pour démarrer 4 1. À l aide d un quadrillage, représenter le cube ci-dessous À l aide d un quadrillage, représenter la pyramide ci-dessous.

Transcription

1 pour démarrer ection de solides 1 n a représenté cicontre la section du cylindre d axe () par un plan parallèle à cet axe. Par laquelle des trois figures, cette section peut être représentée dans son plan? ig. 1 ig Reproduire la figure précédente en utilisant un quadrillage puis tracer en vert la section de la pyramide par le plan parallèle à la face passant par. 2. Reproduire à nouveau la figure initiale puis tracer en vert la section de la pyramide par le plan parallèle à la face passant par À l aide d un quadrillage, représenter le cube ci-dessous. R T ig. 2 oit un cylindre de rayon de base 2 cm et de hauteur 6 cm. 2. a. n coupe ce cube par un plan parallèle à et qui passe par. a section passe-t-elle par R?? T? b. essiner en rouge la section obtenue sur la figure de la question 1.. Préciser la nature exacte de cette section À l aide d un quadrillage, représenter la pyramide ci-dessous. ndiquer la nature de la section du cylindre par un plan qui passe par l axe ( ) de ce cylindre. essiner cette section en vraie grandeur. n a représenté ci-dessous en perspective une pyramide. est le milieu de []. 2. a. n coupe cette pyramide par le plan parallèle à et qui passe par. a section passe-t-elle par??? b. essiner en bleu la section obtenue sur la figure de la question 1.. Préciser la nature exacte de cette section si est : a. rectangle en ; b. isocèle en ; c. équilatéral. 268 PTR 15 P

2 6 1. essiner dans son plan l allure de la section 9 n considère le cône du cube représenté ci-dessous par le plan parallèle à qui passe par. ndiquer la nature précise de cette section. ci-contre. n donne : 4 cm ; 6 cm et cm (la figure n est pas à l échelle). 1. essiner en vraie grandeur le triangle et placer les points et. 2. Utiliser la figure de la question précédente pour dessiner en vraie grandeur la section du cône par le plan passant par et parallèle à la base. 2. ême question en considérant la section du cube par le plan parallèle à () passant par et. 7 éline a coupé le cylindre d axe ( ) représenté ci-contre par le plan parallèle à la base et qui passe par. Jérôme a coupé un cylindre identique par le plan parallèle à ( ) et qui passe par et P. essiner dans leur plan l allure de chacune des sections en indiquant leur nature précise. P 10 n considère le pavé droit représenté ci-contre tel que : cm ; 4 cm et 5 cm. 1. essiner en vraie grandeur. 2. a. Placer le point milieu de []. b. alculer la valeur exacte de.. e pavé est coupé par le plan qui passe par et et qui est parallèle à (). a. Quelle est la nature de la section? b. ndiquer ses dimensions exactes. c. Représenter cette section en vraie grandeur dans son plan. Voir hoisir les outils, p n a représenté ci-dessous un cube d arête 8cm. J 1. Reproduire la figure et tracer la pyramide. 2. n coupe la pyramide par un plan parallèle à la base et qui passe par J. Représenter la section obtenue en vraie grandeur (justifier la nature et les dimensions).. ême question si le plan passe par. 11 a figure ci-dessous représente un pavé droit sur lequel on a J placé le milieu de chacune de ses arêtes. n donne : R 6 cm ; P 4 cm Q et cm. T 1. a. n coupe le pavé par le plan passant par et qui est parallèle à la face. Préciser la nature de la section. b. iter d autres points de la figure qui appartiennent à cette section. c. onner les dimensions réelles du quadrilatère obtenu par cette section. 2. a. n coupe le pavé par le plan parallèle à () qui passe par et T. Préciser la nature de la section. b. iter d autres points de la figure qui appartiennent à cette section. c. alculer les dimensions réelles du quadrilatère obtenu par cette section et le représenter dans son plan en vraie grandeur. PTR 15 P 269

