Limites d une fonction Continuité ponctuelle

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1 Limites d une fonction Continuité ponctuelle Bcpst 1 3 janvier 2017 I Parties de et ordre I.1 Intervalles Definition 1.1 Intervalle de Un intervalle de est un ensemble d une des formes suivantes (a, b) 2, a < b,, ] a ; b [, ] a ; b ], [ a ; b [, [ a ; b ], {a}, ] a ; + [, [ a ; + [, ] ; a [, ] ; a ] Propriété 1.2 Un intervalle I de vérifie la propriété de continuité (α, β) I 2, α < < β = I Dém. En énumérant les différentes formes d intervalles. Definition 1.3 Segment de Un segment de est un intervalle de la forme [ a ; b ] avec (a, b) 2, a < b. Definition 1.4 Voisinage Soit 0. Un voisinage de 0 est un intervalle ouvert de la forme ] 0 α ; 0 + α[ avec α > 0. α α Un voisinage de + est un intervalle ouvert de la forme ]a ; + [ avec a.

2 II Limites d une fonction en un point 2 a II Limites d une fonction en un point Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, est un domaine de, c est-à-dire un intervalle de non vide et non réduit à un point, ou bien une réunion finie de tels intervalles de. Tpiquement : = + ou = +. a (eclu) Figure I.1 Un eemple de domaine de définition II.1 Limites finies Definition 2.2 Limite finie en un point Soit f est une fonction de dans et 0 un point ou une borne finie de. La fonction f tend vers l en 0 si et seulement si ε > 0, α > 0, ] 0 α ; 0 + α[, f () l < ε l + ε l ε 0 α α 1 La fonction représentée ci-dessus admet une limite en 0. Elle n admet pas de limite en 1.

3 Remarque I.0 II Limites d une fonction en un point 3 n demande à d être dans ] 0 α ; 0 + α[ afin d une part que f soit définie en et d autre part que soit dans un voisinage de 0. n peut montrer que les inégalités dans la définition précédente peuvent être larges ou strictes : la notion définie est la même. Proposition 2.3 Unicité de la limite Soit f est une fonction de dans et 0 un point ou une borne finie de. Si f tend vers l en 0, alors il eiste un seul réel l vérifiant cette propriété. Dém. Soit l et l deu réels vérifiant ε > 0, α > 0 tel que ] 0 α ; 0 + α[ = f () l < ε 0 α ; 0 + α = f () l < ε Prenons ε quelconque dans + et α = inf(α, α ). Prenons alors quelconque dans 0 α ; 0 + α. Comme f () l < ε et f () l < ε l l = l + f () f () l < f () l + f () l < 2ε avec l inégalité triangulaire Ainsi, pour tout ε > 0, l l < 2ε, ce qui prouve que l = l. Notation n parle de la limite de f en 0 et on note indifféremment lim f = l, lim f () = l ou f () l. Eemple n peut démontrer que lim 2 = 0 : on prend α = ε dans la définition 0 de la limite. Théorème & Définition 2.4 Continuité ponctuelle Soit f est une fonction de dans et 0 un point de. Si f admet une limite en 0 alors nécessairement cette limite est égale à f ( 0 ). Dans ce cas, on dit que f est continue en 0. Dém. Revenons à la définition de la limite ε > 0, α > 0 tel que

4 II Limites d une fonction en un point 4 ] 0 α ; 0 + α[ = f () l < ε Si 0, alors on peut toujours prendre = 0 dans la seconde partie de la formule. n ainsi ε > 0, f ( 0 ) l < ε Ce qui prouve que l = f ( 0 ). La différence entre la notion de limite en 0 et la notion de continuité en 0 est qu une fonction continue en 0 doit être définie en 0. Eemple La plupart des fonctions usuelles sont réputées continues sur leur domaine de définition. II.2 Limites infinies Limite en l infini Definition 2.5 Limites infinies en un point fini Soit f : et 0 un point ou une borne finie de. La fonction f tend vers + en 0 si et seulement si M > 0, α > 0 ] 0 α ; 0 + α[, f () > M. La fonction f tend vers en 0 si et seulement si f tend vers +. n note lim f () = +, lim f = +, ou encore f () +. Dans ce cas la courbe représentative de f présente une asptote verticale en 0. 0 Figure I.2 Asmptote verticale = 0.

