Une introduction aux poutres planes

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1 Une introduction aux poutres planes Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Géométrie et chargement Equilibre Lois de comportement Poutres composites

2 Efforts extérieurs et déplacements imposés u d F d Déplacement imposé u d sur la surface Ω u Force répartie imposée F d sur la f d Ω surface Ω F Force volumique imposée f d à l intérieur de Ω Champ u CCA (cinématiquement admissible) : u = u d sur Ω u ε (grad = 0.5 u + grad T u ) Champ σ CA (statiquement admissible) : σ.n = Fd sur Ω F divσ + f d = 0 dans Ω Poutres planes Principe des travaux virtuels

3 Pour σ Evaluation du travail développé par σ CA et u CCA non reliés par la loi de comportement dans u Ω Ω σijε ijdω = = = = σijε ijdω = Ω 1 2 σ ij σiju i,jdω Ω Ω Ω Ω ( u i,j + u ) j,i dω ( (σ ) ij u i),j σ ij,ju i dω σijn j u id σij,ju idω Ω F i u id + fi d u idω Ω Théorème des travaux virtuels : u i, variation autour d un état d équilibre (u i = 0 sur Ω u ) Ω σ ijε ijdω = δw int = δw ext = Ω F F d i u id + Ω f d i u idω Poutres planes Principe des travaux virtuels

4 Poutre droite chargée dans son plan x 3 P p t F x 1 M Forces concentrées P perpendiculaire à l axe de la poutre, F dans l axe de la poutre Forces surfaciques p perpendiculaire à l axe de la poutre, t dans l axe de la poutre Moment de flexion M autour de x 2 - l axe de la poutre, x 1, est droit, la section est à une abscisse x 1 ; - la poutre se déforme dans le plan x 1 x 3, qui est plan principal d inertie ; - la poutre transmet des efforts normaux en direction x 1, des cisaillements en direction x 3 et des moments autour de l axe x 2. - L axe x 1 joint est le lieu des centres d inerties des sections : x 3d = 0 Poutres planes Définitions

5 Cinématique de la poutre de Timoshenko L idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d autant plus satisfaisantes que l élancement est important (et fausses dans le cas contraire). Pour traiter le cas d une poutre plane, on conserve dans la description géométrique deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel). ollicitation axe de la poutre perp à l axe moment de flexion «force» N T M «déplacement» U V θ Pour le cas d une poutre mince, on néglige le cisaillement (modèle N, M, Navier Bernoulli). Poutres planes Définitions

6 Cinématique de la poutre de Timoshenko u 1 = U (x 1 ) + θ x 3 u 3 = V (x 1 ) ε 11 = U,1 + θ,1x 3 2ε 13 = V,1 + θ Géométrie et cinématique d une poutre plane, (a) plan de la ligne neutre, (b) section Poutres planes Définitions

7 Travaux virtuels des efforts internes δw int = = V L (ε 11σ ε 13σ 13 )dv ( U,1 σ 11 d + θ,1 x 3 σ 11 d + (V,1 + θ ) ) σ 13 d dx 1 On introduit alors naturellement les quantités N, T, M conjuguées de U, V, θ : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d ce qui donne : δw int = L ( NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 Poutres planes Efforts intérieurs

8 Traitement du travail des efforts intérieurs A partir de : δw int = L ( NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple : NU,1dx 1 = ((NU ),1 N,1 U ) dx 1 = [NU ] L 0 N,1 U dx 1 L d où : δw int = L L ( N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ )) dx 1 +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) L Poutres planes Efforts intérieurs

9 Travail des efforts extérieurs On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont : les forces normales F 0 et F L, tangentielles P 0 et P L, les moments M 0 et M L, les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales p et tangentielle t : δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) + M 0 θ (0) + M L θ (L) + (pv + tu )) dx 1 L Poutres planes Efforts extérieurs

10 Caractérisation de l équilibre δw int = L ( N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ )) dx 1 +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) + M 0 θ (0) + M L θ (L) + (pv + tu )) dx 1 L Comme l égalité δw int + δw ext = 0 est valable quel que soit le triplet (U, V, θ ), on trouve, en identifiant terme à terme les expressions de δw int et δw ext : N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L et : M(0) = M 0 M(L) = M L N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 Poutres planes Equilibre

11 Ecriture de l équilibre On pose : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d On obtient : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 t p ignification physique pour une «tranche» de la poutre dn = tdx 1 T N M N+dN T+dT M+dM dt = pdx 1 dm = T dx 1 Poutres planes Equilibre

12 Lois de comportement : force axiale On a Eε 11 = σ 11 ν(σ 22 + σ 33 ) On néglige σ 22 et σ 33 N = σ 11 d = Eε 11 d = Eu 1,1 d N = EU,1 d + E(θx 3 ),1 d Le deuxième terme du développement est nul. N = U, 1E Poutres planes Loi de comportement

13 Lois de comportement : moment M = x 3 σ 11 d = x 3 Eε 11 d = x 3 U,1 d + x 3 (θx 3 ),1 d Le premier terme du développement est nul. avec I = M = θ,1 x 2 3d = θ,1 I x 2 3 d, rigidité à la flexion, si bien que : M = x 3σ 11 d = EIθ,1 NB : pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I = 2bh3 3 Poutres planes Loi de comportement

14 Lois de comportement : cisaillement T = σ 13 = 2µε 13 d = µ(u 1,3 + u 3,1 )d = µ (θ + V,1 ) d si bien que : T = µ(θ + V,1 ) Poutres planes Loi de comportement

