Correction du TD n o 5

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1 Correction du TD n o Diagramme en batons des frequences 0 Exercice :. On commence par compléter les deux colonnes de droite. On en déduit n = 0 = 0. On complète alors la colonne effectif. effectif fréquence fréquence cumulée Il s agit d une variable de nature quantitaive discrète. 3. Les réprésentations graphiques adaptées sont le diagramme en bâtons des fréquences et la courbe (en escalier des fréquences cumulées (cf Fig. 4. La moyenne x est donnée par x = ( = 2.9 L écart-type s est donnée par s = 0 ((0 x2 0 + ( x ( x 2 0 =.83 Le coefficient de variation CV est donnée par CV = 00 = 62. s x Le mode M 0 est la valeur associée à l effectif le plus grand, ici M 0 = 4. Exercice 2 : Frequence Courbe des frequence cumulees Fig. Représentation graphique de l exercice.. On commence par compléter conjointement les colonnes classe et centre. On complète ensuite conjointement les colonnes fréquence, fréquence cumulée et hauteur (la fréquence d une classe est donnée par le produit de sa hauteur et son amplitude. On complète enfin la

2 colonne effectif en utilisant n = 0 2 = 00 et la colonne fréquence. Classe effectif fréquence fréquence cumulée hauteur centre [0, [ [, 2[ [2, 2.[ [2., 3[ [3,4[ [4,[ [, 0[ Il s agit d une variable de nature quantitaive continue. 3. La moyenne x est donnée par x = ( = 2.96 L écart-type s est donnée par s = 00 ((0. x2 0 + (. x (7. x 2 20 =.34 Le coefficient de variation CV est donnée par CV = 00 = 4.4 s x 4. Les réprésentations graphiques adaptées sont l histogrammes (des hauteurs et la courbe (affine par morceaux des fréquences cumulées (cf Fig.2.. Le quartile Q est un nombre compris entre 2 et 2., donnée par Q = ( = 2. Hauteurs Histogramme Courbe des frequence cumulees Fig. 2 Représentation graphique de l exercice 2. Le quartile Q 2 est un nombre compris entre 2. et 3, donnée par Q 2 = ( =

3 Le quartile Q 3 est un nombre compris entre 3 et 4, donnée par 4 3 Q 3 = 3 + ( = 3.6 Exercice 3 :. Voir la figure 3. effectif fréquence fréquence cumulée La moyenne x est donnée par Courbe des frequences cumulees x = ( = Fig. 3 Représentation graphique de l exercice La variable est de nature quantitative discrète puisque la courbe des fréquences cumulées est une courbe en escalier. Pour construire le tableau de représentation, on commence par remplir la colonne valeur (ce sont les abscisses des points de saut de la courbe et la colonne fréquence cumulée. On utilise alors cette dernière pour compléter la colonne fréquence. Il reste à remplir la colonne effectif à l aide de la colonne fréquence et de l effectif total 00. Le mode M 0 est la valeur associée à l effectif le plus grand, ici M 0 = 7. Exercice 4 : On note X le nombre de demande par mois. D après l énoncé, X suit une loi N (78,. Par propriété de la loi normale, X 78 suit une loi N (0,. On note F la fonction de répartition d une loi normale centrée réduite.. La probabilité que, sans apprivisionnement supplémentaire, la production ne soit pas suffisante pour faire face à la demande est donnée par ( X 78 P (X > 80 = P > 2 = F ( 2 = On note a R + le stock de sécurité. La probabilité de défaut face à 3

4 la demande est donnée par P (X > 80 + a. On doit trouver a tel que ( X 78 P (X > 80 + a 2 P F F > 2 + a 2 ( 2 + a 2 ( 2 + a 7 On note x R l antécédent de 7 par F, autrement F (x = 7. Puisque F est croissante, trouver a tel que ( 2 + a F a x a x 2 D après la table statistique, x =.9. On en déduit a Le même raisonnement que dans la question précédente permet de conclure que le stock de sécurité a est un entier qui vérifie a x 2 où F (x = 7. D après la table statistique, x =.88. On en déduit a 3. Exercice :. X suit une loi binômiale de paramètre n = 0000 et p =. 2. Pour rappel, une v.a. de loi B(n, p peut s écrire comme la somme de n v.a. indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p. Une application classique du théorème centrale limite est donc qu une loi B(n, p peut être approcher par une loi N (np, np( p. De plus, d après le cours, cette approxumation est valide si n 30, np et n( p. On est bien dans les conditions d approximation puisque n = 0000, np = 2000 et n( p = La probabilité que le nombre de connexions soit supérieure à un nombre x 0 est donnée par P (X > x P (Y x où Y une v.a. de loi N (2000, 600. De plus, ( Y 2000 P (Y x = P x 2000 = F ( x Soit a 0 tel que F (a = 7, une valeur approché du nombre de connexions x que le point d accès doit pouvoir gérer simultanément est donnée par ( ( x 2000 x 2000 F 2 F F (a x 2000 a x a La table statistique de la loi normale fournit a =.96. On en déduit que le point d accès doit gérer au moins 2079 (ou connexions simultanées. Exercice 6 : Pour tout i N, on définit X i le résultat du i-ème lancer de dé. (X i forment une suite de variable aléatoire indépendantes de loi uniforme sur {, 2, 3, 4,, 6}. On définit S n := X + X X n la v.a. décrivant la somme des n premiers lancers. La probabilité qu il faille au moins 8 jets pour que la somme des résultats dépasse 8 est donnée par P(S On peut alors calculer une valeur approchée de cette quantité en utilisant le TCL. En effet,ce dernier assure que l on peut approximer S n par une loi N (ne[x ], nv(x pour n suffisamment grand. On suppose que n = 8 est suffisament grand pour justifier cette approximation. D après le cours, E[X ] = 7 2, V(X =

5 Soit Y une v.a. de loi N (283., 236.2, on a P(S 8 30 P(Y 30. On en déduit P(S Exercice 7 : Cette exercice est une application de l inégalité de Bienaymé- Tchebychev. P (0 X = P ( X E[X] 20 = P ( X E[X] > 20 P ( X E[X] 20 Or l inégalité de Bienaymé-Tchebychev assure que Donc P ( X E[X] 20 V(X 20 2 P (0 X