifiant 2 h = 1 a 1 b a. Construire un demi cercle de centre O et de diamètre AC = a+b. On note B le point de [AC] tel que AB=a. b. Soit D l'intersection du demi cercle et de la droite perpendiculaire à [AC] passant par B. Construire le triangle BDO et E le pied de la hauteur issue de B dans ce triangle. c. En déduire que DE = h (utiliser l'exercice 1). d. Comparer les trois moyennes. Exercice 4 : Construction des racines d'une équation du second degré.

2 Université d'angers L3SEN TD géométrie p. 2 Rappel: Puissance d'un point par rapport à un cercle Soit M un point du plan. Pour toute droite passant par M et coupant le cercle, on note P et Q les intersections de cette droite avec le cercle (on peut avoir P=Q). La puissance du point M par rapport au cercle est le nombre MP choisie. MQ, indépendant de la droite 1. Construction de deux segments de longueur x et y connaissant leur somme s et leur moyenne géométrique p. On pose x+y=s et xy=p². a. Construire le demi cercle de centre O et de diamètre AB=s. b. Sur la tangente en A au demi cercle, construire le point M tel que AM=p. c. La parallèle à (AB) passant par M coupe le demi cercle en Q et P. d. Montrer que MP=x et MQ=y. On pourra utiliser la puissance du point M par rapport au cercle. e. En déduire une condition sur s et p pourqu'une solution existe. 2. Résolution de l'équation x²-sx+p² = 0. a. Déterminer les relations entre les racines réelles x 1 et x 2 de l'équation. b. Construire ces racines pour l'équation x² - 5 x + 4 = 0 avec pour unité 2cm. c. Construire ces racines pour l'équation x² + 6 x + 4 = 0 avec pour unité 2cm. d. Construire ces racines pour l'équation x² + x - 2 = 0 avec pour unité 2cm. Exercice 5 : Aire et périmètre d'un triangle. Soit un triangle de dimension a, b et c. On note p le demi périmètre de ce triangle. La formule du Héron permet le calcul de l'aire A d'un triangle quelconque. A = p p a p b p c 1. Tracer le triangle ABC tel que AB=6, AC=4 et BC=3. Calculer son aire. 2. Construire son cercle inscrit, de centre I. On note D, E, F les points d'intersection de ce cercle avec (BC) (CA) et (AB). Justifier que AE=AF=p-a BF=BD=p-b et CD=CE=p-c. Aide : On pourra utiliser des triangles isométriques.

3 Université d'angers L3SEN TD géométrie p. 3 Exercice 6 :: Trisection d'un angle. Le problème est de diviser un angle aigu en trois angles de même mesure. Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,,). A. Conchoïde de Nicomède. Soit D la droite d'équation x=a, a non nul. Sur une droite passant par O, on porte de part et d'autre de son intersection K avec D les point L et M tels que LK=KM=l. Lorque pivote autour de O, L et M décrivent une courbe appelée conchoïde de Nicomède de la droite D de pôle O et de module l. Construire cette conchoïde de Nicomède dans le cas a=2 et l=3 (on tracera quelques points). B. Trisection d'un angle 1/ Construire le partage d'un angle en deux angles de même mesure en laissant les traits de construction. 2/ Trouver deux mesures d'angle dont la trisection est constructible. 3. La trisection d'un angle (partage en trois angles de même mesure) n'admet que des constructions approchées. Une construction approchée est donnée par la méthode suivante : Méthode : construire un triangle OHI rectangle en H, tel que OIH soit l'angle à trisecter. Construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI ; le cercle de centre I et de rayon OI coupe la conchoïde en M symétrique de O par rapport à I, et en un deuxième point N indiqué dont la construction ne peut être qu'approchée. On note J l'intersection de (ON) et (IH). L'angle trisecté est alors NIJ. i. Quelle est la nature du triangle OIN. ii. Quelle est la nature du triangle INJ. iii. On note mes( NIJ )=α. En déduire alors mes( NJI) puis mes( INO) et mes( NOI) en fonction de α. iv. En déduire mes( IOH ) et justifier la méthode utilisée.

4 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 4 Exercice 7 :: Triangle égyptien et Triangle d'or. 1. a. Construire un triangle ABC rectangle en A tel que cos C =0,8 et AC=4. b. Montrer que le triangle de mesures 3, 4 et 5 vérifie le a. c. Montrer qu'il n'existe qu'un seul triangle rectangle ABC dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs, comme 3, 4 et 5. On les appelle triangles égyptiens. 2. a. [AM) représente la bissectrice de BAC. Montrer que M réalise la section dorée de [CM]. Aide : On pourra utiliser des triangles semblables b. Construire la section dorée d'un segment puis reproduire la figure ci-dessous. c. Dans un pentagone régulier, il est possible de construire deux triangles isocèles appelés triangles d'or. Justifier ce nom et calculer leurs angles. Exercice 8 : : Illusion optique Prof, pose un problème dans sa classe : Il s'agit de calculer l'aire du bonnet d'âne ci-dessous avec les coordonnées des points A,B,C,D,E notées sur la figure. Très simple quand on sait calculer l'aire d'un trapèze ou d'un triangle! Chacun y va de sa méthode et finalement nous obtenons les résultats suivants : Première méthode : calcul de la différence des aires du trapèze (ABCD) et du triangle (AED). Deuxième méthode : calcul direct. Chacune des deux méthodes semble exacte, pourtant les résultats sont différents. Y-a-t-il un bon résultat? Si oui quel est le bon? Et où est l'erreur?

