Pratique des produits dérivés P5 : Options

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1 Pratique des produits dérivés P5 : Options Olivier Brandouy Université de Bordeaux Diapo 1/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

2 Plan 1 Notions essentielles 2 Protéger son investissement Dynamiser ses profits 3 Straddle Spread Collar Autres stratégies 4 Diapo 2/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

3 Option : définition Contrat donnant à son acquéreur le droit d acheter (option d achat = call) ou de vendre (option de vente = put) : une quantité déterminée d actif sous-jacent à un cours fixé d avance (prix d exercice où strike ) pendant une période ( American options ) ou à une échéance donnée ( European options ) En échange de ce droit, l acheteur paie le vendeur en lui versant une prime. Le vendeur est alors tenu de réaliser l opération d échange si l acheteur en décide ainsi. Diapo 3/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

4 Terminologie Selon la relation entre le prix d exercice et le prix du sous-jacent sur le marché spot : at-the-money option in-the-money option out-of-the-money option Pourquoi les options out-of-money existent? valeur intrinsèque valeur temps Diapo 4/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

5 Valeur temps d un call Valeur VI = max(s K, 0) Incertitude maximale quant à l'exercice de l'option K S Diapo 5/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

6 Valeur temps d un call et la durée d une option Valeur VI = max(s K, 0) 3 mois 2 mois K S Diapo 6/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

7 Valeur temps d un call et la volatilité du sous-jacent Valeur VI = max(s K, 0) σ = 30% σ = 20% K S Diapo 7/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

8 Profil de gain des options européennes à l échéance Diapo 8/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

9 Le profil de gain d un portefeuille d options r(t t) P 1 : 1 Call + actif sans risque pour un montant de Ke Valeur K ST Diapo 9/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

10 Le profil de gain d un portefeuille d options P 2 : 1 put + 1 sous-jacent Valeur K ST Diapo 10/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

11 Parité put-call P 1 =P 2 à la date T quelque soit le prix du sous-jacent dans le future. Leur valeur à la période t doit s avérer identique, car sinon opportunité d arbitrage. Ainsi, c t + Ke r(t t) = p t + S t (1) En raison de cette parité, nous pouvons nous concentrer sur les calls pour l évaluation des options. Diapo 11/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

12 Exercise A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20? Diapo 12/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

13 Exercise A non dividend paying stock is $19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price is $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20? Answer : In this case, c 0 = 1, T = 0, 25, S 0 = 19, K = 20, t = 0, and r = 0, 04. From put-call parity c 0 + Ke rt = p 0 + S 0 or p 0 = e 0,04 0,25 19 = 1, 80 Diapo 12/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

14 L impact du dividende sur la valeur d un call Quand un dividende est attendu pendant la durée de vie d une option, la valeur d un call (put) est ajustée en soustrayant (ajoutant) la valeur actuelle du dividende. La période d actualisation est fixée selon la date d ex-dividende. Diapo 13/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

15 Exemple A European call option and a put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. Diapo 14/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

16 Exemple A European call option and a put option on a stock both have a strike price of $20 and an expiration date in 3 months. Both sell for $3. The risk free rate is 10% per annum, the current stock price is $19, and a $1 dividend is expected in 1 month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader e 0,1 3/12 + e 0,1 1/12 19 = 4, 50 Diapo 14/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

17 Plan : 1 - Notions essentielles Diapo 15/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

18 Flux liés à l option (1) L acheteur de l option PAYE la prime et achète ainsi le droit de Le vendeur de l option ENCAISSE la prime et se trouve lié à la volonté de l acquéreur du droit Diapo 16/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

19 Flux liés à l option (2) 1 Si l option est exercée : Cas du CALL : le détenteur de l option PAYE le prix convenu (X) et RECOIT le sous-jacent le vendeur de l option DOIT LIVRER le sous-jacent (REPO) et ENCAISSE le prix convenu (X) Cas du PUT : le détenteur de l option LIVRE le sous jacent et RECOIT le prix convenu (X) le vendeur de l option PAYE le prix convenu (X) et PREND POSSESSION du sous-jacent 2 Si l option est abandonnée, aucun échange nouveau n est exécuté Diapo 17/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

21 Une fonction à plusieurs variables Le prix de l option peut se calculer à l aide du modèle Black-Scholes [1] (bien que cela ne fasse plus en pratique, voir modèles alternatifs type Heston [2] ou Heston et Nandi [3]) Le calcul se base sur : S 0 le prix du sous-jacent X le strike T la distance à la maturité r le taux sans risque b le taux de distribution (dividende, lorsque nécessaire) σ la volatilité du sous jacent Diapo 19/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

22 Valorisation des options (1) Par exemple, la formule de Black et Scholes pour le call européen est la suivante : avec et c 0 = S 0 N(d 1 ) Xe rt N(d 2 ) d 1 = S0 σ2 ln( X ) + (r + 2 )T σ T (2) d 2 = d 1 σ T (3) N(d. ) étant la probabilité issue de la fonction de répartition de la loi Normale P(X < d 1 ) Diapo 20/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