5 II Limites d une fonction en un point 5 Definition 2.6 Limite finie en + n suppose que contient un voisinage de +. Soit f :. La fonction f tend vers l en + si et seulement si ε > 0, A > 0, ]A ; + [ = f () l < ε Dans ce cas, la courbe représentative de f présente une asmptote horizontale en +. l Figure I.3 Asmptote horizontale = l Definition 2.7 Limite infinie en + n suppose que contient un voisinage de +. Soit f :. La fonction f tend vers + en + si et seulement si M > 0, A > 0 ]A ; + [ = f () > M. n définit de même les limites en. Notez qu il a également unicité de la limite finie en + ou en.

6 II Limites d une fonction en un point 6 Figure I.4 Différents comportements possibles en + Application I.0 Limite de ln en + Voici la démonstration d un résultat que nous avons vu dans la partie sur le logarithme : ln() + +. Soit A +. Alors pour tout réel plus grand que 3 A +1, ln > ( A + 1) ln 3 > ln 3 A > A. Ainsi, A +, M R, > M = ln() > A Definition 2.8 Limites par valeurs supérieures, inférieures f :, 0 un point ou une borne finie ou infinie de. La fonction f tend vers l par valeurs supérieures en 0 si et seulement si lim f () = l et si f () l sur un voisinage de 0. n note lim f () = l + ou bien f () l +. La fonction f tend vers l par valeurs inférieures quand tend vers 0 si et seulement si lim f () = l et si f () < l sur un voisinage de 0. n note lim f () = l ou bien f () l.

7 II Limites d une fonction en un point 7 II.3 Limite à gauche, à droite Definition 2.9 Limite à gauche en 0 Soit f : et 0 un point ou une borne supérieure de. La fonction f admet une limite à gauche en 0 si et seulement si la restriction de f à ] ; 0 [ admet une limite en 0. Cette limite est notée lim f () = l ou f () < 0 < 0 l. Definition 2.10 Limite à droite en 0 Soit f : et 0 un point ou une borne inférieure de. La fonction f admet une limite à droite en 0 si et seulement si la restriction de f à ] 0 ; + [ admet une limite en 0. Cette limite est notée lim f () = l ou > 0 f () l. > 0 Ces limites peuvent être finies ou infinies. 0 0 Figure I.5 Limites à gauche et à droite Eemple La fonctionφ : + > 2 1 sinon en 2 et 2 comme limite à droite en 0 = 2. admet 1 comme limite à gauche

8 II Limites d une fonction en un point 8 f ( 0 ) = 2 0 Remarquez que la limite à gauche est différente de la valeur de la fonction en 2. En effet, pour étudier la limite à gauche, on prend la restriction de f à [ 0 ; 2 [, ce qui permet d obtenir une limite différente de f (2). Important! Au bornes de, il est sous-entendu qu on prend la limite à gauche ou à droite, selon les cas. Eemple lim = 0 (en fait c est une limite à droite) ; 0 Soit f :. À droite en 0, la fonction tend vers 0. À gauche elle tend vers 1. lim H() = 1 et lim H() = 0 où H désigne la fonction de Heaviside, qui vaut 1 0 >0 0 <0 sur + et 0 sur. Definition 2.11 Continuité à gauche, à droite Soit f : et 0 un point de. La fonction f est continue......à gauche en 0 si elle admet une limite à gauche en 0 et que lim f = f ( 0 ) ; < 0...à droite en 0 si elle admet une limite à droite en 0 et que lim f = f ( 0 ) ; > 0 Proposition 2.12 Lien entre limite, limites à gauche et à droite Soit 0 un point ou une borne de et f : \ { 0 }.

