Comparatif ancien et nouveau programme MP / MP

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1 Comparatif ancien et nouveau programme MP / MP I OBJECTIFS DE FORMATION Les sous-paragraphes concernant le rôle de la pensée algorithmique et l emploi des calculatrices sont supprimés mais font l objet d un chapeau dans le programme à proprement parlé (voir II). Sous-paragraphe supplémentaire concernant les épreuves écrites en temps limité : connaissances exigibles, indications à fournir, barème. II PROGRAMME DES CLASSES MP ET MP AVERTISSEMENT Le paragraphe concernant les travaux pratiques et l emploi d un logiciel est supprimé et reporté au chapeau suivant. Même organisation de la présentation (par colonnes suivant le caractère exigible, non exigible, hors programme des connaissances). Un paragraphe supplémentaire quant à la différentiation de l enseignement entre classe MP et MP remplace le supplément de l ancien programme concernant les classes PSI : désormais la différence n intervient que dans le niveau d approfondissement variable suivant les objectifs de formation des élèves. ACTIVITÉS ALGORITHMIQUES ET INFORMATIQUE Le texte général est repris des anciens paragraphes sur le sujet, mais les algorithmes proposés sont ici rassemblés, étant précisé qu ils ne constituent nullement une extension de programme. Cette liste diffère de l ensemble des algorithmes qui étaient proposés en rubrique Travaux Pratiques. ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE I. ALGÈBRE GÉNÉRALE 1- Groupes a) Groupes Z/nZ b) Groupes Disparition : action (ou opération) d un groupe sur un ensemble et les approfondissements associés (en particulier l ordre d un sous-groupe d un groupe fini et l ordre d un élément d un tel groupe). 2- Anneaux et corps a) Idéaux d un anneau commutatif Pas de changement b) Idéaux de Z, anneau Z/nZ Disparition : intervention de Z/nZ pour l étude des congruences, théorème chinois (ces deux points étaient des approfondissements MP ). Ajout : on pourra donner des exemples d utilisation de Z/nZ en cryptographie, indicatrice d Euler. c) Idéaux de K[X] Disparition : morphisme a K[a] et son noyau, étude de K[a], élément algébrique et polynôme minimal d un tel élément. II. ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE AFFINE Les espaces vectoriels sont supposés, en MP, définis sur un corps de caractéristique nulle (et non plus seulement sur un sous-corps de C). On peut toujours, en MP, donner des exemples où le corps est de caractéristique non nulle. Espaces vectoriels ; applications linéaires a) Somme directe de sous-espaces vectoriels 1

2 Ajout : définition d une application bilinéaire, notion d algèbre (auparavant au programme de première année), algèbre des fonctions polynomiales sur R n ou C n et base canonique de cette algèbre. b) Image et noyau d une application linéaire Passage en colonne droite du sujet interpolation de Lagrange. Disparition : propriétés de P (P(a 0 ),...,P(a n )) de K[X] dans K n+1. Disparition : forme bilinéaire canonique (ϕ,x) < ϕ,x > sur E E. c) Dualité en dimension finie Disparition : étude, si (e 1,...,e p ) est une famille de E, de l application linéaire u : E K p définie par u(f) = (f(e 1,...,e p )). (e 1,...,e p ) libre si et seulement si u est surjective. Ajout : Existence d une base anté-duale. Disparition : étude, si (ϕ 1,...,ϕ p ) est une famille de E, de l application linéaire u : E K p définie par u(x) = (ϕ 1 (x),...,ϕ 2 (x)). (ϕ 1,...,ϕ p ) libre si et seulement si u est surjective. On a seulement les résultats suivants : si F est un sous-espace vectoriel de E de dimension p, l ensemble des formes linéaires s annulant sur F est un sous-espace vectoriel de E de dimension n p. Si (ϕ 1,...,ϕ q ) est une famille libre de formes linéaires sur un espace vectoriel E de dimension n, l intersection des noyaux respectifs H i des formes linéaires ϕ i est un sous-espace vectoriel F de E de dimension n q. Toute forme linéaire s annulant sur F est combinaison linéaire de ϕ 1,...,ϕ q d) Trace d un endomorphisme. e) Calcul matriciel et système d équations linéaires. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques Ce chapitre est supprimé et est remplacé par un paragraphe sur les formes bilinéaires symétriques dans le chapitre IV.1- Espaces préhilbertiens réels. La méthode de Gauss, la signature d une forme quadratique et le théorème d inertie de Sylvester ne sont plus au programme. III. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 1- Sous-espaces stables, polynômes d endomorphismes a) Sous-espaces stables Disparition de la définition de drapeau. b) Polynôme d un endomorphisme 2- Réduction d un endomorphisme a) Valeurs propres, vecteurs propres d un endomorphisme b) Valeurs propres, vecteurs propres d une matrice carrée c) Polynôme caractéristique Ajout : lien entre l ordre de multiplicité d une valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé. d) Réduction en dimension finie Pas de changement hormis une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité supplémentaire qui utilise (X λ). λ Sp(u) 2

