grand commun diviseur (PGCD)

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1 2 Plus A grand commun diviseur (PGCD) Objectifs du chapitre À travers des problèmes de pavages, nous allons revoir la notion de PGCD déjà vue en classe de troisième. B Pour débuter Activité 1 Carrelage (1) Dans une maison nouvellement construite, on veut carreler les sols de certaines pièces. Le sol de la salle à manger est un rectangle de longueur 4,54 m et de largeur 3,75 m. On veut carreler cette pièce avec des carreaux carrés de 33 cm de côté. On commence la pose par un coin de la pièce, comme le suggère la figure ci-dessous : Calculer le nombre de carreaux non découpés qui auront été posés. Le sol de la cuisine est un rectangle de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m. On veut carreler cette pièce avec un nombre entier de dalles carrées, sans aucune découpe. a) Donner la liste des diviseurs de 455 puis la liste des diviseurs de 385. b) Donner la liste des diviseurs communs à 455 et 385. c) Quel est alors le plus grand côté possible des dalles carrées pour carreler cette cuisine sans découpe?

2 Activité 2 Carrelage (2) Pour le couloir, on choisit une façon originale de carreler le sol. On commence par poser des carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On les pose les uns à côté des autres sans laisser d espace vide. Sur la surface restante, on pose, les uns à côté des autres sans laisser d espace vide, des carreaux carrés dont le côté est le plus grand possible. On procède ainsi jusqu à ce que le couloir soit entièrement carrelé. Voici le plan du couloir : 540 cm 140 cm a) Quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? b) Combien peut-on en poser? c) Faire un plan du couloir à l échelle 1/20 et représenter ces carreaux de carrelage. d) Effectuer la division euclidienne de 540 par 140. a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée? b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? c) Combien peut-on en poser? d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c). e) Effectuer la division euclidienne de 140 par 120. a) Quelles sont les dimensions de la surface non carrelée? b) Pour carreler cette surface, quel est le plus grand côté possible pour un carreau carré? c) Combien peut-on en poser? d) Représenter ces carreaux de carrelage sur le plan de la question c). e) Effectuer la division euclidienne de 120 par 20. f) Pourrait-on carreler tout le couloir en utilisant uniquement des carreaux carrés de cette dimension? On dit que 20 est le plus grand commun diviseur de 140 et de 540. L algorithme associé au pavage du rectangle est appelé algorithme d Euclide.

3 C Cours 1. Définition Propriété 1 et Définition 1 Soit a et b deux entiers relatifs. On suppose que a et b ne sont pas tous les deux nuls. Un entier qui divise a et b est appelé diviseur commun à a et b. L ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément appelé plus grand commun diviseur de a et b et noté PGCD (a, b). Notation On note D( n) l ensemble des diviseurs dans Z d un entier relatif n. L'ensemble D( a) D( b) est alors l ensemble des diviseurs communs à a et à b. On admet que toute partie non vide et finie de Z admet un plus grand élément. Intéressons-nous aux éventuels éléments communs aux deux ensembles D( a ) et D( b). Le nombre 1 divise a et divise b, 1 D( a) D( b) donc D( a) D( b) est une partie non vide de Z. Supposons a = 0 et b 0. On a D (0) = N, donc les diviseurs communs à 0 et à b sont les diviseurs de b, et le plus grand de ces diviseurs communs est b. Donc PGCD (0, b) = b. Supposons a 0 et b 0. L ensemble des diviseurs de a est fini car il est majoré par a, donc l ensemble des diviseurs communs à a et à b est lui aussi fini (c est un ensemble plus petit), donc il admet un plus grand élément. Ce plus grand élément est un diviseur à la fois de a et de b, et c est le plus grand des diviseurs communs. Propriété 2 Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. Si, dans leur décomposition en produit de facteurs premiers, a et b n ont pas de facteur premier commun, PGCD (a, b) = 1. Sinon, le PGCD de a et de b est égal au produit des facteurs premiers communs de a et de b, chacun d eux étant affecté du plus petit exposant figurant dans la décomposition de a et de b.

