M1 Les droites du plan

Transcription

1 M Les droites du plan Le plan est muni d un repère orthogonal. Vocabulaire Soit (d) une droite sécante à l axe des ordonnées. ym yn Quels que soient les points M et N de la droite, le nombre m = est x M x N constant. Ce nombre est appelé coefficient directeur (ou pente) de la droite (d). ym yn différence des ordonnées retenir : coef. dir. = m = =. x M x N différence des abscisses L ordonnée du point d intersection de la droite (d) et de l axe des ordonnées est appelée ordonnée à l origine de la droite (d). Remarques : Une droite parallèle à l axe des ordonnées n a ni coefficient directeur, ni ordonnée à l origine. Deux droites sécantes à l axe des ordonnées sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont même coefficient directeur. Equation d une droite Une droite (d) sécante à l axe des ordonnées a pour équation y = mx + p, où m est le coefficient directeur et p l ordonnée à l origine de la droite (d). Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme x = a, où a est l abscisse commune de tous les points de la droite.

2 4 Chapitre M Méthodes de construction d une droite Exemple Tracer la droite d équation y = x. On place d abord l ordonnée à l origine qui vaut ici, puis ensuite le coefficient directeur. Exemple Tracer la droite d équation y =,5x,5. On calcule les coordonnées de deux points : si x =, alors y = ; on place ( ; ) ; si x =, alors y = 4 ; on place ( ; 4). Enfin, on trace la droite (). Exemple 3 Tracer la droite passant par ( ; ) et de coefficient directeur m =. On place le point, puis on place le coefficient directeur.

3 Enoncés des exercices Les droites du plan 5 Exercice : L essentiel est-il connu? Exercice : QCM...(0 min). Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + 5 est : a) x b) 5 c) d) x. Le coefficient directeur de la droite d équation y = 3x + est : a) b) 3x c) 3 d) 3 3. L ordonnée à l origine de la droite d équation y = x est : a) b) c) d) x 4. Pour calculer le coefficient directeur m de la droite (), on utilise la formule : y y y y a) m = c) m = x x x x x x m = y y b) 5. On a tracé ci-dessous la droite d : x x m = y y d)

4 6 Chapitre M a) L équation de d est y = x + b) L équation de d est y = x + c) L équation de d est y = x + d) L équation de d est y = x + Exercices et 3 : Le vocabulaire est-il connu? Exercice...(5 min) Pour chacune des droites suivantes, déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine : a) d : y = 4x e) d 5 : y = x + 3 b) d : y = 3x c) d 3 : y = f) d 6 : y = x 3 d) d 4 : y = 4 x Exercice 3... (0 min) Pour chacune des droites représentées ci-dessous, déterminer le coefficient directeur et l ordonnée à l origine :

5 Les droites du plan 7 Exercice 4 : Savoir vérifier si un point appartient à une droite Exercice 4...(5 min) Dans chacun des cas suivants, déterminer par le calcul, si le point E appartient à la droite d : a) E(5 ; 3) et d : y = x + 7 b) E( ; 5) et d : y = 8,5x e) E(6 ; ) et d : y = c) E(5 ; 8) et d : y = 3 x + 3 x + f) E(3,5 ; 6) et d : y = 6 d) E(7 ; ) et d : y = 7 Exercices 5 et 6 : Savoir déterminer l équation d une droite Exercice 5...(30 min) Calculer l équation de la droite () dans chacun des cas suivants : a) (3 ; 5) et (5 ; ) b) ( ; 3) et (9 ; 7) c) ( ; 4) et ( 9 ; 4) d) ( ; 3,5) et ( ; ) Exercice 6... (30 min) Déterminer l équation de chacune des droites tracées ci-dessous :

6 8 Chapitre M Exercices 7 à 9 : Savoir tracer des droites Exercice 7...(35 min) Tracer dans un repère les droites suivantes : a) d : y = 4x e) d 5 : y = x + 3 b) d : y = 3x f) d 6 : y = x c) d 3 : y = d) d 4 : y = 4 x Exercice 8... (40 min) Même exercice avec : a) d : y =,5x,5 3 b) d : y = x c) d 3 : y =,5 d) d 4 : y = 3 x e) d 5 : y = x + 4 f) d 6 : y = 3 x Exercice 9... (35 min) Tracer dans un repère les droites suivantes, passant par le point indiqué et de coefficient directeur m : a) ( ; ) et m = e) E( ; 3) et m =,5 b) (0 ; 3) et m = c) C( ; ) et m = d) D( ; 0) et m =,5 f) F(0 ; 0) et m = 3 Corrigés des exercices Corrigé.... Le coefficient directeur de la droite d équation y = x + 5 est. La bonne réponse est la réponse c).. Le coefficient directeur de la droite d équation y = 3x + est 3.

7 Les droites du plan 9 La bonne réponse est la réponse c). 3. L ordonnée à l origine de la droite d équation y = x est. La bonne réponse est la réponse c). 4. Pour calculer le coefficient directeur m de la droite (), on utilise la y y y y formule m = ou m =. x x x x En effet : m y y ( y y ) y y = = = x x ( x x ) x x Les bonnes réponses sont les réponses a) et c). 5. L ordonnée à l origine est et le coefficient directeur est. insi, l équation de la droite est y = x +. La bonne réponse est la réponse b). Corrigé... Droite Coefficient directeur Ordonnée à l origine d : y = 4x 4 d : y = 3x 3 0 d 3 : y = 0 d 4 : y = 4 x = x d 5 : y = x d 6 : y = x = x Corrigé 3... Méthode L ordonnée à l origine est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l axe des ordonnées. Pour le coefficient directeur, on choisit deux points et de la droite dont on y y peut facilement lire les coordonnées, puis on utilise la formule m =. x x

8 0 Chapitre M Droite Coefficient directeur Ordonnée à l origine d 3 d 0 3 d 3 d 4 Corrigé 4... Si E appartient à la droite d équation y = ax + b, alors on a : ye = ax + b. E a) x E + 7 = = 3 = y E donc E appartient à d : y = x + 7. b) 8,5x E = 8,5 ( ) = y E donc E n appartient pas à d : y = 8,5x. 3xE c) = = 8 = ye donc E appartient à d : y = 3 x +. d) y E 7 donc E n appartient pas à d : y = 7. x + = + = y donc E n appartient pas à d : y = 3 3 e) E 6 3 E 3 x +. f) y E = 6 donc E appartient à d : y = 6. Corrigé 5... y y 5 6 a) Le coefficient directeur est m = = = = 3. x x 5 3 Donc () a une équation de la forme y = 3x + p où p est l ordonnée à l origine. Or, appartient à () donc ses coordonnées vérifient l équation, soit : y = 3x + p, ce qui donne : 5 = p. On obtient donc p = 4. Finalement, l équation de () est : y = 3x 4. y y b) Le coefficient directeur est m = = = =. x x 9 ( ) 0 Donc () a une équation de la forme y = x + p où p est l ordonnée à l origine.

9 Les droites du plan Or, appartient à () donc ses coordonnées vérifient l équation, soit : y = x + p, ce qui donne : 3 = ( ) + p. On obtient donc p =. Finalement, l équation de () est : y = x +. c) On remarque que y = y = 4. L équation de la droite () est donc : y = 4. d) On remarque que x = x =. L équation de la droite () est donc : x =. Corrigé 6... d : y = 3,5 ; d : y = x + ; d 3 : y = x et d 4 : y = 3x (voir corrigé 3). Corrigé 7...

10 Chapitre M Corrigé 8... Corrigé 9...