1. Pourcentages et indices

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1 1. Pourcentages et indices Eercice 1 : Activité 6 944, , ,15 150% -43,5% 3200

2 1.1 Proportionnalité 1. Pourcentages et indices y eemple 1 : D 1 A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70) ,5 70 = = = = = eemple 2 : = 3,5 A et B sont proportionnelles Liste X 28 Liste 2 15 Y X = ,5 6 = 14,8 Y = = O 4 20 D 2

3 1.2 Indices 1. Pourcentages et indices Pri 1,84 2,12 1,53 indice ,17 831,52

4 1. Pourcentages et indices 1.3 Tau et pourcentages Tau et pourcentage : comparer v et V tau: t v = pourcentage: V v p = 100 V Eemple : v= 20 et V= 25 Tau : t= 0,8 Pourcentage : p= 80 symbole %: /100 Tau : t= 0,8 = 80/100 = 80%

5 1.3 Tau et pourcentages 1. Pourcentages et indices Pourcentage de variation et proportion valeur pourcentage valeur initiale (référence) variation var= = -14 valeur finale 21 60

6 1.3 Tau et pourcentages 1. Pourcentages et indices Pourcentage de variation et coefficient multiplicateur 19,6% 10% Eemple 1 248,5 297,21 267,49 1,196 0,9 5,5% 15% Eemple 2 79,45 83,82 71,25 1,055 0,85 1,055 0,85

7 1. Pourcentages et indices 1.3 Tau et pourcentages Variations successives et tau moyen 25% c 3 = 1,25 200% 45,83% 71,43% c = 1,25 1/3 3 1,4583 0,2857 1, ,25 c c c

8 2. Mathématiques financières Principe intérêts i n capital prêté ou placé C 0 valeur remboursée ou acquise C n 0 n temps i n augmente avec C 0 et avec n

9 2. Mathématiques financières 2.2 Intérêts simples tau d intérêts annuel: t i 1 i 3 i 2 C 3 i 1 = t C 0 = C 0.t i n i 2 = 2 i 1 = 2C 0.t i 3 = 3 i 1 = 3C 0.t C n C 0 C 1 C 2 i n = C 0.n.t n temps C n = C 0 i n = C 0.(1 n.t)

10 2. Mathématiques financières 2.3 Intérêts composés tau d intérêts annuel: t C 0 i 1 C 1 C2 i 3 i 2 C 3 i n C n C 1 = C 0 t C 0 = C 0.(1t) C 2 = C 1 t C 1 = C 0.(1t)² C 3 = C 2 t C 2 = C 0.(1t) 3 C n = C 0.(1 t) n n temps i n = C n -C 0 = C 0.[(1t) n 1]

11 2.3 Intérêts composés 2. Mathématiques financières tau d intérêts annuel: t= 20% = 0,2 C n = C 0.(1 t) n au bout d un an : C 1 = C 0.(1,2) 1 = 1,2.C 0 au bout de 5 ans : C 5 = C 0.(1,2) 5 = 2,4883.C 0 n s eprimera en années au bout de 6 mois : C = C 0.(1,2) 0,5 = 1,09545.C 0 au bout d un mois : C = C 0.(1,2) 1/12 = 1,01531.C 0 au bout de 55 jours : C = C 0.(1,2) 55/360 = 1,02825.C 0

12 2. Mathématiques financières 2.3 Intérêts composés C n = C 0.(1 t) n E 26 -tau équivalents Au bout de 8 ans, au tau annuel de 5% : C 8 = 1000 (1,05) 8 = 1477,46 Au bout de 6 ans, au tau annuel de 5% : C 6 = 1000 (1 t) 6 = 1477,46 donc (1 t) 6 = 1477,46 1 t = 1477,46 1/6 1,06722 t = 6,722 %

13 2. Mathématiques financières 2.3 Intérêts composés C n = C 0.(1 t) n tau annuel : 8 % 1500 E 27 - capitau équivalents , , , , en combien de temps 3200 placés deviennent-ils 4050,64? C n = C 0.(1t) n devient ici : 4050,64 = ,08 n soit1,08 n 1,2658 n = ln(1,2658) / ln(1,08) 3,0629 ans

14 2. Mathématiques financières 2.4 Les emprunts indivis E 28 - amortissement constant tau d intérêts annuel : t= 5% = 0,05 n = 5 ans Années Capital restant dû (début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement Capital restant dû (fin de période) N N 1 N 2 N 3 N amortissement annuel = / 5 = 20000

