Mouvement d un solide en rotation autour d un axe fixe

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1 Mouvement d un solide en rotation autour d un axe fixe II. Moment cinétique scalaire d un solide en rotation autour d un axe fixe 1. Moment cinétique d un point matériel par rapport à un point On appelle moment cinétique /R ou /R d'un point matériel par rapport au point dans un référentiel R, le moment par rapport à ce point de sa quantité de mouvement. /R = /R =. /R Le moment cinétique dépend du référentiel et du point. L'unité du moment cinétique est.².. Le moment cinétique est une grandeur additive. Relation entre les moments cinétiques par rapport à deux points ( et ) : /R = /R =. /R +. /R =. /R + /R /R = /R +. /R 2. Moment cinétique d un point matériel par rapport à un axe orienté Le moment cinétique /R par rapport à un axe orienté passant par de vecteur unitaire est la projection de /R sur /R = /R. =. /R. Ce moment est indépendant du choix de situé sur l axe. 3. Moment cinétique d un solide en rotation autour d un axe fixe, moment d inertie moment d inertie d un point par rapport à un axe Soit un solide en rotation autour d un axe fixe et soit le vecteur unitaire de cet axe. Considérons un point appartenant à ce solide. Ce point est repéré en coordonnées cylindriques /R =. /R. =.. =. est le moment d inertie du point par rapport à l axe L unité du moment d inertie est le.² Le moment cinétique par rapport à l axe s écrit : /R =. Rabeux Michel Page 1

2 moment d inertie d un solide par rapport à un axe Le moment cinétique est une grandeur additive donc /R =.. =.. Tous les points du solide possèdent la même vitesse angulaire Le moment d inertie du solide par rapport à l axe a pour expression : =. Le moment cinétique du solide par rapport à l axe s écrit : /R =. 4. Moments d inertie de solides particuliers tube cylindrique de rayon ou cercle de rayon =. cylindre plein de rayon ou disque de rayon boule pleine de rayon tige de longueur = 1 2. = 2 5. = III. Moment d une force par rapport à un axe orienté 1. Expression du moment d une force par rapport à un point Considérons dans un référentiel R, un point matériel possédant une vitesse soumis à une force. On appelle moment d'une force s'appliquant en par rapport à un point le vecteur : = ce vecteur est perpendiculaire au plan formé par et son sens se détermine à l'aide de la "règle du tire-bouchon" ( issue du produit vectoriel ) =.. sin =. ( unité :. ) : bras de levier ( distance de à la droite d'action de la force ). θ Si la direction de la force passe par alors son moment par rapport à est nul Relation entre les moments par rapport à deux points ( et ) ( formule du torseur ) : = + Rabeux Michel Page 2

3 2. Expression du moment d une force par rapport à un axe orienté Soit un axe passant par de vecteur directeur, le moment de la force par rapport à l'axe correspond à la projection du moment sur l'axe : =. =. Ce moment est indépendant du choix de sur l'axe. Soit un point appartenant à =. = +. =. +. =. Si // alors =0, il en est de même si la direction de la force passe par. La composante de la force parallèle à l'axe n intervient pas dans le moment de cette force par rapport à l'axe. Les coordonnées cylindriques sont les plus adaptées pour exprimer ce moment ( l axe étant l axe ) = =. =. avec la composante de la force perpendiculaire à et le bras de levier 3. Couple Un ensemble de 2 forces de somme nulle et de droite d action différentes constitue un couple Le couple est noté + =0 Soit un axe orienté perpendiculaire au plan formé par ) =. = = Souvent par abus de langage le moment du couple est appelé couple Le signe du moment du couple se détermine par la règle du tire bouchon Le torseur d un couple se résume à son moment ( SI ) En généralisant un couple est un ensemble de forces résultante nulle et de moment par rapport à l axe non nul. Un couple peut être moteur ou résistant. Rabeux Michel Page 3

