Théorème de De Rham simplicial et contraction de Dupont

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1 Théorème de De Rham simplicial et contraction de Dupont Notes d exposé du groupe de travail Topologie Algébrique (Nantes) Salim RIVIERE Février La référence principale pour cet exposé est [Get04]. e 0,..., e n désigne la base canonique de R n+1, K est un corps de caractéristique Rappelons qu un ensemble simplicial est la donnée d un foncteur X : op Ens n X n où est la catégorie simpliciale dont les objets sont les ensembles finis ordonnés n := {0,, n} et les morphismes sont les applications croissantes, et Ens est la catégories des ensembles. Une algèbre différentielle graduée simpliciale est définie de la même manière, en remplaçant la catégorie Ens par celle des algèbres différentielles graduées. La catégorie des ensembles simpliciaux sera notée Sset. Le n-simplexe géométrique standard est le fermé n de R n+1 défini par n := {t := t i e i, i t i = 1, t i [0, 1]} Le notation n désigne l ensemble simplicial représentable Hom (, n). Les - simplexes de n est celui des applications croissantes de dans n. 1 Formes différentielles polynomiales simpliciales Définition L algèbre des formes différentielles est l algèbre différentielle graduée commutative simpliciale Ω dont les n-simplexes (lorsque K = R) sont les formes différentielles polynomiales sur le n-simplexe géométrique standard. En d autre termes, Ω n := S V/ I est le quotient de l algèbre commutative différentielle graduée libre S V, où V = (V, d ) est l espace vectoriel gradué défini par V 0 = vect K (t 0,, t n ), V 1 = vect K (dt 0,, dt n ), V = {0} 2, d t i = dt i i n, 1

2 par l idéal I engendré par les relations et 1 dt i Si X est un ensemble simplicial, l algèbre différentielle graduée commutative des formes différentielles polynomiales sur X, notée Ω (X ), est définie en degré par Ω (X ) := sset(x, Ω ) Remarque La structure simpliciale sur Ω provient du fait que n n est un espace cosimplicial qui envoie chaque morphisme f Hom (m, n) sur l application affine f : n 1 n = 0n 1 t e n j=0 f 1 ({j}) t e j t i En particulier la i-eme face simpliciale d i l inclusion de la i-ème face géométrique : n-1 n est envoyée sur d i : n 1 n = 0n 1 t e t 0 e 0 + t 1 e t i 1 e i 1 + t i e i t n 1 e n En post-composant par le foncteur Ω poly des formes polynomiales, ces dernières induisent des faces d i := (d i ) : Ω n Ω n 1 qui sont les opérations de tirage en arrière des formes par les inclusions de faces. Les dégénérescences s obtiennent de manière analogue. 2. Lorsque K = R, Ω (X ) peut s interpréter comme l algèbre des formes différentielles polynomiales sur la réalisation géométrique X de X. Supposons que X est une variété 1. Une -forme différentielle ω sur X est dite polynomiale lorsque pour tout n-simplexe x X n, le tiré en arrière σxω de ω par le simplexe canonique σ x : n {x} n X est une forme polynomiale sur n. Ainsi, à toute -forme polynomiale sur X est associée une famille ψ (ω) := (ψ n (ω)) n 0 d applications ψ n (ω) : X n Ω n définies par ψ n (ω)(x) := σxω pour tout x dans X n. Pour voir que ψ(ω) est un morphisme d ensembles présimpliciaux, il suffit de remarquer que comme n 1 d i σ d i x n σ x X commute pour tout n-simplexe x X n et pour tout i dans {0,, n}, ψ n (ω)(d i x) := σ d ixω = (d i ) σ xω = d i ψ(ω)(x) 1. Dont la structure de varieté fait des simplexes canoniques de X des applications différentiables 2

