CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 2

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1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 2 I - Détermination de Rac(A) dans quelques exemples Exemple 1 : Cas où A possède n valeurs propres distinctes 1. Le polynôme caractéristique de A est scindé sur R à racines simples. On sait alors que A est diagonalisable dans R. Par suite, il existe P GL n (R) telle que A = PDP 1 où D = diag(λ 1,...,λ n ). Soient R M n (R) puis S = P 1 RP de sorte que R = PSP 1. Puisque les matrices P et P 1 sont inversibles, les matrices P et P 1 sont simplifiables à gauche et à droite et on a R Rac(A) R 2 = A (PSP 1 ) 2 = PDP 1 PS 2 P 1 = PDP 1 S 2 = D S Rac(D). R M n (R), R Rac(A) P 1 RP Rac(D). 2. a. Soit S une racine carrée de D. SD = S S 2 = S 3 = S 2 S = DS. b. Posons S = (s i,j ) 1 i,j n. Le coefficient ligne i colonne j de la matrice SD vaut s i,j λ j et celui de la matrice DS vaut λ i s i,j. Puisque SD = DS, pour tout couple (i, j), on a s i,j λ j = λ i s i,j ou encore s i,j (λ j λ i ) = 0. Quand i j, on a λ j λ i 0 et donc s i,j = 0. Ainsi, si S est une racine carrée de D, alors : (i, j) 1, n 2, (i j s i,j = 0. Ceci montre que la matrice S est une matrice diagonale. S M n (R), S 2 = D S D n (R). c. L égalité S 2 = D se traduit par i 1, n, s 2 i = λ i. d. Soit i 1, n tel que λ i < 0. L équation s 2 i d inconnue s i n a pas de solution dans R et donc l équation S 2 = D n a pas de solution dans D n (R) ou finalement l équation R 2 = A n a pas de solution dans M n (R). Dans ce cas, Rac(A) =. e. S 2 = D i 1, n, s 2 i = λ i (ε i ) 1 i n 1, 1} n / i 1, n, s i = ε i λi. Les racines carrées de D sont les matrices de la forme S = diag(ε i λi ) 1 i n où (ε i ) 1 i n 1, 1} n. 3. D après ce qui précède, si λ 1 < 0 (de sorte que i 1, n / λ i < 0), Rac(A) est vide. Si λ 1 0 (de sorte que i 1, n / λ i 0), les racines carrées de A sont les matrices de la forme R = PSP 1 où S = diag(ε i λi ) 1 i n, (ε i ) 1 i n 1, 1} n. Il y a au plus 2 n telles matrices. Notons alors que si S et S sont deux matrices diagonales, PSP 1 = PS P 1 S = S ce qui montre déjà que card(rac(a)) = card(rac(d)). Ensuite, pour ((ε i ) 1 i n, (ε i ) 1 i n) ( 1, 1} n ) 2, diag(ε i λi ) 1 i n = diag(ε i λi ) 1 i n i 1, n, ε i λi = ε i λi λ 1 (ε 1 ε 1) = 0 et i 2, ε i = ε i (car i 2, λ i 0). http :// 1 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 Si λ 1 > 0, l égalité λ 1 (ε 1 ε 1 ) = 0 est équivalente à ε 1 = ε 1. Dans ce cas, S = S (ε i ) 1 i n = (ε i ) 1 i n. Dans ce cas, il y a 2 n matrices deux à deux distinctes de la forme diag(ε i λi ) 1 i n et donc 2 n racines carrées deux à deux distinctes de A dans M n (R). Si λ 1 = 0, les racines carrées de D sont les matrices de la forme diag(0, ε 2 λ2,...,ε n λn ), (ε i ) 2 i n. Deux telles matrices S et S sont égales si et seulement si (ε i ) 2 i n = (ε i ) 2 i n. Dans ce cas, il y a 2 n 1 telles matrices deux à deux distinctes et donc 2 n 1 racines carrées deux à deux distinctes de A dans M n (R). Si λ 1 < 0, card(rac(a)) = 0. Si λ 1 = 0, card(rac(a)) = 2 n 1. Si λ 1 > 0, card(rac(a)) = 2 n. 4. Déterminons le polynôme caractéristique de A. χ A = 11 X X X 3 X X = (11 X) X X 3 = (11 X)(X 2 6X) + 5(5X) + 5(5X) = X[(11 X)(X 6) + 50] = X( X X 16) = X(X 1)(X 16) χ A = X(X 1)(X 16). La matrice A admet 3 valeurs propres réelles deux à deux distinctes à savoir 0, 1 et 16. D après la question précédente, A admet exactement 4 racines carrées à savoir les matrices de la forme Pdiag(0, ±1, ±4)P 1 où P est une matrice carrée inversible telle que P 1 SP soit une matrice diagonale. Déterminons une matrice P. Soit X = x y z M 3,1 (R). 