24 Valeur Intrinsèque La valeur intrinsèque (VI) de l option correspond à l avantage qu elle procure du fait de son exercice : VI (c) = max(0, S K) (4) VI (p) = max(0, K S) (5) Toutefois l exercice n est possible, dans le cas d une option Européenne par exemple, qu à la maturité. La valeur de l option diffère donc avant la maturité de la VI. Diapo 22/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

25 Exemple La valeur d une option se décompose en deux : la valeur intrinsèque (cf. supra) et la valeur temps qui repose sur l incertitude qu elle puisse être exercée ou non. On prend l exemple suivant : S 0 = 110 X = 100 r = 5 % annuels b = 0 % annuels σ % annuels Diapo 23/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

26 Valeur Temps (2 A la maturité ) On calcule le prix de l option à la maturité pour toute une série de prix possibles pour le sousjacent ; à cet effet on va se positionner un instant avant la maturité : library(foptions) ## Loading required package: fbasics ## Loading required package: MASS ## ## Attaching package: fbasics ## ## The following object is masked from package:base : ## ## norm V <- NULL S <- 90:120 for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = 1/1e+21, r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25) V[i] <- cm@price } Diapo 24/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

27 Valeur Temps (3 A la maturité ) Clairement, la VT est ici NULLE, on est à la maturité plot(s, V, type = "l", col = "red", xlab = "Valeurs possibles pour S", ylab = "Prix de l'option") Prix de l'option Valeurs possibles pour S Diapo 25/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

28 Valeur Temps (4 Un mois avant la maturité :) V <- NULL for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption("c", S[i], 100, Time = 1/12, 0.04, 0.04, 0.25) V[i] <- cm@price } plot(s, V, type = "l", col = "green", xlab = "Valeurs possibles pour S", ylab = "Prix de l'option") Prix de l'option Valeurs possibles pour S Diapo 26/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

29 Valeur Temps (5 Pour 4 distances à la maturité différentes) V <- matrix(na, length(s), 4) T <- c(1/1e+21, 1/12, 3/12, 6/12) for (j in 1:4) for (i in 1:length(S)) { cm <- GBSOption(TypeFlag = "c", S = S[i], X = 100, Time = T[j], r = 0.04, b = 0.04, sigma = 0.25) V[i, j] <- cm@price } Diapo 27/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

30 Valeur Temps (6 Pour 4 distances à la maturité différentes) plot(s, V[, 1], type = "l", col = "red", xlab = "S", ylab = "Prix de l'option") for (i in 2:4) { lines(s, V[, i], col = (i + 1)) points(s[11], V[11, i]) } abline(v = 100, lty = 2, col = "grey") Prix de l'option Diapo 28/52 S Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

31 Protéger son investissement Dynamiser ses profits Plan : 2 - Protéger son investissement Dynamiser ses profits Diapo 29/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

32 Protéger son investissement Dynamiser ses profits Fonction préliminaire On commence par définir une fonction exprimant la VI : VI <- function(d, o, K, p) { ## direction : d<-'s' short or 'l' long o <-'c' call or 'p' ## put 'S' pour Sous jacent K <-strike, p <- premium ; ## ATTENTION K doit ^etre inf à 1000 S <- (1:1000).maxx <- function(a) { max(0, a) }.minn <- function(a) { min(0, a) } ifelse(o == "S", ifelse(d == "l",.vi <- (S),.vi <- (-S)), ifelse(d == "l", ifelse(o == "c",.vi <- apply(as.array((s - K)), 1,.maxx) - p,.vi <- apply(as.array((k - S)), 1,.maxx) - p), ifelse(o == "c",.vi <- apply(as.array((k - S)), 1,.minn) + p,.vi <- apply(as.array((s - K)), 1,.minn) + p))).vi } Diapo 30/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

34 Protéger son investissement Dynamiser ses profits Put défensif (protective put) Long sur le sous-jacent Achat d un put a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("l", "p", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent P/L du put P/L de la stratégie Index Index Index Diapo 32/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

36 Protéger son investissement Dynamiser ses profits Call couvert (covered call) Long sur le sous-jacent Vente d un call a <- VI("l", "S", 100, 0) b <- VI("s", "c", 100, 10) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, typ = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(s type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la strat P/L du sous jacent P/L du put P/L de la stratégie Index Index Index Diapo 34/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

37 Straddle Spread Collar Autres stratégies Plan : 3 - Straddle Spread Collar Autres stratégies Diapo 35/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

38 Straddle Spread Collar Autres stratégies Stratégies élaborées On peut composer toutes sortes de stratégies en combinant des options de même maturité et de même sous-jacent. Ces stratégies correspondent à des anticipations très variées. Les transparents suivants en présentent quelques unes parmi les plus connues. Diapo 36/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