3 IV. ESPACES EUCLIDIENS, GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE, ESPACES HERMI- TIENS 1- Espaces préhilbertiens réels a) Formes bilinéaires symétriques Nouvelle présentation. On conserve la définition d une forme bilinéaire symétrique et de la forme quadratique associée, la polarisation, la matrice (en dimensionfinie) d une forme bilinéaire symétrique ou d une forme quadratique. On conserve également les formes bilinéaires symétriques positives (resp définies positives), les formes quadratiques positives (resp définies positives) et l inégalité de Cauchy-Schwarz. Le rang d une forme bilinéaire symétrique est maintenant défini lors de l étude des endomorphismes autoadjoints d un espace euclidien. b) Produit scalaire Précision : identité du parallélogramme, identité de polarisation. 2- Espaces euclidiens a) Bases orthonormales Disparition en colonne de droite de l existence d une base orthonormale adaptée à un drapeau. Apparition du procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt qui figurait avant dans le cadre Travaux pratiques. b) Projections orthogonales L expression de la distance de x à F à l aide de p F (x) a disparu. c) Adjoint d un endomorphisme Disparition de la réflexion s a,b échangeant deux vecteurs unitaires. Le reste du paragraphe est récrit mais garde le même contenu. d) Réduction des endomorphismes autoadjoints On définit ici le rang d une forme bilinéaire symétrique (d une forme quadratique), une forme non dégénérée. e) Application aux coniques et aux quadriques En plus de la recherche d une équation réduite de conique qui figurait déjà dans le cadre Travaux Pratiques et qui est reconduit, exemples de telles recherches pour une quadrique, description des quadriques usuelles et génération par une famille de droites d un hyperboloïde de révolution à une nappe et d un paraboloïde hyperbolique. 3- Espaces préhilbertiens complexes, espaces hermitiens a) Espaces préhilbertiens complexes Pas de changement (toutefois les différentes relations entre produit scalaire et norme ne sont plus explicitées). b) Espaces vectoriels hermitiens L expression de la distance de x à F à l aide de p F (x) a disparu. Disparition : les notions d adjoint d un endomorphisme, d endomorphisme autoadjoint, de matrice hermitienne, d automorphisme unitaire et de matrice unitaire ne sont plus au programme (elles apparaissaient avant dans les approfondissements MP ). ANALYSE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE I. SUITES ET FONCTIONS 1- Espaces vectoriels normés réels ou complexes a) Normes et distances b) Suites d éléments d un espace vectoriel normé 3

4 Disparition : caractérisation de N αn à l aide de suites convergeant vers 0 au sens de N ou de N. Les énoncés relatifs à l étude du comportement global et asymptotique de suites qui figuraient dans le cadre Travaux pratiques sont maintenant dans ce paragraphe. Il en est de même de l étude des suites définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ). c) Topologie d un espace vectoriel normé d) Etude locale d une application, continuité e) Applications linéaires continues f) Complétude, compacité Disparition des approfondissements MP : théorème du point fixe pour les contractions d une parie complète, B(A,F) muni de la norme N est complet lorsque F est complet, l espace des applications linéaires continues de E dans F est complet. 2- Espaces vectoriels normés de dimension finie Disparition des approfondissements MP : théorème de Borel-Lebesgue, si A est connexe par arcs toute partie non vide P de A à la fois ouverte et fermée dans A est égale à A, toute application définie sur A et localement constante est constante. 3- Séries d éléments d un espace vectoriel normé Disparition : introduire le concept de suite sommable n est plus un objectif de ce chapitre. a) Suites et séries Pas de changement b) Séries de nombres réels positifs Disparition : comparaison logarithmique. On conserve toutefois la règle de d Alembert. c) Sommation des relations de comparaison Ce paragraphe est inchangé mais se trouvait avant dans la partie III. d) Comparaison d une série à une intégrale Ce paragraphe est inchangé mais se trouvait avant dans la partie III. e) Séries d éléments d un espace vectoriel normé de dimension finie Ce paragraphe est complété par les résultats sur le produit de Cauchy qui figurait dans la partie III et par le théorème de Fubini pour les séries doubles. Disparition : les suites sommables ne sont plus au programme. 4- Suites et séries de fonctions On précise que les fonctions sont définies sur une partie d un espace vectoriel de dimension finie sur le corps R ou C. a) Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale Disparition : convergence normale sur tout compact. b) Liens avec l intégration et la dérivation Ce paragraphe reprend les anciens paragraphes II.2.b : Intégration sur un segment des suites de fonctions continues et II.3.e : Suites et séries de fonctions de classe C k. c) Approximation des fonctions d une variable réelle Paragraphe inchangé. 4

