VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS. Deux méthodes de recherche sont proposées :

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1 VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS Construction d une table de multiplication : Deux méthodes de recherche sont proposées : Complète la table de multiplication ci-dessous en commençant par les produits des nombres positifs, qui sont assimilés à des nombres naturels,( + est égal à ) puis en recherchant une logique permettant de trouver les autres produits Utilisation de la distributivité de la multiplication sur l'addition: On sait déjà que les nombres relatifs positifs se comportent comme les nombres naturels On suppose que la multiplication des nombres relatifs est distributive sur l addition et sur la soustraction. Exprime de deux façons différentes les produits suivants et conclus: ( + ) [( 9) + ( + 9) ] ( + ) [( 9) + ( + 9) ] donc: ( + ) ( 9) ( 9) ( ) ( ) + + ( 9) ( ) ( ) + +. donc: ( 9) ( )

2 LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS - Règle de calcul du produit de deux nombres relatifs Dans tous les cas, pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs parties numériques. Si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif Si les deux nombres sont de signes contraires, le produit est négatif. ( + ) ( + ) ( + ) comme : ( ) ( ) ( + ) s écrit plus simplement : ( ) ( ) ( + ) ( ) s écrit plus simplement : ( + ) ( ) ( ) s écrit plus simplement : ( ) Exemples avec des écritures fractionnaires : Propriétés de la multiplication des nombres relatifs a) Signe d un produit de plusieurs facteurs ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 0 ( ) 90 (trois facteurs négatifs) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 60 ( ) 80 (quatre facteurs négatifs) Règle : Le produit est positif s il contient un nombre pair de facteurs négatifs Le produit est négatif s il contient un nombre impair de facteurs négatifs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou : b) Multiplication par (-) ( ) - est l opposé de ( ) est l opposé de - ou :

3 Règle : Quand on multiplie un nombre relatif par -, on obtient son opposé. c) Inverse d un nombre non nul Définition : Deux nombres sont inverses l un de l autre lorsque leur produit est égal à + et sont inverses l un de l autre. et sont inverses l un de l autre. Remarque : Deux nombres inverses l un de l autre sont de même signe. L inverse d un nombre positif est un nombre positif L inverse d un nombre négatif est un nombre négatif. - La division des nombres relatifs a) Recherche : Diviser par revient à multiplier par l inverse de : Diviser par (-) revient donc à multiplier par l inverse de (-) : Diviser (-) par revient à multiplier (-) par l inverse de : Diviser (-) par (-) revient à multiplier (-) par l inverse de (-) : + b) Règle : Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse Le quotient de deux nombres de même signe est positif Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif c) Applications : +

4 d) Équation de la forme ax b L équation ax b a une solution et une seule : b x (dans le cas où b n est pas égal à 0) a x x x x 0 x x x x x x 9 x x x x + x 6 Remarque : On peut faire les vérifications : Par exemple, pour la première équation : 0 0 +

5 Exercices MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS - Calcule :, ( ) ( 0, ) 00, ( 0, ) ( ) ( ) ( 8) ( ) ( ) (, ), ( ) ( 6) ( ) 6 ( ) 0 ( 08),,,, , ( ² ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Calcule : ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )

6 Exercices DIVISION DES NOMBRES RELATIFS - Dans chacun des cas suivants, calcule la valeur de x: x x 8 9x 8 x x x 9 x - Écris chaque quotient sous la forme d'un nombre relatif dont la partie numérique est une fraction de dénominateur 8: ,6 6 +,, Ordonne les quotients obtenus:. - Même exercice avec le dénominateur commun 6:,, 8, 0, 9 0,,6, 6. - Ordonne les nombres suivants, après les avoir écrits avec le même dénominateur: ; ; 00...

7 Devoir - Écris les nombres suivants sous leur forme la plus simple (nombre entier, nombre à virgule ou, à défaut, fraction irréductible) : ( 0) ; ; ; ; ; Résous les équations suivantes :(les solutions seront écrites sous leur forme la plus simple) x 8 - x x 6 x - On considère les nombres et (-). Calcule : la somme de leurs inverses, l inverse de leur somme, le produit de leurs inverses, l inverse de leur produit.

8 VERS LA MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS Construction d une table de multiplication : Deux méthodes de recherche sont proposées : Complète la table de multiplication ci-dessous en commençant par les produits des nombres positifs, qui sont assimilés à des nombres naturels,( + est égal à ) puis en recherchant une logique permettant de trouver les autres produits Utilisation de la distributivité de la multiplication sur l'addition: On sait déjà que les nombres relatifs positifs se comportent comme les nombres naturels On suppose que la multiplication des nombres relatifs est distributive sur l addition et sur la soustraction. Exprime de deux façons différentes les produits suivants et conclus: [ )] ( ) 0 [ ] ( ) ( 9) ( ) ( 9) ( ( + ) ( 9) + ( ( + ) ( 9) + ( + 9) ) ( 9) + 9 ( + ) ( 9) + 6 donc: ( + ) ( 9) 6 car : ( + ) ( 9) ( 9) ( + ) + ( ) ( 9) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( 9) ( + ) + ( 9) ( ) 6 ( ) ( ) donc: ( 9) ( ) + 6 car : 6 + ( 9) ( ) 0

9 Exercices MULTIPLICATION DES NOMBRES RELATIFS - Calcule : ( ). ( ),, 0, 0, 0 0, ( 0, ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),, 6,,, 6 6, 6 90 ( ) ( ) ( ),,, 6 0, 0,8, 6 0, 0, 6, ( ² ) +. ( ) 8 ( ) + 6 ( ) ( ) 6 + 6, ( ) ( ) 9 - Calcule : ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 0, 0 6 ( )

10 Exercices DIVISION DES NOMBRES RELATIFS - Dans chacun des cas suivants, calcule la valeur de x: x x x 8 x 9x 8 x car x est négatif et sa partie numérique est 8 car x est négatif et sa partie numérique est car x est positif et sa partie numérique est x x - car x est négatif et sa partie numérique est x x x x 9 x x Écris chaque quotient sous la forme d'un nombre relatif dont la partie numérique est une fraction de dénominateur 8: , 6, ,, 0 8 8,,, Ordonne les quotients obtenus: 0 0 < < < < < Même exercice avec le dénominateur commun 6: ,, 0, 0,,, 8,8 6,6, 6 6,, 60,, + + 0, 0, , 60 < < < < < Ordonne les nombres suivants, après les avoir écrits avec le même dénominateur: ; ; < < donc : < < 00