11x 5y + 5z = 0 X Ker(A) 5x + 3y 3z = 0 5x 3y + 3z = 0 Ker(A) est la droite vectorielle Vect(e 1 ) où e 1 = y z = 11x 5 y z = 5x x 5y + 5z = 0 X Ker(A I) 5x + 2y 3z = 0 5x 3y + 2z = 0 z = 2x + y x y = 0 Ker(A I 3 ) est la droite vectorielle Vect(e 2 ) où e 2 = x 5y + 5z = 0 5x 3y + 3z = 0 y z = 11x 5 11x 5 = 5x 3 y = x z = x. x = 0 y z = 0. z = 2x + y 5x + 2y 3( 2x + y) = 0 5x 3y + 2( 2x + y) = 0 La matrice A est symétrique réelle et on sait en particulier que les sous-espaces propres de A sont orthogonaux. Ainsi, Ker(A 16I 3 ) est la droite vectorielle Vect(e 3 ) où e 3 = e 1 e 2 = = 2 1, http :// 2 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 Une matrice P convenable est la matrice P = Exemple 2 : Cas où A est la matrice nulle de M n (R) 5. a. R 2 = 0 n f f = 0 Im(f) Ker(f) dim(im(f)) dim(ker(f)) r n r r n 2. Im(f) Ker(f) et r n 2. b. Soit (λ 1,...,λ n r, µ 1,..., µ r ) R n. λ 1 e λ n r e n r + µ 1 u µ r u r = 0 f(λ 1 e λ n r e n r + µ 1 u µ r u r ) = 0 µ 1 e µ r e r = 0 µ 1 =... = µ r = 0 (car la famille (e 1,..., e r ) est libre). Il reste λ 1 e λ n r e n r = 0 ce qui impose λ 1 =... = λ n r = 0 car la famille (e 1,..., e n r ) est libre. Ainsi, la famille (e 1,...,e n r, u 1,..., u r ) est libre. De plus card(e 1,..., e n r, u 1,...,u r ) = n = dim(r n ) < + et donc la famille (e 1,..., e n r, u 1,...,u r ) est une base de R n. On a alors immédiatement M r = ( ) 0r,n r I r, 0 n r,n r 0 n r,r où 0 p,q désigne la matrice nulle à p lignes et q colonnes. 6. a. Réciproquement, pour i 1, n r, f(f(e i )) = f(0) = 0 et pour i 1, r f(f(u i )) = f(e i ) = 0. Ainsi l endomorphisme f 2 s annule sur une base de R n et donc f 2 = 0 ou encore M 2 r = 0. Ainsi, A est une racine carrée de 0 dans M n (R) si et seulement si il existe une base de R n dans laquelle la matrice de f est une matrice M r ou encore A est une racine carrée de 0 dans( M n (R) si et seulement ) si A est semblable à une matrice 0r,n r I de la forme r, 0 r n 0 n r,n r 0 n r,r 2. b. Les racines carrées de la matrice nulle dans M 4 (R) sont 0 et les matrices semblables à l une des deux matrices ou Exemple 3 : Cas où A = I n 7. a. Puisque R 2 = I n, on a 1 = det(i n ) = det(r 2 ) = (det(r)) 2 et en particulier, det(r) 0. Ceci montre que R est inversible. b. Soit f l endomorphisme de R n de matrice R dans la base canonique de R n. On sait que http :// 3 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 R 2 = I n f 2 = Id f est une symétrie il existe une base de R n dans laquelle la matrice de f est de la forme diag(1,..., 1, 1,..., 1) R est semblable à une matrice de la forme diag(1,..., 1, 1,..., 1). 8. Rac(I n ) est l ensemble des matrices diagonalisables dans R dont le spectre est contenu dans 1, 1}. Exemple 4 : Cas où A est une matrice symétrique réelle 9. La matrice diag( n, (n 1),..., 1) est symétrique réelle et n admet pas de racine carrée dans M n (R) d après 2.d. Donc, une matrice symétrique réelle n admet pas nécessairement de racine carrée dans M ( R). 