3 phères et sections Reproduire la sphère de centre représentée ci-dessous. et sont deux points de cette sphère. 2. oit et les points diamétralement opposés à et à. a. Que représente pour le segment [ ]? b. Placer les points et. c. Représenter le grand cercle qui passe à la fois par et par Reproduire la figure ci-dessous qui représente une sphère, un de ses grands cercles et deux de ses points et. 2. ur la figure précédente, dessiner à main levée la section de cette sphère par le plan parallèle à passant : a. par ; b. par. 14 e xercices ur le dessin ci-contre, la sphère a pour centre. Un plan coupe cette sphère selon un cercle de centre et de rayon 4,5 cm ( 4,5 cm). 1. achant que 2,2 cm, dessiner le triangle dans son plan en vraie grandeur. 2. alculer à 1 mm près. Voir onnaître les outils 1, p n considère la sphère ci-contre de centre et de rayon 6 cm. est un point de la sphère 60 tel que 60. n veut calculer le rayon du cercle de section de la sphère par le plan perpendiculaire à () qui passe par. 1. n admet que les droites () et ( ) sont parallèles. n déduire la mesure de. Justifier la réponse. 2. essiner le triangle dans son plan en vraie grandeur puis calculer.. Reprendre les questions 1 et 2 avec : Une sphère est contenue dans un cube. e diamètre de cette sphère est égal à la longueur d une arête du cube. À chacune des descriptions suivantes, associer l une des quatre figures ci-dessous. a. Représentation de la section du cube et de la sphère par un plan parallèle à une base et qui passe par le centre de la sphère. b. Représentation de la section du cube et de la sphère par le plan qui passe par. c. Représentation de la section du cube et de la sphère par le plan qui passe par. d. igure ne pouvant être la représentation de la section du cube et de la sphère par un plan. P J Reproduire le dessin ci-contre où est le milieu de []. Tracer à main levée sur cette figure l allure de la section de la sphère par le plan passant par et perpendiculaire à (). 2. alculer le rayon du cercle obtenu à la question 1 quand 6 cm. ig. 1 ig. 2 ig. ig PTR 15 P

4 alculs d aires et de volumes 22 ssocier les étiquettes de chaque colonne. 18 Une boule, un cône, un cube, un cylindre, un parallélépipède rectangle et une pyramide sont représentés ci-dessous, ainsi que les formules permettant de calculer leur volume. 1 Volume du cube de côté 6 cm Volume du cylindre de rayon 2 10 cm et de hauteur 6 cm Volume du parallélépipède rectangle de 4 cm de large, 5 cm de long et 9 cm d épaisseur Volume du cône de rayon 6 cm 4 et de hauteur 10 cm Volume de la pyramide de base 5 carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm 6 Volume de la boule de rayon 6 cm a 120 cm b 120 cm c 288 cm d 600 cm e 216 cm f 180 cm 4 r ; h ; r 2 h ; a ; h ; r 2 h. Refaire à main levée les figures ci-dessus en indiquant pour chacune d elles le nom du solide qu elle représente et la formule qui sert à calculer son volume. ndiquer sur chaque figure ce que représentent les lettres des formules. 19 alculer l aire totale de la surface extérieure de chacun des solides suivants : a. un cube d arête 6 cm ; b. un parallélépipède rectangle de 4 cm de large, 5 cm de long et cm de hauteur ; c. une sphère de cm de rayon. 20 n considère une sphère de rayon cm. 1. alculer son aire (arrondir au dixième de centimètre carré). 2. alculer son volume intérieur (arrondir au dixième de centimètre cube). 21 ssocier les étiquettes de chaque colonne. 1 Volume de la boule de rayon x 2 Volume du cube de côté x 4 5 Volume du cône de rayon x et de hauteur x Volume de la pyramide de base carrée de côté x et de hauteur x Volume du cylindre de rayon x et de hauteur x a 1 x b x c 1 x d x e 4 x 2 Parmi les trois solides suivants, indiquer en justifiant la réponse ceux qui ont le même volume (les dessins ne sont pas à l échelle). Pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm 24 Parmi les trois solides suivants, indiquer en justifiant la réponse ceux qui ont le même volume (les dessins ne sont pas à l échelle). ylindre de rayon de base 1 cm et de hauteur 2 cm ube d arête 5 cm Parallélépipède rectangle de dimensions 4 cm, 5 cm et 6 cm ône de rayon de base 1 cm et de hauteur 6 cm phère de rayon 1 cm 25 Une boule de pâte à modeler de rayon cm est transformée en un cylindre dont la base mesure aussi cm de rayon. Quelle est la hauteur de ce cylindre? PTR 15 P 271

