CORRECTION EXERCICES : DROITES ; CERCLES ; TRIANGLES

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1 I. CORRECTION EXERCICES : DROITES ; CERCLES ; TRIANGLES a) Un segment contient une infinité de points (tout comme une droite!) b) (AB) et (CD) se coupent car elles ne sont pas parallèles. c) On peut tracer une seule parallèle à une autre droite passant par un point donné. C B D A II. Pour construire un angle de 90, il suffit de construire deux droites perpendiculaires. Pour l angle de 45, on construit la bissectrice d un angle droit. Pour l angle de 60, on construit un triangle équilatéral. Pour l angle de 105 on construit des angles adjacents l un de 45 et un de 60. III. a) b) Impossible car la somme des angles ne fait pas 180 c) d) BC+AC=AB donc C appartient à [AB] IV. a)tracer deux droites perpendiculaires. Elles se coupent en A. Puis placer sur la première droite un point B à trois cm de A et sur la deuxième droite un point C à 5 cm de A b) Tracer un cercle de diamètre BC = 5 cm. Tracer le cercle de centre B et de rayon 3 cm ; il coupe le premier cercle en deux points. N importe lequel de ces deux points peut être appelé A. V. Un triangle ABC rectangle en A ne peut être isocèle que de sommet principal A! (en effet, l angle de 90 ne peut pas être un des angles de la base principale).

2 Programme : (en rose, j ai mis des commentaires) Construire un segment [AC] de longueur 10 cm. Construire une perpendiculaire à (AC) passant par A. Sur cette droite, placer le point B tel que AB=10cm. (Il y a deux possibilités pour B : de part et d autre de A) Tracer le segment [BC]. (Vous avez construit le triangle ABC). Tracer le demi-cercle C de diamètre BC dans le demi-plan limité par la droite (BC) et ne contenant pas le point A. (Le point D est quelque part sur ce demi-cercle afin que le triangle BDC soit rectangle en D). Placer le point D à l intersection du demi-cercle C et de la médiatrice de [BC]. (Le point D est quelque part sur la médiatrice de [BC] pour que BCD soit isocèle de sommet principal D). VI. On peut tracer une infinité de cercles passant par deux points E et F. Le lieu des centres est la médiatrice du segment [EF] en effet le centre du cercle est équidistant de E et F. (Construction voir le cours) VII. On trace la droite (d), et on place les points A et B comme indiqué dans l énoncé. On trace la droite (d ) perpendiculaire à (d) passant par B ; elle coupe (d) en H, pied de la hauteur issue de A. Il suffit alors de placer C sur (d ) tel que H soit le milieu de [BC] (autrement dit C est le symétrique de B par rapport à H). En effet, (d) est alors une droite perpendiculaire à [BC] en son milieu H : c est la médiatrice de [BC]. Par conséquent le point A, qui appartient à (d), est à égale distance de B et de C, et le triangle ABC est isocèle. La droite (d), hauteur relative à [BC], est alors aussi la bissectrice de l angle Â. VIII. Construire un segment [AH] de 4 cm Construire la droite d perpendiculaire à (AH) passant par H. Construire le cercle de centre A et de rayon 5,5 cm, il coupe d en B. Construire le cercle de centre B et de rayon 5 cm, il coupe d en C. Construire le triangle ABC. IX. Tracer la droite (d) perpendiculaire à (d 1 ) en B. On note H son point d intersection avec (d 1 ), et I son point d intersection avec (d 2 ). Construire le symétrique de B par rapport à I. Le noter C. Tracer le triangle ABC. X. - On sait que MBC est un triangle rectangle en M ; donc les droites (MB) et (AC) sont perpendiculaires. - On sait que NBC est un triangle rectangle en N ; donc les droites (NC) et (AB) sont perpendiculaires. (NC) et (MB) sont donc deux hauteurs du triangle ABC. Elles se coupent en I qui est donc l orthocentre du triangle ABC. Si une droite passe par un sommet et l orthocentre d un triangle alors elle est perpendiculaire au côté du triangle opposé à ce sommet. Donc (AI) est perpendiculaire à (BC).

3 XI. On sait que M et N sont les milieux de [BC] et [AC]. [AM] et [BN] sont donc deux médianes du triangle ABC. Si un point est le point d intersection de deux médianes d un triangle alors il est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets. Donc AG=2/3 AM. Comme AM = 6cm, AG = 4cm. XII. On sait que D est le symétrique de B par rapport à C, donc C est le milieu de [DB]. On sait que M est le milieu de [AD]. Les droites (MB) et (AC) sont donc deux médianes du triangle ABD. Elles se coupent en L ; donc L est le centre de gravité du triangle ABD. Si une droite passe par un sommet et le centre de gravité d un triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu. Donc (DL) coupe [AB] en son milieu : R est le milieu de [AB]. XIII. Construire le cercle C 1 de centre A et de rayon 3cm. Construire le cercle C 2 de centre B et de rayon 3cm. L ensemble des points situés à plus de 3 cm de A et de B est l ensemble des points qui sont à l extérieur des deux cercles.

4 L ensemble des points qui sont situés à plus de 3 cm de B et à moins de 3 cm de A sont à l extérieur d C 2 et à l intérieur de C 1. XIV. Tracer la médiatrice du segment [MN]. L ensemble des points du plan plus proches de M que de N est le demi-plan de frontière et contenant M. XV. Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en H. La longueur AH est la distance du point A à la droite (d). XVI. Placer trois points A, B et C sur le cercle. Le centre du cercle est à égale distance de A de B et de C. C est donc le point d intersection des médiatrices du segment[ab] et du segment [AC]. XVII. Soit R le rayon du cercle. Placer un point A sur le cercle et reporter 5 fois la longueur R sur le cercle à partir de A. Si vous relier tous les points obtenus, vous obtiendrez un hexagone régulier. Si vous relier un point sur deux vous obtiendrez un triangle équilatèral. XVIII. Les définitions du cercle, de la médiatrice d'un segment de la bissectrice d'un secteur angulaire et de la parallèle à une droite, comme ensembles de points vérifiant des contraintes de distance permettent d'affirmer que le trésor se trouve : à l'extérieur du cercle de centre A et de rayon 3 cm (1500 / = 0,03 m = 3 cm) au-dessous de la médiatrice du segment [MR] au-dessus de la bissectrice du secteur angulaire à gauche de la parallèle à (MR) située à 1,5 cm (750 / m) de cette droite. Le trésor se trouve dans la zone grisée qui correspond aux quatre contraintes explicitées ci-dessus.

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