Fonctions convexes. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2012/2013

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Roger Dupont
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1 Fonctions convexes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2012/2013 Table des matières 1 Convexité Point d inflexion Notion de convexité, de concavité Point d inflexion Convexité et opérations Convexité et dérivées Convexité et sens de variation de f Convexité et signe de f Point d inflexion et dérivée seconde Positions relatives 6 Table des figures 1 La fonction carrée La fonction racine carrée La fonction inverse La fonction exponentielle La fonction logarithme néperien La fonction cube Positions relatives Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA 1

1 CONVEXITÉ POINT D INFLEXION En préliminaire au cours : Activité : Activité 2 page 124 1 [TransMath] 1 Convexité Point d inflexion 1.

2 1 CONVEXITÉ POINT D INFLEXION En préliminaire au cours : Activité : Activité 2 page [TransMath] 1 Convexité Point d inflexion 1.1 Notion de convexité, de concavité Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. On dit que f est convexe sur I si, sur l intervalle I, la courbe C est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes. On dit que f est concave sur I si, sur l intervalle I, la courbe C est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes. Exemples : 1. La fonction carrée x x 2 est convexe sur R (voir figure 1). Figure 1 La fonction carrée 2. La fonction racine carrée x x est concave sur [0 ; + [ (voir figure 2). 3. La fonction inverse x 1 x est concave sur sur ] ; 0[ et convexe sur ]0 ; + [ (voir figure 3). 4. La fonction exponentielle x e x est convexe sur R (voir figure 4). 5. La fonction logarithme x ln x est concave sur ]0 ; + [ (voir figure ). 1.2 Point d inflexion Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère et a I. On dit que le point A (a ; f (a)) est un point d inflexion de C si, en A, la courbe C traverse sa tangente. 2

3 1 CONVEXITÉ POINT D INFLEXION 1.2 Point d inflexion Figure 2 La fonction racine carrée Figure 3 La fonction inverse Figure 4 La fonction exponentielle 3

4 1.2 Point d inflexion 1 CONVEXITÉ POINT D INFLEXION Figure 5 La fonction logarithme néperien Figure 6 La fonction cube 4

5 2 CONVEXITÉ ET DÉRIVÉES 1.3 Convexité et opérations Exemple : La fonction cube x x 3 admet un point d inflexion en l origine O du repère (voir figure 6). Elle est concave sur ] ; 0] et convexe sur [0 ; + [. Remarque : En l abscisse a du point d inflexion, la courbe C passe de concave à convexe ou de convexe à concave. Exercices : 1, 2, 3, 5, 7 page 132 ; 25, 27, 28, 30, 33 page 138 et 61, 62, 64 page page , 37, 38 page , 52, 53 page , 57 page page , 68 page [TransMath] 1.3 Convexité et opérations Propriété 1 : Soit f et g deux fonctions dérivables et convexes sur un intervalle I et λ R. La fonction f + g est convexe sur I. Si λ > 0, la fonction λf est convexe sur I. Si λ < 0, la fonction λf est concave sur I. Propriété 2 : Soit f et g deux fonctions dérivables et concaves sur un intervalle I et λ R. La fonction f + g est concave sur I. Si λ > 0, la fonction λf est concave sur I. Si λ < 0, la fonction λf est convexe sur I. Exercices : 41, 42, 45, 48, 59 page [TransMath] 2 Convexité et dérivées 2.1 Convexité et sens de variation de f Théorème : (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f est convexe sur I si et seulement si f est croissante sur I. f est concave sur I si et seulement si f est décroissante sur I. Exercices : 8, 9, 11, 12 page , 92 page page 142 et 94 page page page page [TransMath] 2.2 Convexité et signe de f Activité : Activité 1 page [TransMath] 1. Position d une courbe par rapport à ses tangentes. 2. Déterminations graphiques. 3. Conjecture à l aide de GeoGebra. 4. Premières propriétés. 5. Premières utilisations de la convexité. 6. Cas des fonctions ln et exp. 7. Avec des suites. 8. Position des cordes. 9. Convexité et opérations. 10. Convexité et variations de f. 11. Démonstration des propriétés sur convexité et opérations. 12. Utilisation de la convexité. 13. Cas des polynômes de degré Fonction logistique. 15. Interpréter graphiquement un coût marginal. 16. Notion de dérivée seconde. 5

6 2.3 Point d inflexion et dérivée seconde 3 POSITIONS RELATIVES Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée f de f est elle aussi dérivable sur I, on dit que f est deux fois dérivable sur I et on note f la dérivée de f sur I. f est appelée dérivée seconde de f. Exemples : 1. f (x) = 3x 2 3x + 1 f (x) = 6x 3 f (x) = 6 2. f (x) = e x 2x f (x) = e x 2 f (x) = e x Théorème : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. f est convexe sur I si et seulement si f est positive sur I. f est concave sur I si et seulement si f est négative sur I. Remarque : Ce théorème est une conséquence directe de celui du 2.1. Exercices : 10 page 134 ; 72, 74, 76, 77, 78, 79, 81, 83, 85, 86, 88, 89 page 142 et 97 page page [TransMath] 2.3 Point d inflexion et dérivée seconde Théorème : (admis) Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et a I. On note C la courbe représentative de f. La courbe C admet un point d inflexion au point A (a ; f (a)) si et seulement si f s annule en changeant de signe en a. Exercices : 106 page , 108 page [TransMath] 3 Positions relatives des courbes représentant x e x ; x x et x ln x Théorème : Soit C 1 la courbe représentative de la fonction exponentielle, C 2 la courbe représentative de la fonction logarithme néperien et d la droite d équation y = x (voir figure 7). Alors C 1 et C 2 sont de part et d autre de d : C 1 est au-dessus de d et C 2 est au-dessous de d. Démonstration : On a exp (x) = exp (x) donc exp (0) = 1. La tangente T 1 à C 1 au point d abscisse 0 a donc comme coefficient directeur 1. De plus, la fonction exponentielle est convexe donc C 1 est entièrement au-dessus de T 1. On a ln (x) = 1 x donc ln (1) = 1. La tangente T 2 à C 2 au point d abscisse 1 a donc comme coefficient directeur 1. De plus, la fonction logarithme néperien est concave donc C 2 est entièrement au-dessous de T 2. Comme T 1 et T 2 sont de part et d autre de d, on aboutit au résultat. Exercices : 59, 60 page [TransMath] 17. Convexité et signe de f 18. Cas des polynômes de degré QCM. 20. Type BAC. 21. Positions relatives de deux courbes. 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Figure 7 Positions relatives Références [TransMath] TransMATH Term ES Spécifique / L Spécialité, édition 2012 (Nathan) 2, 5, 6 7

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