40 Straddle Spread Collar Autres stratégies Straddle : pari sur la volatilité (1) Achat d un call Achat d un put de même strike ntic. : Le sous-jacent est très volatile mais on ne sait pas si le mouvement sera haussier ou baissier Issues : Excellent si un des mouvements extrèmes est observé, très mauvais si le cours reste stable. Strips et Straps sont similaires Diapo 38/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

41 Straddle Spread Collar Autres stratégies Straddle : pari sur la volatilité (2) a <- VI("l", "c", 100, 0) b <- VI("l", "p", 100, 0) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent P/L du put P/L de la stratégie Index Index Index Diapo 39/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

43 Straddle Spread Collar Autres stratégies Spread (1) Achat Vente de calls (ou puts) de strike différents money spread (ou de maturités différentes time spread ) ntic. : Tout dépend de ce qui est construit! Le cas suivant (achat d un call strike X 1, vente d un call de Strike X 2 avec X 1 < X 2 ) est un bullish spread, où l anticipation est haussière. Issues : Si le prix du sous-jacent chute sous X 1, la perte est limitée à c 1 tandis que l opérateur bénéficiera d une augmentation du prix du sous-jacent On construit souvent ce type de stratégie si on pense qu une option est mal valorisée sur le marché (dans mon cas, c 1 est bon marché relativement à c 2 ) Diapo 41/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

44 Straddle Spread Collar Autres stratégies Spread (2) a <- VI("l", "c", 100, 10) b <- VI("s", "c", 110, 5) strat <- a + b plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", ylim = c(-20, 20), xlim = c(80, 140), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent P/L du put P/L de la stratégie Index Index Index Diapo 42/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

46 Straddle Spread Collar Autres stratégies Collar, protection (1) Achat d un put défensif à X 1 Vente d un call couvert à X 2 pour protéger la valeur d un investissement (on imagine ici X 1 < S < X 2 ) ntic. : Le financement du put défensif se fait par la vente d un call. On protège ainsi la valeur d un investissement en recherchant l autofinancement. Issues : La laeur du sous-jacent est encadrée de façon rigide. Pour que le collar fonctionne bien, on doit avoir c proche de p Diapo 44/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

47 Straddle Spread Collar Autres stratégies Collar (2) a <- VI("l", "S", 100, 10) b <- VI("l", "p", 90, 10) c <- VI("s", "c", 110, 10) strat <- a + b + c plot(a, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "green", lwd = 2, ylab = "P/L du sous-jacent") plot(b, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(c, type = "l", xlim = c(1, 300), ylim = c(-100, 200), col = "blue", lwd = 2, ylab = "P/L du put") plot(strat, type = "l", ylim = c(70, 140), xlim = c(70, 130), col = "red", lwd = 2, ylab = "P/L de la stratégie") P/L du sous jacent P/L du put P/L du put P/L de la stratégie Index Index Index Index Diapo 45/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

49 Straddle Spread Collar Autres stratégies Papillon (ici, Long Butterfly 1 ) Le prix du sous-jacent est sensé dans cette stratégie terminer aux environs du Strike central a <- VI("l", "c", 97, 5) b <- VI("s", "c", 100, 4) c <- VI("s", "c", 100, 4) d <- VI("l", "c", 103, 3) strat <- a + b + c + d Diapo 47/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

50 Straddle Spread Collar Autres stratégies Papillon (ici, Long Butterfly 2) plot(strat, xlim = c(90, 110), ylim = c(-1, 5), col = "blue", lwd = 2, type = "l") abline(v = c(97, 100, 103), h = 0, lty = 2, col = "grey") strat Index Diapo 48/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

51 Straddle Spread Collar Autres stratégies Condor (ici, Short Condor 1) Stratégie voisine du Straddle ou du Short Butterfly (anticipation de volatilité importante) a <- VI("s", "c", 97, 5) b <- VI("l", "c", 100, 4) c <- VI("l", "c", 103, 3) d <- VI("S", "c", 106, 3) strat <- a + b + c + d Diapo 49/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

52 Straddle Spread Collar Autres stratégies Condor (ici, Short Condor 2) plot(strat, xlim = c(95, 107), ylim = c(-2, 2), col = "blue", lwd = 2, type = "l") abline(v = c(97, 100, 103, 106), h = 0, lty = 2, col = "grey") strat Index Diapo 50/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

53 Documents à consulter 1 Un livret de l Australian Stock Exchange répertoriant une petite trentaine de stratégies élémentaires : UnderstandingStrategies.pdf 2 Sept erreurs à ne pas commettre quand on traite les options : : optionsuniversity.com/mediaroom/article-seven-mistakes.pdf Diapo 51/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)

54 Références bibliographiques Fischer Black and Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3) : , Steven L. Heston. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 6(2) : , Steven L. Heston and Saikat Nandi. A closed-form garch option pricing model. Technical report, Federal Reserve Bank of Atlanta., Diapo 52/52 Olivier Brandouy Master 2 Métiers de la Banque (CPA)