15 2. Mathématiques financières 2.4 Les emprunts indivis E 29 - annuités constantes tau d intérêts annuel : t= 5% = 0,05 n = 5 ans Années Capital restant dû (début de période) Amortissement Intérêts Annuités de remboursement Capital restant dû (fin de période) N N 1 N 2 N 3 N , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40 annuité : t a = C0 = 23097, 48 n 1 1 t ( )

16 2. Mathématiques financières 2.4 Les emprunts indivis E 30 : mensualités constantes tau d intérêts annuel : t= 6,55% n = 3 ans = 36 mois C 0 = 8000 coef. annuel : 1,0655 coef. mensuel : 1,0655 1/12 = 1, (0,5301%) t a. mensualité: m = C0 = 244, 69 n coût prêt : 36m-C 1 ( 1 t ) 0 = 808,73 b. tableau d amortissement : Mois Capital restant dû (début de mois) Amortissement Intérêts Mensualités de remboursement Capital restant dû (fin de mois) M M 1 M 2 M ,28 42,41 244, , ,72 203,35 41,34 244, , ,37 204,43 40,26 244, , ,94 205,51 39,17 244, , , ,73

17 2. Mathématiques financières 2.4 Les emprunts indivis tau d intérêts annuel : t= 6,55% E 30 : mensualités constantes n = 3 ans = 36 mois C 0 = 8000 coef. annuel : 1,0655 coef. mensuel : 1,0655 1/12 = 1, (0,5301%) c. Sur 3 ans : C 3 = C 0.1, = 9677,21 Sur 4 ans, il faudrait : C 4 = 9677,21, c est à dire C 0.(1 t) 4 = 9677,21 d où 1 t = 1,04873, donc un tau annuel de 4,873% d. Au tau annuel de 8,55% : coef. mensuel : 1,0855 1/12 = 1, (0,6860%) t Sur 4 ans, 48 mois, la mensualité devient : m = C0 = 196, 18 n 1 1 t ( )

18 D :y = ab 3. Premier degré y pente ordonnée à l origine y 1 y 2 y D 1 : y = -4 D 2 : y = -2 5 D 3 : y = 0,5-1 1 O 1 D 3 D 2 D 1

19 Identification y = 4 4 2y = 10 ( E1 ) ( E ) 3. Premier degré 2 (-1) 2 y = 4 2 y = 5 y formes réduites y = 4 y = 2 5 id id -4 = O D 1 2 = 4 5 3= 9 = 3 y= -1 D 2

20 Substitution y = 4 4 2y = 10 ( E1 ) ( E ) 3. Premier degré 2 choi : = y 4 4 2y = 10 y substitution dans (E 2 ) 4(y 4) 2y= 10 4y 16 2y= 10 6y= -6 y= -1 = 3 1 D 1 O D 2

21 3. Premier degré Combinaison linéaire déf: CL de A et B : paqb, p et q réels autorisé dans un système: remplacer une équation A par une CL de A et d autres. utile dans un système: créer une CL qui simplifie une équation. y = 4 4 2y = 10 ( E1 ) ( E ) 2 = y 4 = 3 choi : conserver choi : remplacer par E 2 2E 1 (simplification : élimination de y) y 4 = 3 = 3 = y 4 6 = 18 y= -1 = 3

22 3. Premier degré Pivot de Gauss (version simplifiée) objectif: rendre le système triangulaire 4y z = 5 2 5y 3z = 18 3 y z = 10 E 2-2E 1 E 3-3E 1 4y z = 5 13y 5z = 28 13y 4z = 25 E 3 E 2 4y z = 5 13y 5z = 28 z = 3 solution: remonter les équations pour obtenir z, puis y, puis 4y = 5 13y 5 3 = 28 z= 3 3 ( ) = 5 y= -1 z= 3 = 2 y= -1 z= 3

23 Eercice Premier degré 1. Résolution par une équation unique a. 1 ère partie de l année : dépense totale = d 1 = 180 b. 2 ème partie de l année : dépense totale = d 2 = 400(52 ) c (52 ) = d = = = 6800 = 6800/220 = 30,91 semaines

24 Eercice Premier degré 2. Résolution par un système représentation graphique y a. y 1 = 180 b. y 2 = 400 b c. et = b, donc b = ( 1 ) ( ) y = 180 E y = E D 2 D 1 180= = 6800/220 = 30,91 semaines ,91 50

25 4. Programmation linéaire TD4.1 (eercice 54) : Système de contraintes a. Variables : : nombre de lots de bouteilles d 1,5 litre y: nombre de lots de bouteilles de 0,5 litre b. Contraintes : Temps maimal passé dans chaque atelier c. Temps atelier 1 : d. Temps atelier 2 : Temps atelier 3 : 3 y 3 2y 2y atelier 1 atelier 2 atelier 3 1,5 L 3 h 3 h 1 h 0,5 L 1 h 2 h 2 h e. Système de contraintes : 3 y y 88 2y 76 y y y y 3 68 y 1, 5 44 y 0, 5 38 REDUCTION