4 4. Liaison pivot Une liaison pivot d axe est une liaison qui restreint les possibilités de mouvement à la seule rotation autour de l axe Le moment par rapport à l axe d une liaison pivot idéal ( d axe ) est nul. =0 En présence de frottement (liaison pivot non idéal), le moment est non nul (couple résistant). IIII. Loi scalaire du moment cinétique d un solide en rotation autour d un axe fixe orienté 1. Loi du moment cinétique pour un point matériel par rapport à un point fixe Dérivons l'expression du moment cinétique par rapport au temps ( étant un point fixe du référentiel galiléen R g ) /R = R. /R + /R R /R = /R. /R + = R Avec la résultante des forces qui s exercent sur /R = = R La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d un point matériel par rapport à un point fixe / R g est égale au moment par rapport à de la résultante des forces appliquées au point. 2. Loi scalaire du moment cinétique pour un point matériel par rapport à un axe orienté Multiplions scalairement chaque membre de l'égalité /R = par R vecteur unitaire de l'axe ( fixe ) orienté passant par. On obtient : /R = qui correspond au théorème du moment cinétique par R rapport à un axe fixe. R Rabeux Michel Page 4

5 3. Loi scalaire du moment cinétique d un solide en rotation par rapport à un axe orienté La loi relative au point matériel peut être étendue au solide en rotation autour de l axe fixe Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps du moment cinétique d un solide par rapport à un axe fixe orienté est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe. /R = or /R =. R. = IIV. Pendule pesant 1. Définition Un pendule pesant est un solide de masse mobile autour d un axe fixe horizontal ne passant pas par son centre de gravité. Ce pendule sera caractérisé par son moment d inertie par rapport à l axe : 2. Mise en équation du mouvement du pendule pesant Le pendule est étudié dans un référentiel galiléen, il est soumis à son poids et à l action de la liaison pivot. L axe fixe est orienté.. =. =. =...sin +.. sin=0 on pose : =.. +.sin=0 équation différentielle non linéaire = Pour les faibles amplitudes sin on obtient : +.=0 L oscillateur devient harmonique avec une période propre =2.. =..+ Rabeux Michel Page 5..

6 3. Intégrale première du mouvement Multiplions membre à l expression suivante issue du 2. par..+...sin. =0 Cette nouvelle expression peut s écrire : =0 Intégrons par rapport au temps : = Cette expression est l intégrale première du mouvement. La constante est l énergie mécanique du pendule ( voir le paragraphe V ) 4. Portrait de phase Le portrait de phase du pendule pesant est le suivant : mouvements pendulaires mouvements révolutifs cas de transition Rabeux Michel Page 6

7 5. Evolution de la période des oscillations avec l amplitude Dans le cas des petites amplitudes ( <20 ) l équation différentielle peut être linéarisée, il y a isochronisme des oscillations avec une période propre : =2.... Pour des amplitudes supérieures à 20, la dépendance de l amplitude dans l expression de la période ne peut plus être négligée. La période augmente avec l amplitude, il n y a plus isochronisme des oscillations. IV. Energie cinétique d un solide en rotation 1. Energie cinétique d un solide L énergie cinétique d un solide est la somme des énergies cinétiques de chaque partie du solide /R = 1 2 /R. 2. Energie cinétique d un solide en rotation autour d un axe fixe Dans le cas du solide en rotation autour d un axe fixe : =. L énergie cinétique s écrit : /R=. =. Rabeux Michel Page 7

8 IVI. Loi de l énergie cinétique 1. Puissance des actions lors de la rotation autour d un axe fixe =. =... =.. =. 2. Loi de l énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l énergie cinétique d un solide en rotation autour de l axe fixe est égale à la puissance des l ensemble des forces extérieures qui s appliquent sur le solide. 3. Remarque =. or =. =.. =. = = Les lois de l énergie cinétique et du moment cinétique scalaire sont équivalentes Rabeux Michel Page 8