9 II Limites d une fonction en un point 9 La fonction f admet une limite en 0 si et seulement si elle admet une limite à gauche et à droite en 0 et que lim f () = lim f () auquel cas lim f ( 0 ) = lim f () < 0 > 0 < 0 Dém. Il suffit d aligner les définitions. Eemple L eemple tpique d application de ce théorème est la fonction sinuscardinal, définie sur par, f () = sin() Cette fonction, non définie en 0, admet tout de même une limite en 0, à savoir 1. Proposition 2.13 Lien entre continuité, limites à gauche et à droite Soit f : et 0 un point à l intérieur de. La fonction f est continue en 0 si et seulement si elle admet une limite à gauche et à droite en 0 et que lim f () = lim f () = f ( 0 ) < 0 > 0 Dém. Il suffit d aligner les définitions. La dernière condition est rendu nécessaire par le fait que la limite à gauche ou à droite eclut le point 0. Eemple La fonction φ : + > 2 1 sinon n est donc pas continue en 2. Eemple La fonction sinus-cardinal peut être prolongé par continuité en 0 de la façon suivante sin() 0, f () = 1 sinon Cette façon de procéder est tellement commode qu elle mérite un théorème. Théorème & Définition 2.14 Prolongement par continuité Soit 0 un point de et f : \ { 0 }. Si f admet une limite en 0, alors il eiste un unique prolongement f de f à { 0 } tel que f soit continue en 0.

10 III pérations sur les limites 10 n parle du prolongement par continuité de f en 0. Dém. Soit f une telle fonction. Comme c est un prolongement de f, on a bien sûr f () = f () pour. Comme f est continue en 0, nécessairement f ( 0 ) = lim f + f ( 0 ) = lim f + puisque f () = f () sur Ce qui fie la valeur de f en 0. Ainsi { 0 }, f () = f () lim f = 0 Cette fonction est bien un prolongement de f sur { 0 } continue en 0, et c est le seul. Au sens strict, f et f ne sont pas la même fonction. Mais elles partagent de nombreuses propriétés en commun, ce qui conduit en pratique à confondre f et f. Figure I.6 Prolongement par continuité III pérations sur les limites III.1 pérations algébriques J appelle «théorèmes générau» les résultats permettant de calculer une limite à partir d autres limites connues. Ces résultats sont admis.

11 III pérations sur les limites 11 Théorème 3.1 pérations algébriques Limites finies Soit f :, g :, 0 un point ou une borne éventuellement infinie de et λ. n suppose que f () l et que g() l, avec l et l deu réels. f () + g() l + l f () g() l l λ f () λl 1 f () 1 l si l 0 Ce théorème est également valable pour des limites à gauche et à droite. Il se transcrit directement en terme de continuité ponctuelle. Corollaire 3.2 pérations algébriques et continuité ponctuelle Soit f :, g :, 0 un point de et λ. Si f et g sont continues en 0 alors λ f, f + g et f g sont continues en 0. Si, de plus, f ( 0 ) 0 alors 1/f est continue en 0. Théorème 3.3 pérations algébriques Limites infinies Soit f de. :, g : et 0 un point ou une borne éventuellement infinie Si f () si f () si f () si f () Si f () g() 1 + alors f () alors f () + ; l et g() l > 0 et g() +. + et g() 0 et f () ; + alors f () + g() + ; + alors f () g() + + alors f () + g() + et f () En modifiant le signe de f et/ou de g, on traite le cas des limites, etc. Tous les autres cas relèvent de ce qu on appelle les «formes indéterminées». Aucun théorème général ne s applique dans ces cas-là. Des méthodes plus pointues peuvent parfois permettre de déterminer ces limites. «1». «0 0» = «0» =

12 III pérations sur les limites 12 III.2 Composée Théorème 3.4 Composée Soit f : f et g : g deu fonctions numériques et 0 un point ou une borne éventuellement infinie de f, n suppose que f admet une limite (finie ou infinie) l en 0, l est un point ou une borne éventuellement infinie de g et que g admet une limite l en l. Dans ce cas g f () l. Ce théorème a l énoncé complee est etrêmement utile. Il permet, en pratique, de calculer la plupart des limites. Eemple lim 0 sin = lim + sin(1/ ) = lim e 1 0+ sin() = Corollaire 3.5 Continuité d une composée Soit f : f et g : g et 0 un point de f. n suppose que f est continue en 0, que f ( 0 ) g et que g est continue en f ( 0 ). Alors g f est continue en 0. Le théorème de composition peut se particulariser dans le cas de la composée d une fonction et d une suite. Théorème 3.6 Limite de fonction et de suite Soit f : et 0 un point de ou une borne de. Soit (u n ) n telle que u n n + 0. Si f tend vers l en 0 alors f (u n ) n + l. Eemple Limite de 4 n sin(4 n ) : Application I.0 Fonction n admettant pas de limite en 0 La fonction f () = sin(1/) n a pas de limite en 0. De même la faonction sin n admet pas de limite en +.

