Divisibilité et congruences.

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1 Divisibilité et congruences I Divisibilité dans Z II Ecriture en base a III Division euclidienne dans Z et congruences IV Critères de divisibilité La phrase culte : «La Mathématique est la reine des sciences et l Arithmétique est la reine des mathématiques» Carl Friedrich Gauss Franz Schubert est né le 31 janvier 1797 Il a vécu moins d un siècle mais plus d un quart de siècle Il et décédé un 19 novembre? Son âge, quand il est mort n était divisible ni par 3, ni par 5 L année de sa mort fut une année bissextile non divisible par 5 et nous fêterons le bicentenaire de sa mort lors d une année divisible par 3 Quand est-il mort? [188] Calendrier 1an=365,40 jours à 10^-5 près Sur q=10000 ans, cela représente 7578 ans à 365j et p=4 à 366j Soit p/q=0,4 César choisit p/q=1/4 avec une année bissextile tous les 4 ans Ce qui fait à peu près 78 années de 366j de trop tous les Le calendrier grégorien supprime 3 années bissextiles tous les 400 ans, il reste donc 3ans de Trop à 366j sur 10000ans I Divisibilité dans Z Définition : Soient a et b deux entiers relatifs On dit que a est un multiple de b s il existe k Z tel que a=bk Si b 0, on dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b On écrit b a «Je suis un multiple de tout entier, mais je n ai qu un seul multiple» Qui suis-je? Trouver n N tel que n n+8 Montrer que n n! est pair p! p= 0 Remarque : Si un nombre entier n a une infinité de multiple, il possède, en revanche, un nombre fini de diviseurs, tous compris entre n et n Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leurs diviseurs communs sont -1 et 1 Propriété de transitivité (1A) : Soient a,b et c trois entiers relatifs avec b 0 et c 0 Si c b et si b a alors c a 1

2 La réciproque est fausse : 7 14 et 7 49 mais 14 ne divise pas 49 Propriété (1B) : Soient a,b et c trois entiers relatifs avec c 0 Si c a et si c b alors c αa + βb pour tout ( α, β ) Z Montrer que n+1 et 3n+1 sont premiers entre eux Dans une liste de 51 nombres entiers compris entre 1 et 100, il y a en toujours un qui divise un autre [on remplace le plus petit par son double et ainsi de suite jusqu à n avoir que des nombres supérieurs à 50] Introduire très tôt le Jeu de Juniper Green popularisé par Ian Stewart II Ecriture en base a Quand on écrit 153, il faut penser 153 = Mais si on a choisi la base 10, c est parce que l on a dix doigts Que se serait-il passé si l on avait été sur la planète Alcor où les ET ont 7 doigts? On aurait fait des paquets de 7, 49, 343 Et on aurait écrit 306 à la place de 153 En effet, 153 = = 306 notation 7 Ecrire 371 en binaire, en octal, en duodécimal, en héxadécimal 8 En octal : 371 = 563 = En duodécimal : = 6β 16 En hexadécimal : 371 = 173 = Idem avec en hexadécimal [ABCDE]

3 Effectuer les opérations : = et = 33 Trouvez le plus petit a tel que 561 a soit écrit en base a [=7] et l écrire en base 10 [=018] 10 3 = 7 a Trouvez a [=8 car 3=*a+7] III Division euclidienne dans Z et congruences On peut voir la congruence sur un piano Les notes se retrouvent modulo 1 La tierce est alors obtenue avec un intervalle de cinq demi-tons donc, sur une gamme de do, le mi correspond à un reste de 4 Rappel dans N : Soient (, ) a b N, avec b 0 Il existe un unique couple (q,r) d entiers relatifs tels que a=bq+r tels que 0 r < b Il s agit du quotient et du reste de la division euclidienne de a par b Le nombre a s appelle le dividende et b est le diviseur Définition : Soient a et b deux entiers relatifs, avec b 0, il existe un unique entier relatif q et un unique entier naturel r tel que a=bq+r avec 0 r < b Exemple : a=37 et b= -11 alors q= -3 et r= 4 Si a= -37 et b=11 alors q= -4 et r=7 Montrer que 3 n(n+1)(n+1) Définition : Deux nombres relatifs a et c sont dits congrus modulo b (un entier naturel non nul) s ils ont même reste dans la division euclidienne par b On note a c ( b) En particulier, si a=bq+r est la division euclidienne de a par b, alors on dit que a est congru à r modulo b et on écrit : a r ( b) Analogie avec la piano : Sur un piano, les notes désignent les entiers et on travaille modulo 1 (nombre de notes sur une gamme) Ainsi, deux La ont la même congruence modulo la gamme Si on choisit une octave, on dit que le La qui est sur cette octave est le reste de la division d un La modulo 1 Analogie avec le cercle trigonométrique : Sur le cercle, quand on enroule la droite réelle, on fait la division euclidienne des angles (les réels) modulo π On aurait pu enrouler le piano sur une octave, mais c est plus dur π Pour cette raison, la notation congru est logique pour les angles : x ( π ) 3