5 26 1. achant que r 4 cm, calculer puis 29 e solide ci-dessous est constitué d un pavé comparer les volumes 1 et 2 de chacun des solides 1 et 2 ci-dessous. droit de hauteur 2 cm, de base carrée de côté 4 cm, et d une demi-sphère de diamètre 4 cm. r ême question pour r 10 cm.. oit r un nombre positif. Écrire en fonction de r le volume 1 puis le volume 2. n déduire une comparaison de ces deux volumes. 27 eux sœurs, aphné et naïs, disposent de cinq boules de bois identiques de rayon 6 cm. naïs peint en bleu trois de ces boules ; aphné découpe les deux boules restantes par un plan qui passe par leur centre et veut peindre en rouge les quatre morceaux ainsi obtenus. 1. alculer, pour chacune des sœurs, l aire de la surface à peindre. omparer les résultats obtenus. 2. e manière générale, le résultat constaté est-il vrai pour des boules ayant le même rayon r? Justifier Que représente chacune des expressions suivantes pour le cylindre ci-dessous? h ; r ; r 2 ; 2 r ; 2 rh ; r 2 h ; 2 r 2 2 rh. 2. n donne h 5 cm et r cm. alculer : a. le volume du cylindre (arrondi au cm ) ; b. l aire de la surface extérieure, bases comprises, du cylindre (arrondie au cm 2 ). r h2 r r 1. alculer le volume intérieur de ce solide. 2. a. essiner dans son plan et en vraie grandeur la face supérieure du pavé en faisant apparaître le grand cercle de la demi-sphère. b. alculer l aire de la surface extérieure de ce solide. 0 alculer le volume du solide ci-dessous constitué d une boule de rayon 1 m, d un cylindre de hauteur m et de rayon de base 2 m. onner l arrondi au cm. 1 m 2 m m 1 élule ou comprimé? Une gélule est constituée de l assemblage d un cylindre de 6 mm de hauteur et de mm de diamètre, et de deux demi-sphères. 6 mm mm 1. a. alculer le volume total de la gélule. b. alculer le volume de médicament contenu dans la gélule si celle-ci est remplie aux deux tiers. onner la valeur exacte puis l arrondi au mm. 2. e fabricant propose la même quantité de médicament? sous forme d un comprimé cylindrique dont la base a un mm rayon de mm. Quelle est la hauteur de ce comprimé? 272 PTR 15 P

6 2 1. alculer le volume de la boule de rayon 10 cm et le volume du cylindre de hauteur 20 cm dont la base a pour rayon 10 cm. 5 À l aide des indications données par la figure ci-contre, calculer le volume de ce solide (arrondir le résultat au mm ). n donne : 2 cm ; 4 cm ; 6 cm ; cm. 2. alculer la valeur exacte de l aire de la sphère et celle de l aire latérale du cylindre puis comparer ces valeurs. ans une boîte cubique dont l arête mesure 7 cm, on place une boule de diamètre 7 cm. 6 alculer le volume du solide ci-dessous sachant que P 90 et 4 cm. P e volume de la boule correspond à un certain pourcentage du volume de la boîte. n appelle ce pourcentage taux de remplissage de la boîte. alculer le taux de remplissage de la boîte. rrondir ce pourcentage à l entier le plus proche es boules de pétanque de eorges rentrent exactement dans un étui cylindrique comme l indique la figure ci-contre. haque boule a un diamètre de 8 cm. a. alculer le volume de l étui (arrondir au mm ). b. alculer le volume de la boîte non occupé par les boules (arrondir au cm ). 2. Reprendre les questions précédentes pour aston qui, lui, range ses boules de pétanque (de même diamètre) dans un étui parallélépipédique à base carrée (figure ci-dessous). 7 es oranges ont la forme de sphères de rayon 5 cm et une peau d épaisseur uniforme 5 mm. 1. n coupe une de ces oranges suivant un plan qui passe par son centre. chématiser en vraie grandeur la section obtenue. 2. alculer le volume d une de ces oranges une fois épluchée.. Johan découpe dans une troisième orange un quartier comme l indique la figure ci-dessous. 60 alculer le volume de pulpe du quartier prélevé. PTR 15 P 27

7 grandissement et réduction 8 a pyramide représentée sur la figure ci-contre a pour base le carré et pour hauteur []. n donne : 5 cm ; 4 cm et 4 cm. n réalise la section de cette pyramide par le plan parallèle à la base qui passe par. Représenter la section obtenue en vraie grandeur (justifier la nature et les dimensions). 9 n a représenté ci-dessous une pyramide dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux de côtés 9 cm. n coupe cette pyramide par le plan parallèle à qui passe par. 1. Représenter la section obtenue en vraie grandeur (justifier la nature et les dimensions). 2. ême question si le plan passe par. 40 n donne la figure ci-contre dans laquelle les bases des deux pyramides sont parallèles. 1. alculer. 2. Quel coefficient de réduction permet de passer de la grande pyramide à la petite pyramide?. Par quel nombre faut-il e xercices multiplier l aire de la grande base pour obtenir celle de la petite base? 4. Par quel nombre faut-il multiplier le volume de la grande pyramide pour obtenir celui de la petite pyramide? 5. Par quel nombre faut-il multiplier le périmètre de la grande base pour obtenir celui de la petite base? Voir onnaître les outils 2, p ur la figure ci-dessous, est une pyramide de hauteur et de base le rectangle. n donne : 4 cm ; cm et 7 cm. 1. alculer le volume de la pyramide. 2. n coupe la pyramide par un plan parallèle à la base tel que 1. éterminer le volume de n donne la figure cicontre où le cône de hauteur 12 cm et le cône de hauteur 8 cm ont leurs bases parallèles. 1. ontrer que le coefficient d agrandissement du grand cône par rapport au petit au cône est égal à /2. 2. Par quel nombre faut-il multiplier l aire de la petite base pour obtenir celle de la grande base?. Par quel nombre faut-il multiplier le volume du petit cône pour obtenir celui du grand cône? 4. aire du disque de base du petit cône est cm 2 et le volume du petit cône est 6 cm. alculer l aire du disque de base et le volume du grand cône. 4 e cône de révolution ci-contre, de sommet, a une hauteur de 9 cm et un rayon de base de 5 cm. 1. alculer le volume 1 de ce cône au cm près. 2. n coupe le cône par un plan parallèle à la base et qui passe par le point de [] tel que cm. alculer, au cm près, le volume 2 du petit cône de sommet ainsi obtenu. 274 PTR 15 P