15 Lois de comportement Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure. N = EU,1 T = µ(θ + V,1 ) M = EIθ,1 V,1 = θ + T/µ θ,1 = M/EI M,1 T = 0 T,1 + p = 0 Poutres planes Loi de comportement

16 Déformée flexion cisaillement Le terme de cisaillement, produit une évolution linéaire de la flèche. Le terme de flexion pure lié au moment M est en puissance 3 de x 1 V,11 = θ,1 = M EI V,111 = M, 1 EI = T EI La flèche est obtenue comme solution d un problème d ordre 4 par rapport aux efforts appliqués : V,1111 = p EI Poutres planes Loi de comportement

17 Méthode de résolution Le déplacement horizontal s obtient en intégrant la relation : U,1 = N/E La rotation relative entre les sections s obtient en intégrant la relation : θ,1 = M/EI La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l un provenant de la rotation elle même, et l autre de l effort tranchant T : V,1 = θ + T/µ Poutres planes Loi de comportement

18 Remarques Expression des contraintes locales La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux. ( Eε 11 = Eu 1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l élongation et à la flexion : σ 11 = N/ + Mx 3 /I i le cisaillement est négligeable θ = V,1 M = EIV,11 Poutres planes Loi de comportement

19 Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points) x 3 P x 1 si x 1 < l : T = P/2 ; M = P x 1 /2 si x 1 > l : T = P/2 ; M = P (l x 1 /2) T,M P/2 Pl/2 M x 1 T P/2 Poutres planes Flexion 3 points

20 Flexion 3 points : calcul de la flèche max L angle θ est tel que θ,1 = P x 1 /2EI, et, comme il est nul en x 1 = l, on a : θ = P (x2 1 l 2 ) 4EI La flèche, qui est nulle en x 1 = 0, se calcule par : V = x1 0 θdx 1 + x1 0 T µ dx 1 soit : V = P l3 6EI + P l 2µ Poutres planes Flexion 3 points

21 Flexion 3 points : calcul de la flèche max V = P l3 6EI + P l 2µ Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, E = MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur) EI = = N.mm 2 µ = = N v = ( ) mm Le terme lié à l effort tranchant est négligeable. Poutres planes Flexion 3 points

22 Poutre sandwich en flexion 3 points x 3 P e e 2l 2h x 1 On considère un sandwich, avec au centre ( h < x 3 < h) un matériau à faibles propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques E m et µ m ), et, de chaque côté ( h e < x 3 < h et h < x 3 < h + e) une couche métallique (caractéristiques élastiques E a et µ a ). Poutres planes Poutre sandwich

23 Poutre sandwich : force axiale N = σ 11 d La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11 σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) N = U,1 si bien que : E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 3 d E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est nulle N =< E > U,1 avec < E >= E(x 3 )d Poutres planes Poutre sandwich

24 Poutre sandwich : moment M = x 3 σ 11 d σ 11 = E(x 3 ) (U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) M = U,1 si bien que : x 3 E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 2 3d E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la première intégrale est nulle M =< EI > θ,1 avec < EI >= E(x 3 )x 2 3d Poutres planes Poutre sandwich

25 Poutre sandwich : cisaillement La contrainte σ 13 est continue à l interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x 1 est non nulle, alors que la surface x 3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ 13 n est pas égale à 2µε 13. x 3 σ 13 = 0 σ 31 x 3 σ 13 x 1 σ 11 T = σ 13 d b 0 +h h σ 13 dx 2 dx 3 = (V,1 + θ) +h h 2bµ(x 3 )dx 3 T < µ > +h h (V,1 + θ) Poutres planes Poutre sandwich

26 Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d utiliser les valeurs homogénéisées des produits EI et µ : v = P l 3 6 < EI > + P l 2 < µ > L aluminium (e a, µ a ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (E m, µ m ) entre les cotes ±h. Il vient donc : < EI >= 2 3 b(e a((h + e) 3 h 3 ) + µ m h 3 ) < µ >= 2bhE m Poutres planes Poutre sandwich

27 Poutre sandwich en flexion 3 points Application numérique : L ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E a = MPa, E m = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à : < EI >= (75000 ( ) ) = N.mm 2 < µ >= = N V = ( ) mm C est maintenant le terme lié à l effort tranchant qui est prépondérant. On note l importance qu il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d Young de 0,80 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l avantage de l assemblage «sandwich». Poutres planes Poutre sandwich

28 Finite element computations Material parameter Aluminium alloy : Young s modulus E a, Poisson s ratio ν a = 0.3 Foam, calcul B : Young s modulus E f, Poisson s ratio ν f Geometry Foam thickness 2h, Alu thickness = e Length Width of the plate = 500 mm 100 mm F Loading Force/unit width F = 1.5 N/mm 2h e e Aluminium Foam Poutres planes Poutre sandwich

29 Finite element computations Mesh and boundary conditions Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3 Foam, calcul B : E = MPa, ν=0.2 Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2 Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm Force YM V1 V2 V3 Bottom Poutres planes Poutre sandwich

30 Finite element computations Coarse and Fine meshes Poutres planes Poutre sandwich

31 y Finite element computations Deformed y shapes z x A y z x B z x C Poutres planes Poutre sandwich

32 Vertical displacement 2 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet coarse A fine A bending shear total -2 U2 (mm) < center - - Y - - right support > Poutres planes Poutre sandwich

33 Vertical displacement Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core fine B bending shear total U2 (mm) < center - - Y - - right support > Poutres planes Poutre sandwich

34 Vertical displacement 5 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core fine B bending shear total U2 (mm) < center - - Y - - right support > Poutres planes Poutre sandwich