10. Soit A une matrice symétrique réelle positive. Puisque A est symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale réelle D = diag(λ 1,...,λ n ) telle que A = PDP 1. Montrons alors que les valeurs propres de A, c est-à-dire les λ i, sont des réels positifs. Soient i 1, n puis X un vecteur propre associé à la valeur propre λ i. t XAX = t X(AX) = t X(λ i X) = λ i t XX = λ i X 2, où X désigne la norme euclidienne usuelle du vecteur colonne X. Par hypothèse, t XAX 0 ou encore λ i X 2 0 ( ). Mais X est un vecteur propre et est en particulier non nul. On en déduit que X 2 > 0 et l inégalité ( ) fournit λ i 0. Soit alors D = diag( λ i ) 1 i n puis R = PD P 1 = PD t P (puisque P est orthogonale). R 2 = (PD P 1 ) 2 = PD 2 P 1 = PDP 1 = A et donc R est une racine carrée de A dans M n (R). R est orthogonalement semblable à une matrice diagonale réelle et donc R est une matrice symétrique réelle. Vérifions enfin que la matrice R est positive. Soit X M n,1 (R) puis X = P 1 X = t PX. Posons X = (x i ) 1 i n. t XRX = t XPD t PX = t ( t PX)D ( t PX) = t X D X = R = PD t P est donc une matrice symétrique positive telle que R 2 = A. II - Etude topologique de Rac(A) n i=1 λi x 2 i 0. est continue sur M (R). Posons h = g f. 11. La fonction f : M n (R) (M n (R) 2 est linéaire et M n (R) est de dimension finie. f est donc continue sur M (M, M) M n (R). La fonction g : (M n (R)) 2 M n (R) est bilinéaire et (M n (R)) 2 est de dimension finie. g est donc continue (M, N) MN sur (M n (R)) 2. Mais alors, la fonction g f : M n (R) M n (R) M M 2 n Le singleton A} est un fermé de M n (R). Par suite, Rac(A) = h 1 (A}) est un fermé de M n (R) en tant qu image réciproque d un fermé par une application continue. Rac(A) est un fermé de M n (R). 12. a. Soit q N. S 2 q = ( 1 0 q 1 ) ( 1 0 q 1 ) = ( ) = I 2. Ainsi, q N, S q Rac(I 2 ). Mais, pour q N, N(S q ) = q. Par suite, N(R), R Rac(I 2 )} n est pas majoré ou encore Rac(I 2 ) n est pas une partie bornée de M 2 (R). http :// 4 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 b. Soit q N. La matrice S q = q est dans Rac(I n ) et vérifie N(S q ) = q. Donc Rac(I n ) n est pas une partie bornée de M n (R). c. Supposons qu il existe une norme surmultiplicative sur GL n (R). Pour R Rac(I n ), on a en particulier R GL n (R) et R R R R = I n. Ainsi R Rac(I n ), R I n. On en déduit que Rac(I n ) est une partie bornée GL n (R) pour la norme. Mais M n (R) est un R-espace de dimension finie. On en déduit que la norme N est équivalente à la norme et donc que Rac(I n ) est aussi une partie bornée de M n (R) pour la norme N (il existe un réel K tel que N K et donc, R Rac(I n ), N(R) K I n ). Ceci n est pas et donc il n existe pas de norme surmultiplicative sur GL n (R). I II - Zéros de fonctions polynomiales. Application à la détermination de l intérieur de Rac(A) 13. a. Soit x = (x 1,..., x p ) R p. x B (a, r) x a < r Max x i a i, i 1, p } < r i 1, p, x a i < r i 1, p, a i r < x i < a i +r. Par suite, B (a, r) = p ]a i r, a i + r[. b. Soient F et G deux parties de R p d intérieur vide. Puisque F G F, on a k=1 (F G) F = et donc (F G) =. 14. a. Le polynôme nul a une infinité de racines et un polynôme non nul (d une variable) a un nombre fini de racines. Donc P Γ 1, (Z(P) est infini P = 0). b. Z(P) est la droite d équation x 2 = 2x 1 1 et Z(Q) est la parabole d équation x 2 = x 2 1. Z(P) et Z(Q) sont infinis. x Z(Q) 3 Z(P) x 1 http :// 5 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.