8 pour s évaluer Pour chaque ligne du tableau, choisir la ou les affirmation(s) juste(s) (voir corrigés, p. 000). 1 Q e volume d une boule de rayon r est a b c r 4 r 4 r Une boule a un rayon de 1 m. oit son volume 1 m 4 m 12 m 2 en m et son aire en m 2 un parallélogramme qui n est pas un rectangle on ne peut pas savoir un rectangle a section plane rouge qui est parallèle à () est 4 a section d une pyramide à base carrée par un plan parallèle à la base est un triangle un cercle un carré 5 est un point de la sphère de centre et de rayon 5 cm. est le point de [] tel que cm. a section de la sphère par le plan perpendiculaire à () passant par est un cercle de rayon cm. a section de la sphère par le plan perpendiculaire à () passant par est un cercle de rayon 5 cm. a section de la sphère par le plan perpendiculaire à () passant par est un cercle de rayon 4 cm. Q P 6 est un rectangle, 12 cm, 10 cm et 0 cm. es plans PQ et sont parallèles. PQ est un rectangle et 4 cm. aire de est trois fois plus grande que celle de PQ. e volume de PQ est vingt-sept fois plus petit que celui de. PTR 15 P 275

9 pour aller plus loin 44 éomètres en herbe 48 arah, monitrice dans une colonie, veut que À partir d un même volume de pâte à modeler, des enfants «géomètres» ont réalisé : l un une pyramide à base carrée dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux, un deuxième une boule et le troisième un cube. lasser ces solides par ordre croissant de hauteur. ndication : s intéresser au cube de la hauteur. chacun des 24 enfants puisse fabriquer une bougie flottante. Pour réaliser une telle bougie, on prend pour moule une demi-balle de tennis, c est-à-dire une balle coupée en deux par un plan qui passe par son centre. e diamètre intérieur d une balle de tennis est de 5,4 cm. a cire nécessaire sera obtenue en faisant fondre des bougies de forme cylindrique de diamètre de base 2 cm et de hauteur 10 cm. 45 arah prévoit d acheter 15 % de plus de cire que le a est un nombre positif. n considère les trois volume théoriquement nécessaire. pyramides suivantes : ombien de bougies doit-elle acheter? T U ig. 1 ig. 2 ig. ans ces trois pyramides, on donne : a ; a ; 1 2 a ; TU 1 2 a et W 2a. omparer le volume des trois pyramides. W V 49 es dimensions du pavé droit ci-dessous sont : 8 cm ; 10 cm ; 12 cm (la figure n est pas en vraie grandeur). est un point du segment []. a pyramide de sommet et de base est coupée par un plan parallèle à la base passant par le point. a section est un quadrilatère J, J, et appartenant respectivement aux segments [], [] et []. 46 ube tronqué i on sectionne un coin d un cube par un plan passant par les milieux de trois arêtes, on obtient le solide ci-contre. n coupe de la même façon les huit coins du cube par des plans qui passent par le milieu de chaque arête. e volume total des huit morceaux découpés est-il égal au volume du solide restant? Justifier la réponse par des calculs en notant a la longueur de l arête du cube initial. 47 ù couper? n considère la sphère ci-contre de centre et de rayon 109 mm. 1. Rappeler la nature de la section de cette sphère par un plan. 2. n donne 91 mm. alculer. h 1. Quelle est la nature du quadrilatère J? 2. Reproduire la figure à l aide d un quadrillage et représenter en rouge la section J.. e plan de section étant parallèle à la base, les droites (J) et () sont parallèles ainsi que les droites () et (). ans cette question, on pose 4 cm. a. alculer. b. ontrer que J 4,8 cm en utilisant le triangle puis que 7,2 cm en utilisant le triangle. c. alculer le périmètre p du quadrilatère J. 4. ans cette question, on pose x (en cm). a. Utiliser la démarche précédente, sans la justifier à nouveau, pour exprimer, J et en fonction de x. b. xprimer p en fonction de x. c. hercher où se trouve sur le segment [] quand p 10 cm. 276 PTR 15 P