I Exercices sur les systèmes de numération anciens

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1 I Exercices sur les systèmes de numération anciens

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3 II Exercices sur le système de numération décimale Exercice 1 Un nombre a 3 chiffres est 26 fois plus grand que le nombre à 2 chiffres formé en enlevant le chiffre des centaines. Trouver ce nombre. Combien existe-t-il de solutions? Exercice 2 Le but de cet exercice est de déterminer un nombre entier N. Ce nombre s écrit avec 4 chiffres, il est supérieur à 7000, il est multiple de 45, il est impair, et le chiffre des milliers est le double de celui des centaines. Quel est ce nombre? Exercice 3 On cherche à déterminer un nombre de trois chiffres dont la somme est 16. Si l on intervertit le chiffre des centaines et celui des dizaines, le nombre augmente de 450 et si l on intervertit le chiffre des centaines et celui des unités il augmente de 198. Déterminer ce nombre. Exercice 4 Un nombre à trois chiffres a 4 pour chiffre des centaines. Ce nombre est 26 fois plus grand que le nombre a deux chiffres obtenu en enlevant le chiffre des centaines. Trouver ce nombre. Exercice 5 On cherche un nombre de trois chiffres, multiple de 9 et dont le quotient dans la division euclidienne par 21 est 33. Déterminer le (ou les) nombre(s) solution(s). Exercice 6 Les nombres 2882 et sont des palindromes (cela signifie qu en les lisant de gauche à droite ou de droite à gauche, on a le même nombre). Trouver tous les palindromes ayant quatre chiffres et qui sont divisibles par 9. Exercice 7 Le but de l exercice est de trouver une règle de calcul mental qui permette de calculer le produit de deux nombres entiers naturels strictement inférieurs à 100 tels que : - leur chiffre des dizaines soit le même ; - la somme de leurs chiffres des unités soit Enoncer cette règle et la prouver. 2- L appliquer à deux exemples. Exercice 8 1- Voici deux propositions concernant des nombres donnés en écriture décimale. Dire, pour chacune d elles, si elle est vraie ou fausse et justifier. - Proposition A : si l écriture d un nombre entier se termine par 2 alors l écriture du carré de ce nombre se termine par 4. - Proposition B : si l écriture d un nombre entier se termine par 4 alors l écriture du carré de ce nombre se termine par L écriture d un nombre entier n est de la forme : a5 où a est le chiffre des dizaines, différent de zéro. a) Démontrer que n² s écrit avec quatre chiffres au plus. b) Démontrer que l écriture de n² se termine par 25 et que le nombre de centaines de n² est égal à : a(a+1).

4 III Exercices sur les bases Exercice 1 On dispose de 26 paquets de 5 objets et de 3 objets restants. 1) Comment s écrit en base 5 le nombre d objets de cette collection? 2) Si on organisait cette collection en paquets de dix, comment s écrirait ce nombre? 3) quel nombre de notre système de numération s écrit en base cinq. 4) Donner tous les nombres de la forme c a0 5 5) Quel est le nombre qui précède et celui qui suit Exercice 2 Comment s écrivent 13,17 et 22 en base deux? Exercice 3 Tous les raisonnements et calculs devront être clairement explicités. 1. Trouver.1'écriture chiffrée du nombre en base trois. 2. Trouver l écriture de ce même nombre en base neuf. 3. Trouver récriture chiffrée du nombre 5x (5 x (5 x (5 + 4) + 3) + 2) +l en base cinq. 4. Pour écrire un nombre dans la base seize; on utilise les chiffres : AB C D E et F. Trouver l écriture chiffrée du nombre (4 3-1) x ( ) en base seize. Exercice 4 Le plus grand des nombres qui s'écrivent en base dix avec deux chiffres est Quelle est l'écriture en base dix du plus grand des nombres qui s'écrivent en base huit avec deux chiffres? 2- Quelle est l'écriture en base dix du plus grand des nombres qui s'écrivent en base douze avec deux chiffres? 3- Si n est un entier naturel strictement supérieur à 1, le plus grand des nombres qui s'écrivent en base n avec un seul chiffre est le nombre (n-1). a) Quelle est l écriture en base dix du plus grand des nombres qui s écrit en base n avec deux chiffres? b) Quel est le plus petit entier n pour lequel le nombre 224 (écrit en base dix) s'écrira en base n avec deux chiffres? Exercice 5 La numération sexagésimale (base soixante) exigerait l utilisation de soixante chiffres distincts! En pratique on décide d écrire chacun de ces chiffres en utilisant le codage en base dix du nombre qu il représente, en l écrivant entre parenthèses. Par exemple, (2) (19) (51) est l écriture sexagésimale du nombre qui s écrit 8391 en base dix ; en effet : 8391 = 2x x ) Ecrire en base dix le nombre qui s écrit (3) (0) (17) (48) 2) Trouver l écriture sexagésimale du nombre qui s écrit en base dix. 3) Soit N un nombre entier naturel dont l écriture sexagésimale est (ab) (ba), a et b étant deux chiffres de notre système de numération en base dix. a) quelles conditions doivent vérifier a et b pour que l écriture (ab) (ba) soit correcte? b) On suppose désormais que N est un multiple de 5.que peut-on en déduire à propos de l écriture sexagésimale de N? c) Si, de plus, on sait que N s écrit b21a en base dix, déterminer les valeurs de a et b et, par suite, de N (que l on écrira en base dix).

5 Questions complémentaires I) Voici une situation inspirée du manuel de CP de la collection «Objectif Calcul» édition 1985(Hatier).Elle est proposée au cours du mois de novembre à des élèves d un cours préparatoire. Le maître veut faire apparaître l intérêt d un groupement par paquets pour comparer des collections. Conditions matérielles : Rapprocher deux tables face à face.poser une grande feuille de papier kraft. Au milieu de la feuille, tirer un trait. D un côté du trait, poser une soixantaine de cubes, de l autre une collection de bûchettes ayant à peu près le même nombre d objets. Le travail est réalisé par groupes de 4 enfants. Consignes : «Chercher si les deux collections ont le même nombre d objets.mais attention, chaque collection doit rester du côté où elle a été posée, le trait ne peut être franchi, les collections ne peuvent donc pas se mélanger.» 1) a) Donnez trois stratégies de résolution que les enfants peuvent essayer de mettre en œuvre à cette époque de l année pour résoudre le problème posé. b) Identifiez trois des variables didactiques de la situation, et expliquez les choix faits par le maître en fonction de son intention. c) Proposez une gestion possible de la séance en distinguant les étapes essentielles que vous envisagez et en indiquant les interventions éventuelles du maître. Vous trouverez en Annexe 1 un exercice d évaluation élaboré par le maître et proposé individuellement à chaque élève. La consigne donnée oralement est la suivante : «Est-ce que chaque poisson aura son bocal? Si la réponse est non, dites alors ce qu il faut faire pour que chaque poisson ait son bocal».les élèves devront rendre la feuille (il n est donc pas question de la découper). 2) a) Quelle difficulté spécifique présente cette activité par rapport à l activité précédente? b) Par rapport aux objectifs du maître, l exercice d évaluation proposé vous parait-il bien conçu? Développez deux arguments en référence au document. c) Donnez, sur les annexes 2 et 3, deux exemples de productions d élèves correspondant aux attentes du maître.justifiez brièvement en quoi elles sont conformes à l attente du maître et en quoi elles diffèrent l une de l autre. Annexe 1

6 Annexe 2 Annexe 3