5 II. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE : DÉRIVATION ET INTÉGRATION 1) Dérivée des fonctions à valeurs vectorielles a) Dérivée en un point, fonctions de classe C 1 Pas de changement dans ce paragraphe (le cas particulier des fonctions à valeurs complexes n apparaît plus mais figure dans le programme de première année). b)- Fonctions de classe C k Le paragraphe est complété par l extension aux applications de classe C k des théorèmes de dérivation de suites et séries de fonctions (cette extension figurait avant au II.3.e : Suites et séries de fonctions de classe C k ). Le paragraphe Fonctions de classe C k par morceaux disparaît, la définition est introduite dans le paragraphe Séries de Fourier. Le chapitre Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles est supprimé. Le contenu du paragraphe Intégration sur un segment des suites de fonctions continues est transféré dans le paragraphe I.4.b) Liens avec l intégration et la dérivation. Le paragraphe Intégrale d une fonction continue par morceaux disparaît, il est remplacé par le paragraphe Compléments de calcul intégral du chapitre IV.1- Equations différentielles linéaires, dans lequel est faite une brève extension des fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. Le chapitre Dérivation et intégration est supprimé. Le paragraphe Théorème de relèvement est transféré dans le chapitre 3- Courbes d un espace vectoriel normé de dimension finie. Le contenu du paragraphe Suites et séries de fonctions de classe C k est transféré dans le paragraphe I.4.b) Liens avec l intégration et la dérivation. Les intégrales à paramètres sont étudiées dans le chapitre suivant. 2) Intégration sur un intervalle quelconque a) Fonctions intégrables à valeurs positives b) Fonctions intégrables à valeurs complexes Disparition : intégration des relations de comparaison. Ajout : un théorème de changement de variable (bijectif). on ne parle plus d intégrale semi-convergente mais d intégrale impropre (ou généralisée). c) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique Ne figure plus la remarque : lorsque I est borné, la convergence uniforme implique la convergence en moyenne. d) Théorème de convergence dominée Disparition : le théorème de convergence monotone. Disparition en colonne de droite du cas où (f n ) converge uniformément sur tout segment, cas où la démonstration du théorème de convergence dominée était exigible des étudiants. e) Intégration terme à terme d une série de fonctions Logiquement, ne subsiste plus que le théorème général : disparaissent les cas particuliers d une série de fonctions à valeurs positives, le cas d une convergence uniforme sur tout segment, ainsi que les inégalités faisant intervenir N 1 (f n ). f) Intégrales dépendant d un paramètre Reformulation complète pour un unique théorème de continuité et un unique théorème de dérivation : plus de séparation des cas suivant le type d intervalle d intégration, hypothèses de régularité qui portent sur les fonctions partielles. À noter que contrairement aux paragraphes concernant les suites et séries de fonctions, le programme comporte une extension au cas d une 5

6 condition de domination vérifiée sur tout segment. Par contre, aucune extension au cas de fonctions de classe C k n est précisée. g) Intégrales doubles ce paragraphe est sensiblement étoffé par rapport à l ancien programme. On définit en particulier l intégrabilité d une fonction à valeurs complexes sur un produit I I de deux intervalles. On donne alors la version adaptée du théorème de Fubini. h) Intégrale sur une partie simple du plan, notion d aire C est un nouveau paragraphe. Il précise les connaissances exigibles sur le sujet. 3- Courbes d un espace vectoriel normé de dimension finie Pas de changement particulier. Un paragraphe spécifique à l étude des branches infinies, notamment dans le cas particulier des courbes données par une équation polaire. On notera que le paragraphe sur le théorème de relèvement figure maintenant dans ce chapitre. III. SÉRIES ENTIÈRES, SÉRIES DE FOURIER Disparition : le chapitre Séries, suites doubles sommables est supprimé. La notion de suite double sommable n est plus au programme. Les résultats sur la sommation des relations de comparaison, sur la comparaison d une série à une intégrale et sur le produit de Cauchy de deux séries figurent désormais au I.3- Séries d éléments d un espace vectoriel normé. 1) Séries entières Seule modification : le lemme d Abel est appelé par son nom. 2) Séries de Fourier Seules modifications : la définition d une fonction C k par morceaux sur R est introduite dans ce paragraphe et on étend à ces fonctions (pour k = 1) la formule d intégration par parties. IV. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1) Équations différentielles linéaires a) Complément de calcul intégral Nouveau paragraphe dans lequel est faite une brève extension de l intégrale aux fonctions continues par morceaux sur un intervalle compact à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie. b) Equations linéaires d ordre 1 Aucun changement. c) Equations linéaires à coefficients constants b) Equations linéaires scalaires d ordre 1 ou 2 2) Notions sur les équations différentielles non linéaires La présentation de ce chapitre est modifiée, l étude générale des équations non linéaires précédant maintenant celle des systèmes non autonomes. Le contenu du chapitre est inchangé. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1) Calcul différentiel a) Applications continûment différentiables b) Fonctions numériques continûment différentiables c) Dérivées partielles d ordre supérieur Disparition des opérateurs D j. 6

7 L ancien paragraphe Coordonnées polaires disparaît, il figure au programme de première année, l expression du gradient en coordonnées polaires est donnée dans le paragraphes b) Fonctions numériques continûment différentiables d) Notions sur les courbes et les surfaces L étude des nappes paramétrées et des surfaces est détaillée davantage. Ajout : illustrer par des exemples de cônes, cylindres, quadriques et surfaces de révolution. Ajout : position d une surface par rapport au plan tangent. 2) Intégrales curvilignes Ajout : formule de Green-Riemann. 7