3 La commutation aux dégénérescences s obtient de manière analogue ce qui montre que ψ(ω) est un morphisme d ensembles simpliciaux. Nous avons donc construit une correspondance ψ : Ω poly ( X ) Hom Sset (X, Ω ) qui est injective. Définition Le sous-complexe simplicial des formes élémentaires C Ω est celui engendré (comme complexe de K-espaces vectoriels) par les formes élémentaires ω i0,i 1,,i définies par ω i0,i 1,,i :=! ( 1) j t ij dt i0 dt i1 dt ij dt i j=0 lorsque n et parcourent N, et (i 0,, i ) parcourt les ( +1)-uplets d éléments de n = {0,, n}. Proposition Le complexe C est effictivement un sous-complexe simplicial de Ω. Démonstration. Admettons la partie simpliciale. Pour vérifier que C n est stable par la différentielle de De Rham, il suffit de calculer l image d un générateur : d (ω i0,i ) =! ( 1) j dt ij dt i0 dt ij dt i j=0 =( + 1)!dt i0 dt i = ( + 1)!t i dt i0 dt i = = ω i,i0,,i ( + 1)! ω i,i0,,i ( 1) j+1 t ij ( dt i )dt i0 dt ij dt i j=0 Remarque ω i0,,i est nulle dès lors que les i p ne sont pas distincts deux à deux. De plus, si τ est une permutation du ( + 1)-uplet (i 0,, i ), ω τ(i0,,i ) = sgn(τ)ω i0,,i Définition Le complexe simplicial d un ensemble simplicial X, noté C (X ), est le complexe de cochaînes défini en degré par C (X ) := Hom Sset (X, C ) Rappelons qu il existe un complexe simplicial (normalisé) usuel C simp (X ) associé à tout ensemble simplicial X, défini par C simp (X ) := (KX / i Kσ ix +1 ) et d simp := +1 ( 1)i d i : C simp (X ) C +1 simp (X ). 3

4 Proposition L application d intégration I : C Csimp ( ) définie par ( K n I(ω) := / i Ks ) i n K σ I σ (ω) := σ ω pour toute -forme ω dans C n, est un isomorphisme de complexes de cochaînes simpliciaux. Démonstration. Commençons par préciser le sens de l intégrale apparaissant dans la définition de I. À toute -forme polynomiale ω := tα0 0 tαn n dt j1 dt j sur n et à tout -simplexe σ :=< e i0,, e i > de n est associée l intégrale I i0,,i (ω) := ω := σ ω σ=<e i0, e i > où l intégrale des -formes sur le -simplexe standard (qui correspond à l intégrale Riemannienne usuelle si K = R) est l unique courant : Ω K vérifiant t a1 1 ta dt a 1! a! 1 dt = a 1,, a N (a a + )! et l application σ : Ω n Ω est le morphisme d algèbres défini par { σ tj si i = i (t i ) = j 0 si i / {i 0,, i } pour tout i dans n := {0,, n}. Remarquons que la famille F constituée des ω σ := ω i0,,i lorsque σ := (i 0,..., i ) parcourt tous les -simplexes non dégénérés de n (i.e les ( + 1)- uplets (i 0,, i ) d éléments de n tels que i 0 < i 1 < < i ) est une famille génératrice de C n. D autre part, le complexe des chaînes normalisées admet pour base la famille F des classes de ces mêmes simplexes non dégénérés. Or il est facile de voir que pour tout -simplexe non dégénéré σ := (i 0,, i ), I σ (ω σ ) = 0 dès lors que σ σ (en particulier lorsque σ est dégénéré). De plus I σ (ω σ ) =! (t 0 dt 1 dt + =!( 1! =1 ( 1) j+1 t j dt 0 dt 1 dt j dt ) j=1 ( + 1)! + ( + 1)! ) Ceci montre non seulement que I(ω σ ) reste bien définie modulo les simplexes dégénérés, mais également que l image de la famille génératrice F n est rien d autre que la base de C simp ( n ) duale de F. Ceci implique que l inégalité dim K C n = dim KFF dim K F = dim K C simp ( n ) est en fait une égalité, prouvant ainsi la bijectivité de I. Corollaire Les complexes de cochaînes C (X ) et C simp (X ) sont isomorphes. Démonstration. Il s agit de montrer que Hom sset (X, C simp ( )) = C n simp (X ) ce qui est fait dans [FHT01]. L isomorphisme associe à un homomorphisme simplicial f Hom sset (X, C n ) la n-cochaîne simpliciale σ X n f(σ)(idn), où Idn n n est la classe fondamentale de n. 4