6 15. a. Démontrons le résultat par récurrence sur p. Si p = 1, on sait qu un polynôme d une variable qui s annule sur une partie infinie I 1 de R est nécessairement le polynôme nul. Soit p N. Supposons qu un polynôme P Γ p qui s annule sur une partie de R p de la forme I 1... I p où I 1,..., I p sont des parties infinies de R soit nécessairement le polynôme nul. Soit alors I 1,..., I p, I p+1, p+1 parties infinies de R puis soit P Γ p+1 un polynôme qui s annule sur I 1... I p I p+1. Le polynôme P peut se décrire sous la forme : (x 1,...,x p, x p+1 ) R p+1, P = x q p+1 λ q(x 1,..., x p ) + x q 1 p+1 λ q 1(x 1,..., x p ) x p+1 λ 1 (x 1,...,x p ) + λ 0 (x 1,..., x p ), où λ 0,..., λ q sont des éléments de Γ p. Soit (x 1,...,x p ) un élément fixé de I 1... I p. Le polynôme d une variable x p+1 P(x 1,...,x p, x p+1 ) s annule sur I p+1 qui est une partie infinie de R. On en déduit que ces coefficients à savoir λ q (x 1,...,x p ),..., λ 1 (x 1,...,x p ), λ 0 (x 1,...,x p ) sont nuls. Ainsi, (x 1,..., x p ) I 1... I p, λ 0 (x 1,..., x p ) = λ 1 (x 1,..., x p ) =... = λ q (x 1,..., x p ) = 0. λ 0,..., λ q sont donc q + 1 polynômes éléments de Γ p qui s annulent sur I 1... I p où I 1,..., I p sont des parties infinies de R. L hypothèse de récurrence permet alors d affirmer que les polynômes λ 0,..., λ q sont nuls et donc que P est le polynôme nul. Le résultat est démontré par récurrence. b. Soit P un élément de Γ p s annulant sur une partie A de R d intérieur non vide. A contient une boule B (a, r), r > 0. D après la question 13.a., cette boule est de la forme I 1... I p où I 1,..., I p sont des parties infinies de R. La question précédente montre alors que P est nul. c. Par contraposition, on a P Γ p, (P 0 (Z(P)) = ). 16. a. Posons R = (r i,j ) 1 i,j n et A = (a i,j ) 1 i,j n. R 2 = A (i, j) 1, n, n r i,k r k,j a i,j = 0. k=1 Pour (i, j) 1, n, posons n (x u,v ) 1 u,v n R n2, P i,j ((x u,v ) 1 u,v n ) = x i,k x k,j a i,j. k=1 On a alors : R M n (R), R Rac(A) (i, j) 1, n 2, P i,j (R) = 0 R Z(P i,j ). 1 i,j n b. Aucun des polynômes P i,j n est nul et donc, d après la question 15.c., chaque Z(P i,j ) est d intérieur vide. La question 13.b. permet alors d affirmer que Z(P i,j ) et donc Rac(A) est d intérieur vide. 1 i,j n A M n (R), (Rac(A)) =. http :// 6 c Jean-Louis Rouget, Tous droits réservés.