13 IV Limites et ordre 13 u n = 1 π 2 + 2πn 1 v n = π 2 + 2πn Figure I.7 Une fonction sans limite en 0 IV Limites et ordre IV.1 À partir d une limite connue, renseignements sur f Soit f :. Soit 0 un point de, éventuellement une borne finie ou infinie. Proposition 4.1 Si f admet une limite finie en 0 alors f est bornée sur un voisinage de 0. Dém. n prend ε = 1 dans la définition. M m 0 Proposition 4.2 Si f admet une limite strictement positive en 0 alors f est strictement positive sur un voisinage de 0. Dém. n prend ε = l/2 dans la définition. Ce résultat rend de multiples services : par eemple il assure que 1/f est définie sur un voisinage de 0.

14 IV Limites et ordre 14 0 Figure I.8 1/f est définie sur un voisinage de 0 Corollaire 4.3 Si f admet une limite strictement négative en 0 alors f est négative sur un voisinage de 0. Corollaire 4.4 Si f admet une limite finie non nulle en 0 alors f est non nulle sur un voisinage de 0. En particulier, si f admet une limite non nulle en 0 alors 1/f est définie sur un voisinage de 0. IV.2 À partir d un encadrement sur f, renseignements sur la limite Proposition 4.5 Soit f : et 0 un point ou une borne finie ou infinie de. n suppose que f admet une limite en 0., f () > a = lim f a Dém. Considérons le cas d une limite finie, le seul qui soit vraiment intéressant ici. ε > 0, α > 0 tel que ] 0 α ; 0 + α[ = f () l < ε Ainsi, ε étant quelconque, ] 0 α ; 0 + α[ f () ε < l < f () + ε ou encore, puisque f () > a, ε > 0, a ε < l Cette inégalité assure que l a, mais aucunement que l > a. De façon smétrique si, f () < a alors lim f < a.

15 IV Limites et ordre 15 Eemple Par eemple 1/ > 0 sur +, mais 1/ 0. + Corollaire 4.6 Soit f : et g :, soit 0 un point ou une borne finie ou infinie de. Si f et g admettent toutes deu une limite en 0, et si, f () < g() alors lim f < lim g Dém. En appliquant la proposition précédente à la fonction f g. Eemple sin < sur ]0 ; 1[ et pourtant elles ont la même limite en 0. de même avec 1/ 2 et 1/ en l infini : IV.3 Théorèmes d encadrement Nous voons maintenant les résultats les plus puissants permettant de déterminer l eistence et la valeur d une limite. Théorème 4.7 Théorème d encadrement Soit f, u et v trois fonctions définies sur et 0 un point ou une borne finie ou infinie de. Si si et si alors et \ { 0 }, u() < f () < v() u et v admettent une limite en 0 lim u = lim v f admet une limite en 0 lim f = lim u = lim v

16 IV Limites et ordre 16 Théorème 4.8 Théorème de minoration/majoration Soit 0 un point de, ou une borne finie ou infinie de. Soit f et g deu fonctions définies sur telles que \ { 0 }, f () < g() Si Si lim f = + alors lim g = +. lim g = alors lim f =. IV.4 Limites et monotonie Théorème 4.9 Soit f est une fonction monotone sur un intervalle ] a ; b [, avec éventuellement a et b infinis. Alors f admet une limite (finie ou infinie) en a et en b. La démonstration de ce théorème touche à la définition même de. Corollaire 4.10 Si f est une fonction monotone sur un intervalle I alors f admet une limite finie à gauche et à droite en tout point de I. Attention! n ne peut pas affirmer, en toute généralité, que ces limites soient égales à la valeur de f, ni même qu elles soient égales entre elles. Pensez par eemple à la fonction.

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