4 Exemple 1 Solution α Soit a= p 1 α p 2 α p k β k et b= q 1 β q 2 β q n k la décomposition de a et de b en produit de facteurs premiers. Notons d = PGCD (a, b). Démontrons le premier point. Supposons que d 1. Comme d divise a et d 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de d comporte (au moins) un des p i. Comme d divise b, on en déduit que p i divise b. Donc les décompositions en produit de facteurs premiers de a et de b admettent un facteur premier commun. Cela prouve bien par contraposition le premier point. Démontrons le second point. On suppose donc que d =PGCD( a, b) 2. Soit δ un diviseur commun à a et b tel que : δ 2. Comme δ divise a et δ 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de δ est formée des facteurs premiers de a avec un exposant γ i tel que, pour tout 1 i k, 0 < γi αi. Comme δ divise b et d 1, la décomposition en produit de facteurs premiers de d est formée des facteurs premiers de b avec un exposant χ i tel que, pour tout 1 i n, 0 < χi βi. Ainsi, la décomposition en produit de facteurs premiers de δ est formée des facteurs premiers communs à a et à b avec un exposant λi min( βi, αi ). Réciproquement, tous les entiers naturels dont la décomposition en produit de facteurs premiers vérifie ce qui précède sont un diviseur commun à a et b. La décomposition en produit de facteurs premiers du plus grand diviseur d commun à a et b est donc formée des facteurs premiers communs à a et à b avec pour exposant min( αi, βi ). Déterminer les PGCD de et 368. On cherche la décomposition de et de 368 en produit de facteurs premiers : = et 368 = 2 23 donc PGCD (2070, 368) = 2 23= 46. Remarques Pour tous a, b de Z non tous deux nuls : PGCD (a, b) est un entier strictement positif ; PGCD (a, a) = a ; PGCD (a, 1) = 1 ; PGCD (a, 0) = a ; PGCD (a, b) = PGCD (b, a) = PGCD ( a, b ). D( a) D( b) D PGCD( a, b) (conséquence de la proposition 2), ce qui signifie que les diviseurs commun à a et b sont les diviseurs de leur PGCD. = ( )

5 Conséquence Pour tous entiers relatifs a et b non tous deux nuls et tout k de N *, PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b). Soit d le PGCD de a et de b, a'=ka, b'=kb et d le PGCD de a et de b. Comme d divise a et b, kd divise a =ka et b'=kb. Ainsi, kd divise d, le PGCD de a et de b. Donc, il existe un entier k tel que d = k (kd). Or, d divise ka et kb, donc k kd divise ka et kb. Ainsi, k d divise a et b et donc k d divise d, le PGCD de a et de b. Ainsi, k = 1 et on a d = kd soit PGCD (ka, kb) = k PGCD (a, b). 2. Propriétés Propriété 3 Si a divise b alors PGCD (a, b) = a. Si a divise b, tout diviseur de a est un diviseur de b et ainsi D( a) D( b) = D( a). Comme a est le plus grand élément de D( a), PGCD (a, b) = a. Propriété 4 Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul et a = bq + r la division euclidienne de a par b. Alors : ( D( a) D( b) )= D( b) D( a bq) ( ) et donc PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a bq) et ainsi PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Si d divise a et b alors d divise b et a bq donc ( D( a) D( b) ) ( D( b) D( a bq) ). Si d divise b et a bq alors d divise b et (a bq)+ bq = a donc ( D( b) D( a bq) ) ( D( a) D( b) ). Ainsi ( D( b) D( a bq) )=( D( a) D( b) ). D où PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a bq).