26 Régionnement du plan 4. Programmation linéaire y Choisissons l équation d une droite : D: y= 0,5-1 D: ensemble des points du plan dont les coordonnées et yvérifient la condition ci-dessus. Quel est l ensemble des points du plan dont les coordonnées et yvérifient la condition y 0,5 1? Tous les points dont l ordonnée est inférieure à celle calculée pour la droite D, donc tous les points en-dessous de la droite D. 1 O 1 OK D

27 4. Programmation linéaire TD4.2 (eercice 55) : Polygone des contraintes y 3 68 y 1, 5 44 y 0, 5 38 O= (0 ; 0) a. Graphique : b. Coordonnées : A= D 3 (Oy) = (0 ; 38) D 1 : y= D 2 : y= -1,5 44 D 3 : y= -0,5 38 y 1 y 2 y B= D 2 D 3 : -1,5 44 = -0,5 38 : (6 ; 35) C= D 1 D 2 : -1,5 44 = : (16 ; 20) D= D 1 (O): = 0 : (22,67 ; 0) c. = 5 et y= 15 : point E d. = 20 et y= 20 : point F A 10 y O 10 O E B C F D 1 D D 2 D 3 30

28 4. Programmation linéaire TD4.3 (eercice 56) : Droites d iso-profit a. C(5, 15) = = 850 C(20, 20) = = 2200 b.c= 80 30y y= -8/3. C/30 c. D 1200 : y= -8/3. 40 ; D 2400 : y= -8/ A y B d : oui ; 2400 : non e. Cmai C/30mai D C la plus haute f. Unique point commun entre D C et la zone des contraintes : le pointc(16 ; 20). Il faut produire 16 lots de bouteilles d 1,5 L 10 C D 3 et20 lots de bouteilles de 0,5 L. Chiffre d affaires maimal correspondant : C= = 1880 O 10 O D 1 D D 2 30

29 Autres pri de vente 4. Programmation linéaire y g. C= 60 50y Eemple : D 1500 : y= -1,2 30 D C : y= -1,2. C/50 40 A B Cmai C/50mai D C la plus haute La droite la plus haute et toujours en contact avec la zone des contraintes est celle qui contient le point B(6 ; 35)(droite D C en trait double, rouge, sur le graphique). C D 3 Il faut produire 6 lots de bouteilles d 1,5 L 10 et35 lots de bouteilles de 0,5 L. Chiffre d affaires maimal correspondant : C= = 2110 O 10 O D 1 D D 2 30

30 4. Programmation linéaire Eercice 58: Système de contraintes a. Variables : : nombre de lots A y: nombre de lots B b. Contraintes : Nombre minimal de chaque type de fleurs c. Nombre jacinthes : d. Nombre tulipes : Nombre narcisses : 30 10y 40 40y 30 50y jacinthes Tulipes Narcisses A B e. Système de contraintes : 30 10y y y y y y y y 80 y 0, 6 60 REDUCTION

31 4. Programmation linéaire Eercice 58: Polygone des contraintes y y y 80 y 0, 6 60 a. Graphique : D 1 : y= D 2 : y= - 80 D 3 : y= -0,6 60 y 1 y 2 y b. Coordonnées : On attendra de connaître le point le plus intéressant O 20 D 1 D 2 D 1 D D 3

32 TC Mathématiques S1 P() = a b c 5. Polynômes du 2 d degré ordonnée à l origine y C P Q() = a = -1 b c menu Table Y1=2X²-4X-5 RANG : choi TABLE : tableau touche Y= ou f() Y1=2X²-4X-5 TblSet : choi Table : tableau 2 O 1 P() Q() C Q

33 TC Mathématiques S1 5. Polynômes du 2 d degré y a > 0 : S C P a < 0 : S S abscisse du sommet : S b = 2a P() = a = 2 ; b = -4 ; c = -5 Q() = a = -1 ; b = 4 ; c = 1 2 O 1 S C Q

34 TC Mathématiques S1 5. Polynômes du 2 d degré Equation du second degré : a 2 b c = 0 On recherche, s ils eistent, les points d intersection de la parabole avec l ae (O). Méthode : Calcul du discriminant = b 2 4ac Si < 0: l équation n admet pas de solution Si 0: l équation admet deu solutions : = b ± 2a Récapitulatif : a < 0 : a > 0 : > 0 = 0 < 0 < 0 = 0 > 0 P() = a 2 b c est du signe de a pour tout réel, sauf si est pris entre les racines (si elles eistent)