4 Remarque : Si a c ( b) alors c a ( b) Déterminer si les congruences suivantes sont justes : a) (44) b) (17) c) (3) [oui,oui, oh, et puis non] Propriété de transitivité (1C) : Soient a,b et c trois entiers relatifs et soit d un entier relatif non nul Si a b ( d) et b c ( d), alors a c ( d) Démonstration : just do it Propriété (1D) : Si a,a,b,b,c sont des entiers relatifs et si c 0, alors, en supposant a a ' ( c) et b b ' ( c), on a a + a ' b + b ' ( c), a b a ' b ' ( c), ab a ' b' ( c), et n n a a ' ( c) n N Démonstration : just do it Surtout la dernière par récurrence!! Montrer que 6 n(n+1)(n+1) Quel est le reste de a = 35 dans la division par 5 4 [ 35 (5) et 1 (5) or (4) d'où a 4 (5) ] Comment connaître quel jour était le 17 juillet 1970 par exemple : A=année de naissance=70, B=[A/4]=17, M=correctif du mois de juillet=6, J=jour de naissance=17 A+B+M+J=110 congru à 5 modulo 7 Le 0 correspond à un dimanche, le 1 à un lundi C était un vendredi! Correctif des mois : Janv :0, Fév :3, Mars :3, Arvil :6 Mai :1, Juin :4, Juillet :6, Août :, Sept :5, Oct :0, Nov :3, Déc :5 Ne marche qu avec les gens nés entre 1900 et 000 IV Critères de divisibilité 1 Critère de divisibilité par 7 : 7 anan 1 a1a0 7 anan 1 aa1 a0 Montrer l équivalence Essayer avec 31 et avec Déterminer un nombre proche de ce dernier et divisible par 7 On peut même faire mieux : Si a = , on calcule b = = 31 en coupant en tranche de 3 chiffres et en commençant par un - De même 3 1 = 1 qui est divisible par 7 Donc 7 a Idem Critère de divisibilité par 8 : 8 anan 1 a1a0 8 aa1a0 3 Critère de divisibilité par 11 : Essayer avec a = Critère de divisibilité par 16 : 16 anan 1 a1a0 16 a3aa1a 0 4

5 5 Critère de divisibilité par 13 : 13 anan 1 a1a0 13 anan 1 aa1 + 4a0 6 Critère de divisibilité par 17 : 17 anan 1 a1a0 17 anan 1 aa1 5a0 7 Critère de divisibilité par 19 : 19 anan 1 a1a0 19 anan 1 aa1 + a0 8 Critère de divisibilité par 9 : 9 anan 1 a1a0 9 anan 1 aa1 + 3a0 9 Critère de divisibilité par 31 : 31 anan 1 a1a0 31 anan 1 aa1 3a0 10 Critère de divisibilité par 41 : 41 anan 1 a1a0 41 anan 1 aa1 4a0 Jean-Claude a dit : «1+1=? Non!1! On parle une ou un parce qu on est ensemble Ca implique 1+1=1, c est toujours vous C est l amour Mais dans notre monde à nous, 1+1=, +=4 Comme ça on devient selfish, on prend du pognon et on partage pas Peut-être que 1+1=11 et ça c est beau!» «13 pour moi, ça représente 13, 1+3=4, tu peux le diviser Tu peux l diviser? tu peux l multiplier? Euh?! Oui, tu peux l diviser, tu peux l diviser! six et demi hein?! C est correct?!» «Le sept est un chiffre très ch ais pas, je pense au sept, c est un chiffre qui me rappelle les septs-étages, les sept levels, les sept Les sept nains Y a vait sept nains dans Blanche neige?» 5