VERS LA PROPRIÉTÉ DE PYTHAGORE

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1 VERS L PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE ette propriété est attribuée à Pythagore de Samos, mathématicien grec du V ème siècle avant J.. Elle était cependant déjà connue des Égyptiens et des abyloniens. On a représenté ci-dessous quatre triangles superposables disposés de différentes façons dans deux carrés identiques. a b D D b c K J a E H G F H I F - Quelle est la nature du quadrilatère EG? Quelle est l aire de ce quadrilatère?... - Quelle est la nature des quadrilatères DJK et KIH? Quelles sont les aires de ces quadrilatères? Que représente la somme de leurs aires? - En déduire une égalité exprimée avec les nombres a,b et c :

2 L PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE - Énoncé de la propriété et applications D après l étude de la fiche préparatoire, on peut dire que : Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l angle droit est égale au carré de l hypoténuse hypoténuse Le triangle étant rectangle en, on a, d après la propriété de Pythagore : Exemples : = On suppose que chaque triangle du tableau est rectangle en : Mesures données Mesures calculées ² ² ² , ,6 si ² = 169 alors = 169 = 13 car le carré de 13 est 169 si ² = 34 alors = 34 5, On emploie la touche «racine carrée» Remarque : es calculs ne conduisent pas souvent à des valeurs exactes ; il faudra donc se contenter de valeurs arrondies. Exercice : Un triangle est rectangle en. On sait que : = 7 cm et que = 9 cm. alculer. On écrit la propriété de Pythagore : 7 Le schéma est à l échelle 1/2 9

3 = 7² + ² = 9² 49 + ² = 81 ² = ² = 32 = 32 5, 66 Propriété importante : Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est son hypoténuse. ' Le triangle est rectangle en est le symétrique de par rapport à la droite () = et = (la symétrie conserve les distances) ' < + ' (d après l inégalité triangulaire appliquée au triangle ) 2 < 2 (en utilisant les remarques précédentes) Donc : < En procédant de la même façon (symétrie par rapport à la droite ()), on démontre aussi que : < La propriété de Pythagore permet aussi d établir cette règle : ² + ² = ² puisque ², nombre positif, est ajouté à ² pour trouver ² ² < ² et ² < ² Par conséquent (les nombres étant tous positifs) : < et < - Réciproque de la propriété de Pythagore Exemple : On donne un triangle tel que : = 7,4 cm = 2,4 cm = 7 cm. Que peut-on dire du triangle? 2,4 cm 7 cm 7,4 cm e triangle semble rectangle en On remarque que : ² + ² = 2,4² + 7² = 5, = 54,76 et que : ² = 7,4² =54,76 Pour ce triangle on a bien : ² + ² = ²

4 Propriété réciproque (propriété admise) Si le carré du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,alors ce triangle est rectangle. Exercice : Un triangle dont les côtés mesurent 3 m, 4 m et 5 m est-il rectangle? Le carré de son plus grand côté est : 5² = 25 La somme des carrés de ses deux autres côtés est : 3² + 4² = = 25 5² = 3² + 4² 4 m 5 m D après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle est rectangle ; son hypoténuse mesure 5 m. e triangle nommé «3,4,5» est utilisé par les maçons pour vérifier qu un mur «part» bien à angle droit. 3 m - pplications alcul de distances sur un quadrillage E M F Le triangle MNP est-il rectangle? En utilisant les triangles rectangles MNE, MPF et NPG, on obtient, d après la propriété de Pythagore : N G P MN² = NE² + ME² = 2² + 4² = = 20 MP² = MF² + PF² = 2² + 4² = = 20 NP² = NG² + PG² = 2² + 6² = = 40 On constate que : MN² + MP² = = 40= NP² D après la réciproque de la propriété de Pythagore : Le triangle MNP est rectangle en M. alcul de distances dans l espace H G DEFGH est un cube dont l arête mesure 4 cm. Il s agit de calculer la longueur de sa grande diagonale H. E F Le triangle D est rectangle en (demi-carré) ; On a, d après la propriété de Pythagore : D² = ² + D² = 4² + 4² = = 32 D Le triangle HD est rectangle en D (la droite (HD) est perpendiculaire au plan D donc à toute droite de ce plan, en particulier à la droite (D)). On a, d après la propriété de Pythagore et d après le calcul précédent : H² = D² + DH² = ² = = 48 H = 48 6,9 cm Remarque : H² = ² + D² + DH² = ² + ² + ² = 3²

5 PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE - Le triangle étant rectangle en, complète le tableau ci-dessous : remarque : il conviendra parfois d écrire des valeurs arrondies (à 0,01 près) ² ² ² Égalité utilisée : - Le triangle est, cette fois, rectangle en : ² ² ² Égalité utilisée : - Le triangle est-il rectangle? Si oui, précise le sommet de l angle droit. ² ² ² réponse ,1 22,5 25, ,02 1,98 0,4 22,1 22 2,2

6 Devoir 1 - a) onstruis le triangle tel que : H = 6 cm ; H = 9 cm ; H = 4 cm. b) alcule et. c) Le triangle est-il rectangle? Justifie la réponse. suivi - Lors d une course en forêt, pour aller de à, Étienne a les chemins perpendiculaires [] puis []. Le premier chemin mesure 390 mètres et le second 520 mètres. Pour arriver plus vite en, Nicolas a préféré couper à travers bois; il a donc approximativement suivi le chemin []. a) Quelle est la distance totale parcourue par Étienne? b) Quelle est la distance minimum parcourue par Nicolas? c) Sachant qu ils ont mis chacun 5 minutes, quelle est leur vitesse respective? Tu exprimeras d'abord la durée en fraction d'heure et tu calculeras la vitesse en divisant la distance parcourue (en km) par la durée (en h); tu obtiendras ainsi la vitesse en km/h.