5 2 Théorème de De Rham simplicial Si X est un ensemble simplicial, Xn désigne le sous-ensemble de X constitué des simplexes non dégénérés. Maintenant que le complexe des cochaînes simpliciales a été identifié au sous-complexe des formes polynomiales engendré par les formes élémentaires, définissons une projection associée à cette inclusion. Définition Sous les notations de la section précédente, la projection P : Ω C est le morphisme de complexes de cochaînes simpliciaux défini par P n (ω) := I σ (ω)ω σ pour toute -forme ω sur n σ n Définition Soit i dans n. L application φ i : [0, 1] n n est définie par φ i (u, t) := ut + (1 u)e i L homotopie h i n : Ω n Ω 1 n simpliciaux défini par h i n(ω) := est le morphisme de complexes de cochaînes 1 0 du ι φ i ω. u Enfin, l évaluation sur le i-ème sommet ε i n : Ω n K est donnée par { ε i ω(ei ) si ω Ω n(ω) := 0 n, 0 sinon. Proposition [Lemme de Poincaré] h i n est une homotopie entre entre Id Ω n et ε i n, i.e dh i n + h i nd = Id ε i n De plus, en notant E i le champ de vecteurs auquel φ i est associée, qui vérifie E i (t) := t e i, h i n(ω) = 1 0 u 1 du φ i ι Ei ω (1) Démonstration. L égalité est vraie dans le cas K = R, il reste à voir que h i n est bien définie pour K arbitraire ce dont on se convainc en évaluant formellement h i n sur une forme polynomiale puis en évaluant le résultat sur des vecteurs tangents en remarquant que la fonction obtenue est un polynome en u et en les t i à coefficients dans K et que son intégrale a algébriquement un sens (puisque K contient Q.) Pour l égalité (1), remarquons que pour toute forme ω sur n, Or donc ι φ i ω = ω φi ( φ i u u, T φ i,, T φ i ) φ i u (u, t) = t e i = u 1 E i (φ i (u, t)) ι φ i ω = u 1 φ i ι Ei ω u 5

6 Remarque En particulier, la valeur de ι Ei est bien détérminée sur les formes élémentaires : ι Ei ω σ = ( 1) p 1 δ i,σ(p) ω dpσ (2) p=0 pour tout -simplexe non dégénéré σ : n. En effet, i σ : ι Ei ω σ =( + 1)! j=0( p<j ( 1) j+p+1 t ij t ip dt i0 dt ip dt ij dt i + p>j( 1) j+p t ij t ip dt i0 dt ij dt ip dt i ) = 0 Et dans le cas où i = i q : ι Ei ω σ =( + 1)!( j<q ( 1) j+q+1 t ij dt i0 dt ij dt iq dt i + j>q( 1) j+q t ij dt i0 dt iq dt ij dt i ) =( 1) q+1 ω i0,,î q,,i De la remarque précédente découle le lemme Lemme Pour tout σ dans n : h i ω σ = ( 1) p+1 δ i,σ(p) ω dpσ (3) p=0 Nous pouvons maintenant énoncer le théorème principal de cet exposé : Théorème [Getzler, thm 3.7] La projection P : Ω C définie précédemment fait de C un rétract par déformation de Ω. Plus précisément, l application simpliciale s : Ω Ω +1 définie par s := ω σ h σ 0 σ avec h σ := h i h i 1 h i0 pour tout -simplexe σ = (i 0,, i ) dans, est une contraction, i.e vérifie [s, d] := s d + ds = Id Ω P Corollaire [Thm de De Rham simplicial] Pour tout ensemble simplicial X, les complexes Ω (X ) et C (X ) sont quasi-isomorphes. Démonstration du théorème. Commençons par établir le lemme technique Lemme I σ = ( 1) ε σ() h d σ 6

7 Alors [d, s n ] = ω iσ h σ σ n ω σ (h σ d + ( 1) dh σ ) = = 0 σ n σ n ω iσ h σ σ n j=0 σ n t i Id 0 ( 1) j ω σ h σ() [h σ(j), d] h σ(0) ω iσ h σ σ n j=0 ( 1) j ω σ h σ() ĥσ(j) h σ(0) ( 1) ω σ ε σ() h σ(0) σ n Le dernier terme est P n par le lemme. Le premier et le second se simplifient pour 1. Le troisième (qui provient de = 0) est l identité. Références [FHT01] Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. homotopy theory, volume 205. Springer Verlag, Rational [Get04] Ezra Getzler. Lie theory for nilpotent l-infinity algebras. arxiv preprint math/ ,