35 TC Mathématiques S1 5. Polynômes du 2 d degré Equation du second degré : a 2 b c = 0 eemples précédents : P() = a = 2 ; b = -4 ; c = -5 = (-4) (-5) = = 56 > 0 donc P() admet deu racines : b ± ± = = ,871 2a ,871 Q() = a = -1 ; b = 4 ; c = 1 = (-1) 1 = 16 4 = 20 > 0 donc Q() admet deu racines : b ± 4 ± 20-0,236 = = 2a 2-4,236 2 y S O 1 S C P C Q

36 TC Mathématiques S1 Eercice 60 Cp() CA() B() 5. Polynômes du 2 d degré Coût de production : Cp() = Variable : = quantité produite Pri unitaire de vente : Pu() = Fonction objectif : le bénéfice B() =? 2 B()= CA() Cp()= 20 ( ) = -0, y Question B() > 0? racines? = 100 racines : 200 et 1200 Question 2 B() maimal? -b/2a = 700 et B(700) =

37 TC Mathématiques S1 6.1 Nombre dérivé f : f ( ) 6. Etudes de fonctions fonction nombre dépendance, relation nombre epression de f : formule pour calculer f() à partir de eemple : f ( ) = 4 1 courbe de f : ensemble des points (, f()) 0 0,2 0,5 0,9 f() tau de variation de f : y f ( )

38 TC Mathématiques S1 6.1 Nombre dérivé Eemple : parcours d un bus O y (km) A 6. Etudes de fonctions B C C V C =? t (min) V OA = 7 10 V AB = 0 8 V BC = 9 17 V BC = 3 10 V C C = 6 7 = 0,7 km/min = 0 km/min = 0,5294 km/min = 0,3 km/min = 0,8571 km/min

39 TC Mathématiques S1 6.1 Nombre dérivé Eemple : parcours d un bus O y (km) A 6. Etudes de fonctions B C C t (min) vitesse instantanée en C y = f() V C = f (28) nombre dérivé de f en C

40 TC Mathématiques S1 6.1 Nombre dérivé f (a) : «pente de la courbe» pente de la tangente à la courbe en A f (a) = lim a 6. Etudes de fonctions y y M M y M y M y A y y y a

41 TC Mathématiques S1 6.1 Nombre dérivé 6. Etudes de fonctions f (a) = lim a f() f(a) -a

42 TC Mathématiques S1 6.2 Fonction dérivée f () > 0 6. Etudes de fonctions Sur un intervalle I, f () < 0 [Dérivée = pente de la courbe] f () = 0 I I I

43 TC Mathématiques S1 6.2 Fonction dérivée 6. Etudes de fonctions [Dérivée = pente de la courbe] Sur un intervalle I, f () 0 sauf en a à l intérieur de I : < a : f () < 0 > a : f () > 0 < a : f () > 0 > a : f () < 0 < a : f () > 0 > a : f () > 0 a I a I a I

44 TC Mathématiques S1 6.2 Fonction dérivée k α f f 6. Etudes de fonctions 0 α. α - 1 Dérivées de fonctions usuelles f f ln e

45 TC Mathématiques S1 6.2 Fonction dérivée f f u k k.u u v u.v 1 v u v u v 6. Etudes de fonctions u k.u u v u.v u.v -v v 2 u.v -u.v v 2 v (u v) Opérations sur les dérivées

46 TC Mathématiques S1 6. Etudes de fonctions Eercice 67 : Fonctions d offre et de demande offre : f() = 0,25² 40 demande : g() = a. f () = 0,5 1 g () = ( 2 5) 2

47 TC Mathématiques S1 6. Etudes de fonctions Eercice 68 : Coût marginal et coût moyen 1 Coût marginal ( ), 3 2 C q = 0 02q 3q 200q 5000 q C(q) ( ), 2 C q = 0 06q 6q 200 q C (q) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) C 50 = C 51 C 50 = 10050, = 50, 02 m C 50 = 0, = 50 C 150 = C 151 C 150 = 35656, = 656, 02 m C 150 = 0, = 650

48 TC Mathématiques S1 6. Etudes de fonctions Eercice 68 : Coût marginal et coût moyen 2 Coût moyen CM ( q) = 0, 02q 3q 200 q q C M (q) *** ,3 150,5 147, ,7 207,7 263,3 A

49 TC Mathématiques S1 6. Etudes de fonctions Eercice 68 : Coût marginal et coût moyen 2 Coût moyen q C M (q) *** ,3 150,5 147, ,7 207,7 263, CM ( q) = 0, 02q 3q 200 q