7 Devoir 2 - onstruis un triangle équilatéral de 9 cm de côté. a) alculessa hauteur (à 0,1 cm près). b) Déduis-en son aire. - Un triangle dont les côtés mesurent (en mètres): 2 3 ; 1 ; est-il un triangle rectangle? On considère un triangle équilatéral dont la hauteur [H] mesure 6 cm. a) Explique pourquoi H = 30. b) onstruis le triangle H puis le triangle. c) Démontre que: = 2H. d) On pose: H = x. Exprimes en fonction de x. Explique, après avoir utilisé la propriété de Pythagore dans le triangle H, que: 3x 2 = 36. e) alcules x à 0,1 cm près et déduis-en le côté du triangle.

8 Devoir 3 - Un triangle tel que: = 60 cm; = 109 cm; = 91 cm, est-il un triangle rectangle? - Les dimensions d'une armoire sont : sa largeur: = 1,40 m sa hauteur: E = 2,30 m sa profondeur: D = 0,80 m. ette armoire est posée sur le sol dans les deux positions représentées ci-dessous. Il s'agit de la relever, comme l'indiquent les flèches, sans toucher le plafond. Le plafond est à 2,45 m du sol. a) Si l'armoire est posée sur le flanc GH, est-il possible de la relever? (tu calculeras H). b) Si l'armoire est posée sur le fond HE, est-il alors possible de la redresser? (tu calculeras ED). - Un jeune enfant essaie de faire pénétrer un cube de 5 cm d'arête dans un trou cylindrique de 7 cm de diamètre. Peut-il réussir?

9 Recherche de nombres Pythagoriciens 1) hoisis un nombre impair i. 2) alcule son carré i². 3) Trouve les deux nombres entiers consécutifs dont la somme est égale à i². On appellera p et p+1 ces deux nombres. 4) Que peux-tu dire d un triangle dont les côtés mesurent : i ; p ; p+1? Fais une dizaine d essais... La démonstration se fera plus tard Tu peux présenter tes calculs dans un tableau Problème de tunnel Un tunnel a la forme d un demi cylindre de 4 mètres de rayon. Un camion de 3,2 m de large et de 3,7 m de haut peut-il pénétrer dans ce tunnel? Fais un schéma précis de l entrée du tunnel et un gabarit du camion.. (Tu pourrsa choisir l échelle 1/100). Justifie la réponse par le calcul.

10 Exercices de recherche - omment disposer la corde à treize nœuds pour former un triangle rectangle? Pense à la vérification du maçon avec son triangle «3,4,5. - alcul de la «flèche» Une corde est tendue entre deux points et. Une autre corde, plus longue de 1 mètre, est fixée par ses extrémités en et ; elle est tendue verticalement par son milieu I. I H alcule cette flèche IH dans les deux cas suivants : = 10 m = 100 m Que remarques-tu? urais-tu supposé ce résultat? - Une marque de cotons tiges présente ses échantillons dans une boîte cylindrique de 4 cm de rayon et de 7 cm de hauteur. Les cotons tiges peuvent-ils mesurer 10 cm? - est un triangle rectangle en tel que : = 4 cm c = 3 cm. S 1, S 2 et S 3 sont les aires respectives des trois demi-disques de diamètres [], [] et []. Démontre que : S1 = S2 + S 3 S 1 S 3 S 2

11 VERS L PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE ette propriété est attribuée à Pythagore de Samos, mathématicien grec du V ème siècle avant J.. Elle était cependant déjà connue des Égyptiens et des abyloniens. On a représenté ci-dessous quatre triangles superposables disposés de différentes façons dans deux carrés identiques. a b D D b c K J a E H G F H I F - Quelle est la nature du quadrilatère EG? Le quadrilatère EG est un carré : c est d abord un losange car ses quatre côtés ont la même longueur c. Il a aussi un angle droit : G = ED = = = 90 ( ) ( ) On a utilisé la propriété des angles du triangle rectangle : les angles non droits sont complémentaires. Quelle est l aire de ce quadrilatère? Son aire est = c Quelle est la nature des quadrilatères DJK et KIH? DJK et KIH sont des carrés de côtés a etb Quelles sont les aires de ces quadrilatères? aire(djk) = D = b aire(kih) = H = a Que représente la somme de leurs aires? La somme de leurs aires correspond à l aire du carré EG. omme EG, ils complètent les quatre triangles superposables pour former le grand carré DFH. - En déduire une égalité exprimée avec les nombres a,b et c : a + b = c

12 orrigé PROPRIÉTÉ DE PYTHGORE - Le triangle étant rectangle en, complète le tableau ci-dessous : remarque : il conviendra parfois d écrire des valeurs arrondies (à 0,01 près) ² ² ² , Égalité utilisée : = , , Le triangle est, cette fois, rectangle en : ² ² ² , Égalité utilisée : = , , Le triangle est-il rectangle? Si oui, précise le sommet de l angle droit. ² ² ² réponse Non : Oui en : = ,1 22,5 25,5 146,41 506,25 650,25 Non : 146, ,25 650, Oui, en : = ,02 1,98 0,4 4,0804 3,9204 0,16 Oui, en : 3, ,16 = 4, ,1 22 2,2 488, ,84 Non : ,84 488,41