5 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 5 Exercice 9 :Examen 2009 Partie A : Ecrire un programme de la construction du pentagone ci-dessous. Partie B : Abul-Wafa (vers ), dans son ouvrage Livre sur ce qui est nécessaire à l'artisan en sciences de la géométrie, propose la solution suivante pour inscrire un carré dans un pentagone régulier ABCDE de centre O. La perpendiculaire passant par A à (DC) coupe (DC) en Z. Soit H le milieu de [AZ]. La parallèle à (DC) passant par H coupe (CB) en T et (DE) en K. Abul-Wafa affirme que ATZK est le carré cherché. L'exercice suivant a pour but de vérifier cette affirmation. 1. Justifier que BTZK est un losange 2. On note G l'intersection de (AC) et (TK). a) Démontrer que TCG et CAD ont la même mesure. b) Démontrer que CGT et ACD ont la même mesure. c) Qu'en déduit-on pour les triangles TGC et ACD? d) Quel est le rapport de similitude? e) En déduire que TG= 1 2 DC 3. Montrer que GH= 1 2 CZ. En déduire que TH = 3 4 DC. 4. On donne tan 2 5 = , qui est un nombre irrationnel. Exprimez AZ en fonction 8 de DC. A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, infirmez ou confirmez l'affirmation de Abul-Wafa?

6 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 6 Exercice 10 : Examen Les babyloniens ont compilé des tables de triangles rectangles à côtés entiers. Dans chaque exemple ci-dessous sont donnés deux côtés. Trouver le 3ème côté. a=120 et b=119 a=65 et b=97 2. On considère un cube de côté 1 m. Une fourmi se déplace à la surface du cube du centre O de la face ABCD au sommet F. Quelle est la longueur du plus court chemin? 3. Soit un rectangle ABCD et M un point de la diagonale AC. On définit le rectangle BIMJ tel que I [AB] et J [BC] et le rectangle DKML tel que K [AD] et L [CD]. Montrer que les deux rectangles ont la même aire (on pourra poser x=dl et y=bj). 4. On se propose de déterminer par le calcul puis par construction le côté g du carré ayant même aire qu'un rectangle de dimensions données a et b. a) Déterminer le côté du carré pour a = 4 et b = 9, puis a= 4 et b = 6. b) Déterminer le côté g dans le cas général. c) Dans un triangle ABC rectangle en C, la hauteur issue de C coupe (AB) en G. Soit a=ga et b=gb. i. Démontrer que CG = g. ii. En déduire une méthode de construction du carré.

7 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 7 QCM 1 QCM IUFM QCM 2 QCM 3 On trace, à l intérieur d un carré, trois segments joignant un sommet au milieu d un côté comme l indique la figure ci-contre. Quelle est l aire de la partie grisée? A : 10 % de l aire du carré C : 20 % de l aire du carré B : 15 % de l aire du carré D : 25 % de l aire du carré D C QCM 4 Voici quatre propositions relatives au pavé droit ABCDEFGH représenté ci-contre en perspective cavalière. Laquelle (lesquelles) sont vraies? 1 - Le triangle FGH est isocèle en H. 2 - Le quadrilatère BDHF est un rectangle. 3 - Les droites (CG) et (BC) sont perpendiculaires. 4 - Les segments [HF] et [AC] ont la même longueur. A E H F B G

8 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 8 QCM 5 On s intéresse à trois cercles de centre I, J et K. Leurs rayons sont respectivement égaux à 1 cm, 2 cm et 3 cm (la figure ci-contre ne respecte pas cette contrainte). Ces trois cercles sont tangents deux à deux. Quelle est l aire du triangle IJK? J I K A : 4 cm² C : 8 cm² B : 6 cm² D : 10 cm² QCM 6 QCM 7 QCM 8

9 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 9 QCM 9 QCM 10 QCM 11

10 Licence pluridisciplinaire TD: géométrie plane 10 QCM 12 Un petit disque gris est encadré et tangent à quatre disques blancs, eux-mêmes tangents deux à deux et ayant chacun pour aire 3 cm 2. Quelle est l aire de ce petit disque gris? A : cm 2 B : cm 2 C : cm 2 D : cm 2 QCM 13 Duquel des quatre cubes représentés ci-dessous, le dessin ci-contre est-il le développement? QCM 14