6 Propriété 5 Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Alors PGCD (a ; b) = PGCD (a b ; b). On raisonne comme précédemment. 3. Recherche pratique de PGCD par l algorithme d Euclide Point historique Euclide, mathématicien grec, environ 330 avant J.-C. 275 avant J.-C. Euclide est l auteur de ce qu on appelle Les Éléments d Euclide, dans lesquels il donne un exposé magistral des mathématiques de son temps : théorème de Pythagore, construction du pentagone régulier à la règle et au compas, résultats d arithmétique, démonstration de la formule donnant le volume d une pyramide. L exposé d Euclide a longtemps été considéré comme un modèle de rigueur logique : Euclide précise les propriétés qu il admet (les axiomes), cite soigneusement les théorèmes qu il utilise et détaille chacune des étapes de ses démonstrations [ ]. Les Éléments sont à la base de l enseignement de la géométrie élémentaire jusqu à ces dernières années. Cned, revue Diagonales Propriété 6 Soit a et b deux entiers tels que 0 < b a. Considérons l algorithme : Entrée : a, b Traitement : Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b Tant que r 0, a prend la valeur b et b prend la valeur r Calculer le reste r de la division euclidienne de a par b Fin du Tant que Sortie : Afficher b. Cet algorithme est appelé algorithme d Euclide. En un nombre fini d étapes, il permet de calculer le PGCD de a et b. Remarque Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul obtenu dans la succession des divisions de l algorithme d Euclide.

7 Point méthode On écrit les divisions euclidiennes successives : a= bq0+ r0 avec 0 r0 < b. Si r 0 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (a, b) = b car b divise a. On suppose maintenant que r 0 0. L entier a prend la valeur b et b prend la valeur r 0 : b = r0q1+ r1 avec 0 r1< r 0. Si r 1 = 0, on arrête à cette étape et PGCD (b, r 0 ) = PGCD ( r 0, r 1 ) = r 0. Si r 1 0, b prend la valeur r 0 et r 0 prend la valeur r 1 : r0 = rq 1 2+ r2 avec 0 r2 < r 1. Si r 2 = 0, on arrête à cette étape et PGCD ( r0, r1) = PGCD ( r1, r2) = r 1 car r 2 =0. Si r 2 0, r 0 prend la valeur r 1 et r 1 prend la valeur r 2 : r1= r2q3+ r3 avec 0 r3 < r 2. On construit ainsi une suite de restes r0, r1, r2, r3, etc. ( ) est une suite strictement décroissante Si aucun reste n est nul, la suite r n d entiers naturels, ce qui est absurde puisqu une telle suite ne peut exister. Il existe donc un entier naturel n tel que r n+ 1 = 0 et r n 0 (car on a supposé que r 0 0 ). Comme r n+ 1 = 0, l algorithme s arrête et comporte bien un nombre fini d étapes. De plus, comme r n+ = 1 0, ( ) rn = PGCD( rn, rn+ 1)= PGCD( rn 1, rn)=... = PGCD r2, r1 = PGCD( r1, r0)= PGCD( b, r0) = PGCD( a, b). Présentation pratique de l algorithme Calculons à nouveau PGCD (2070,368). On écrit les divisions euclidiennes successives : 2070 = ; 368 = ; 230 = ; 138 = ; 92 = // condition d arrêt

8 PGCD et calculatrice Les calculatrices disposent d une fonction permettant le calcul du PGCD : Texas instrument Casio MATH NUM gcd OPTN NUM GCD Remarque Dans le chapitre 3, l algorithme de recherche des coefficients de Bézout donne également le PGCD de deux entiers. D Exercices d apprentissage Exercice 1 Exercice 2 Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de et En déduire leur PGCD. Écrire sous la forme d une fraction irréductible En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer le PGCD de 1071 et Exercice 3 Déterminer tous les ensembles constitués de couples entiers naturels (a ; b) dont le PGCD est 50 et dont la somme est 600. Exercice 4 Sur tableur, construire une feuille de calcul permettant d obtenir le PCGD de 1617 et 325 (sans utiliser la fonction PGCD).

9 Exercice 5 Pour tout entier naturel n, on définit deux entiers a et b en posant : a = 4n + 1 et b = 5n + 3. On s intéresse aux valeurs du PGCD de a et de b en fonction de n. Conjecture a) Sur un tableur, créer trois colonnes donnant les valeurs de n, a et b pour n variant de 0 à 100. b) Remplir la quatrième colonne avec les valeurs du PGCD de a et de b. c) Quelles semblent être les valeurs possibles de PGCD(a, b)? d) En observant les résultats obtenus sur le tableur, comment pensez-vous pouvoir caractériser les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7? s a) Démontrer la conjecture faite au 1. c. b) En raisonnant par disjonction des cas, déterminer les valeurs de n telles que PGCD(a, b) = 7.