II 6 Flexion simple (effet du cisaillement) II Flexion simple

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1 6 Flexion simple (effet du cisaillement) version 16 juillet Flexion simple Définition [Fre,., Chap. 9, ] Effet du cisaillement sur les pièces fléchies Moments statiques Parois minces Déformation due au cisaillement [pas de référence pour la dém.] 6-1 -

2 Flexion simple M 0 et 0 M la relation σ x reste valable car l effort tranchant perturbe peu les contraintes normales la courbure est également peu sensible à l effort tranchant l effort tranchant est la résultante des contraintes de cisaillement da A x Flexion simple Essai de flexion 3 points llustre que la déformée est peu influencée par

3 Calcul des contraintes de cisaillement théorie de Jourawski calcul de l effort rasant car réciprocité des contraintes tangentielles x x [Fre, 000, Vol. ] Effort rasant comparons les assemblages de sections carrées a x a sections 1 et max 4 a 1 3 a section 3 max 3 a( a) 3 est 4x plus rigide a 1 ( a) 6 3 est x plus résistant

4 Calcul de l effort rasant Équation d équilibre de translation horiontal (en l absence de forces de volume f x 0) ( x) (x) (n) (n) x ds + x ds + x ds + x ds 0 ' coupe S lat S (n) x ds [ σ ( x + dx) σ ( x) ] Calcul de l effort rasant ( x) ( x) ( n) ( n) x ds + x ds + x ds + x ds 0 poutre ' coupe Slat prismatique 0, x σ x x σ x x dxds + ds + AB x coupe nx ds + dλ 0 coupe nx dλdx 0 nx dλdx 0 effort rasant pas de force tangentielle en surface

5 M Supposons que σ x Or, dm σ x dx x D où, dλ AB nx valeur moenne AB nx Calcul de l effort rasant ( ) S λ nx dλ S ds ( ) (hpothèse de Bernoulli) moment statique de Σ héorie de Jourawski récapitulation des hpothèses simplificatrices f x 0 pas de force de surface tangentielle poutre prismatique Bernoulli calcul de la contrainte moenne

6 dans le cas où AB est parallèle à O Cas particulier nx x x x x ( ) S b dans le plan de coupe formule de Jourawski Centre géométrique et moment statique coordonnées du centre géométrique x S c A xda da A A où apparaissent les moments statiques x A da c da da A S xda A [Fre, 1990, Vol. 1]

7 Moment statique coordonnées du centre géométrique deviennent S xc Sx c A A conséquences le moment statique de A par rapport à un axe passant par le centre géométrique est nul le moment statique d une surface d aire S est égal au produit de l aire S par la distance de son centre géométrique à l axe moment statique calcul des contraintes Sections massives h b h S( ) bd 4 h 1 h S ( ) b + G x max x h 4 3 A

8 Application : poutre en béton armé étriers pas armatures de couture armatures secondaires armatures principales Armatures principales : traction due à la flexion Étriers : effort tranchant Armatures secondaires et de couture : fissuration Exercice suggéré : déduire de ce plan le schéma statique Rupture par cisaillement Commentaires État bidimensionnel de contraintes directions principales Directions de cisaillement max à 45 Fissures tpiques de cisaillement

9 Rupture par cisaillement Essai de flexion 3 points Rupture par flexion (contraintes normales) Rupture par cisaillement Credits: A. Hellebois (Service BAir, ULB, 010) La formule de Jourawski S( ) xn xn t donne une bonne précision pour les parois minces flux de cisaillement (N/m) Structures à parois minces Σ n f xn t S ( ) s 0 t ds [Fre, 000, Vol. ]

10 Section à parois minces ouverte Poutre prismatique à t variable xn constant ( ) S t variable xn max. lorsque S/t max. [Fre, 000, Vol. ] Autres contraintes dues à contrainte normale σ q ( ) σ ( ) b toujours négligeable contrainte tangentielle x σ x x x fx 0 x x montre que ne dépend pas de que x est linéaire en

11 Section en U t w b s t A h t w b t h/ max d b a F e t b F w t b F [Fre, 000, Vol. ] contraintes dans les ailes Section en U t w b s t h A Σ [Fre, 000, Vol. ] s h h S ( ) t ds st 0 h x s F xbt tb h 4 résultante aile inférieure 6-1 -

12 contraintes dans l âme Section en U t w h/ b t [Fre, 000, Vol. ] S ( ) x max x F w tbh + t 1 h 4 h 8 twh 1 h h + correction + négligeable bth + t 3 w bth + + w bth tw résultante âme inertie en flexion conclusion : 3 + t wh 1 F w bth + 3 bt 1 Section en U négligeable solution approchée x A w

13 Section en contraintes tangentielles wm A w wm max [Fre, 000, Vol. ] Facteurs de concentration de contraintes out changement brutal de section induit des concentrations de contraintes Principe de Saint-Venant : ces discontinuités ne sont pas correctement représentées par Jourawski On introduit des facteurs de concentration de contraintes

14 Facteurs de concentration de contraintes [Burr, 198] Facteurs de concentration de contraintes sous effort normal σ σ nom max 4P πd K σ t nom K t f ( d ) D [Burr, 198]

15 Facteurs de concentration de contraintes sous moment fléchissant σ σ nom max 3M πd K σ t nom 3 [Burr, 198] Section à parois minces fermée poutres tubulaires ou caissons la théorie de Jourawski ne s applique pas aisément car on ne dispose plus d un endroit où le flux de cisaillement a une valeur connue a priori

16 Déformation due à l effort tranchant l hpothèse de Bernoulli pas rigoureusement satisfaite γ x 1 G x avec E G 1 ( + υ) x pas uniforme les sections gauchissent hpothèse de Bernoulli généralisée