Les fractions. Maths 8 chapitre 2

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1 Maths 8 chapitre 2

2 . Introduction Une fraction est une division non effectuée de deux entiers relatifs n est appelé le numérateur d est appelé le dénominateur d 0 n d 2

3 2.Rappels sur l'addition L'addition est une opération commutative : a + b = b + a L'addition est une opération associative : ( a + b )+c = a + ( b + c) = a + b + c Le résultat de l'addition est la somme. La somme de deux nombres positifs est positive La somme de deux nombres négatifs est négative La somme d'un nombre par 0 est ce nombre 3

4 3.Addition de fractions On ne peut additioner des fractions que si elles ont le même dénominateur. Exemples : = 3 5 = =7 3 5 =0 5 =2 4

5 Si les deux fractions ont des dénominateurs différents, il faut procéder en deux étapes : D'abord, on ramène leur dénominateur au plus petit dénominateur commun Ensuite, on les additione. Enfin, on simplifie (si nécessaire) On procède de la même façon pour la soustraction. Exemple : 2 3 =? 5

6 2 3 =? Problème : les dénominateurs sont différents 2 3 = = = On ramène au même dénominateur Maintenant on peut additionner 2 3 = = = = 5 6 Résultat (pas de simplification possible) 6

7 4.Rappels sur la soustraction La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Le résultat de la soustraction est la différence. La soustraction n'est pas une opération commutative: a - b b - a La soustraction n'est pas une opération associative : ( a - b )-c a - ( b - c) a + b + c Soustraire un nombre est équivalent à additionner son opposé : a b = a + (-b) Important! 7

8 5.Soustraction de fractions On ne peut soustraire des fractions que si elles ont le même dénominateur. Exemples : = = =7 3 5 = =3 7 5 = 4 5 8

9 Si les deux fractions ont des dénominateurs différents, il faut procéder en deux étapes : D'abord, on ramène leur dénominateur au plus petit dénominateur commun Ensuite, on les soustrait. Enfin, on simplifie (si nécessaire) On procède de la même façon pour la soustraction. Exemple : 2 3 =? 9

10 2 3 =? Problème : les dénominateurs sont différents 2 3 = = = On ramène au même dénominateur Maintenant on peut soustraire 2 3 = = = = 6 Résultat (pas de simplification possible) 0

11 6.Rappels sur la multiplication La multiplication est une opération commutative : a x b = b x a La multiplication est une opération associative : ( a x b ) x c = a x ( b x c) = a x b x c Le résultat de la multiplication est le produit. Le produit de deux nombres positifs est positif Le produit de deux nombres négatifs est positif Le produit d'un nombre positif par un nombre négatif est négatif. Le produit d'un nombre par 0 est 0.

12 7.Multiplication de fractions Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs ensemble d'une part, on multiplie les dénominateurs ensemble d'autre part. Exemples : a b c d = a c b d = = 2 5 2

13 8.Inverse d'une fraction Définition: l'inverse d'une fraction a b est la fraction b a Le produit d'une fraction par sa fraction inverse est. Démonstration : a b b a =a b b a =ab ab = 3

14 Exemples : 2 3 L'inverse de est car 2 L'inverse de est 2 car L'inverse de 3 est car = =6 6 = 2 2 = 2 2 =2 2 = 3 3 = 3 3 =3 3 = 4

15 9.Rappels sur la division La division est l'opération inverse de la multiplication. Le résultat de la division est le dividende. La division n'est pas une opération commutative : a b b a La division n'est pas une opération associative : a b c a b c a b c Diviser par un nombre est équivalent à multiplier par son inverse a b=a b 5

16 0.Division de fractions Pour diviser des fractions, on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième Exemples : a b c d = a b d c = a d b c = = =5 6 6

17 . Applications des fractions A. Les pourcentages Définition: un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion entre une partie et son tout en ramenant la comparaison arbitrairement à 00. Exemple: dans la classe, il y a 60% de filles = si la classe comptait 00 élèves, il y aurait 60 filles. Or, il y a en fait 25 élèves soit 00/4. Donc il y a 60/4 = 5 filles. 7

18 B. Les rapports Définition: un rapport (ou ratio) est un rapport de proportion entre des quantités exprimées dans la même unité de mesure. Exemple: Il y a 5 filles et 0 garçons dans une classe de 25 élèves. Le ratio des filles par rapport aux garçons est de 5/0 =.5. Un ratio peut être exprimé comme un quotient, un décimal ou un pourcentage 8

19 C. Les taux Définition: un taux est un rapport de proportion entre des quantités exprimées dans des unités de mesure différentes. Dans le cas d'un taux unitaire, une des quantités est ramenée à unité. Quand on parle de taux, il est important de préciser les unités. Exemple: j'ai travaillé 3 heures et j'ai gagné 30$. Le taux horaire est de 0$/h. C'est aussi le taux unitaire ( heure). 9

20 D. Récapitulatif: Pourcentage Mêmes unités % Rapport Mêmes unités Quotient, décimal, % Taux Unités différentes Unité unité 2 20