Sujet + Corrigé. Correction Réalisée SUJET 5 LIBAN BAC ES ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PRIMITIVES, INTÉGRALES alainpiller.

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1 Sujet + Corrigé ANNALES MATHÉMATIQUES BAC ES PRIMITIVES, INTÉGRALES SUJET 5 LIBAN BAC ES Correction Réalisée Par Alain PILLER alainpiller.fr

2 Sujets Bac Maths 2016 Annales Mathématiques Bac 2016 Sujets + Corrigés - Alain Piller Liban BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2016 Annales Bac Maths 2016 MATHÉMATIQUES - Série ES - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l'épreuve : heures - Coefficient : 5 MATHÉMATIQUES - Série L - ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Durée de l'épreuve : heures - Coefficient : 4 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1 à 5. 16MAELLI1 alainpiller.fr Bac Maths 2016 Corrigés Bac Maths 2016

3 Maths es 2016 Mathématiques es 2016 EXERCICE 1 (4 points) Sujet Mathématiques Bac 2016 Intégrales ES - corrigé Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification n est demandée. 1) La représentation graphique d une fonction définie et dérivable sur R est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d abscisses et 0. y 5 C f x a) 0 b) 0 c) d) 2) On note la fonction définie sur l intervalle 0 par :. a) b) c) d) 16MAELLI1 Annales Mathématiques Bac 2016 alainpiller.fr 1 Maths Liban 2016

4 ) On considère la fonction définie sur 0 ; 7 et représentée par la courbe ci-dessous : a) d 5 0 c) 15 d 20 b) 20 d 0 d) d 20 4) On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde d une fonction définie sur 0 ;. a) est concave sur l intervalle 1 ; 2. b) est convexe sur l intervalle 0 ; 2. c) est convexe sur 0 ;. d) est concave sur 0 ;. 16MAELLI1 2

5 EXERCICE 2 (5 points) Les parties A et B sont indépendantes Partie A Commun à tous les candidats Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens. Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un. On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s intéresse aux événements suivants : - C : «le jeune choisi est un collégien» ; - L : «le jeune choisi est un lycéen» ; - T : «le jeune choisi possède un téléphone portable». Rappel des notations Si et sont deux événements, désigne la probabilité que l événement se réalise et désigne la probabilité de sachant que l événement est réalisé. On note aussi l événement contraire de. 1) Donner les probabilités :,,,. 2) Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les données de l énoncé. ) Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. 4) Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu il possède un téléphone portable. 5) a) Calculer, en déduire. b) Compléter l arbre construit dans la question 2). Partie B En 2012 en France, selon une étude publiée par l Arcep (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 8 SMS (messages textes) par jour, soit environ 2500 par mois. On admet qu en France le nombre de SMS envoyés par un adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance et d écart-type 650. Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités arrondies au millième. 1) Calculer la probabilité qu un adolescent envoie entre et 000 SMS par mois. 2) Calculer ) Sachant que 0,8, déterminer la valeur de. On arrondira le résultat à l unité. Interpréter ce résultat dans le contexte de l énoncé. 16MAELLI1

6 EXERCICE (5 points) Candidats de la série ES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats de la série L L entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d entretien aux propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015, l entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite où représente le nombre de contrats souscrits auprès de l entreprise PiscinePlus l année Ainsi, on a 75. 1) a) Estimer le nombre de contrats d entretien en b) Montrer que, pour tout entier naturel, on a : 1, ) L entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de 100 contrats avec son nombre actuel de salariés. Au-delà, l entreprise devra embaucher davantage de personnel. On cherche à connaître en quelle année l entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise l algorithme suivant : L1 Variables : n est un nombre entier naturel L2 U est un nombre réel L Traitement : Affecter à n la valeur 0 L4 Affecter à U la valeur 75 L5 Tant que U 100 faire L6 n prend la valeur n +1 L7 U prend la valeur 1,12 6 L8 Fin Tant que L9 Sortie : Afficher. a) Recopier et compléter la ligne L9. b) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l unité. Valeur de 0 Valeur de 75 c) Donner la valeur affichée à la fin de l exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice. ) On rappelle que, pour tout entier naturel, on a 1,12 6 et 75. On pose pour tout entier naturel : 50. a) Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. b) En déduire l expression de en fonction de puis montrer que, pour tout entier naturel, on a 25 1, c) Résoudre dans l ensemble des entiers naturels l inéquation 100. d) Quel résultat de la question 2) retrouve-t-on? 16MAELLI1 4

7 annales maths bac es sujets, corrigés, es EXERCICE 4 (6 points) Sujet Mathématiques Bac 2016 Intégrales ES - corrigé Commun à tous les candidats Soit la fonction définie sur l intervalle ; 1 par : 0. Partie A : Étude de la fonction 1) Montrer que la fonction dérivée de la fonction, définie pour tout de l intervalle ; 1, a pour expression : 1. 2) a) Résoudre dans l intervalle ; 1 l inéquation : 0 b) En déduire le signe de sur l intervalle ; 1 et dresser le tableau de variations de sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10. c) Calculer l intégrale. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 près. Partie B : Application Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 00 et On suppose que toute la production est commercialisée. Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d euros, réalisé pour la production et la vente de centaines de toboggans est modélisé sur l intervalle ; 1 par la fonction En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes : 1) Déterminer le nombre de toboggans que l usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et donner ce bénéfice, arrondi à l euro. 2) Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 00 et 100 toboggans. Arrondir le résultat à l euro. Partie C : Rentabilité Pour être rentable, l usine doit avoir un bénéfice positif. Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l usine doit fabriquer en un mois pour qu elle soit rentable. Justifier la réponse. 16MAELLI1 baccalauréat maths 2016 alainpiller.fr annales maths bac es corrigés

8 1 EXERCICE 1 [ Liban 2016 ] 1. c. est la bonne réponse, avec c.: " ƒ ( ) = 1 ". La tangente à la courbe ( C ) au point A ( ; ) passe par le point A ( 0 ; 0 ). Soit " a " le coefficient directeur de cette tangente. " a " est tel que: a = y A y A A A <=> a = En conclusion: ƒ ( ) = 1. => a = d. est la bonne réponse, avec d.: " g ( ) = ln ". g ( ) = ( + 1 ) ln. g ( ) = ln + ( + 1 ) x ( 1 ) => g ( ) = ln.. b. est la bonne réponse, avec d.: " 20 < h ( ) d < 0 ". Graphiquement, en unités d aire et à l unité près, l aire! du domaine compris entre la courbe ( C ), l axe des abscisses et les droites d équation = 1 et = 5, est telle que:! > 21 ( plus de 21 carreaux, en comptant ). D où une seule réponse possible: 20 <! < a. est la bonne réponse, avec a.: " K est concave sur [1 ; 2 ] ". Ici, k ( ) 0 sur l intervalle [ 0 ; 2 ], donc sur [1 ; 2 ]. Par conséquent: K est concave sur [1 ; 2 ]. alainpiller. fr

9 1 EXERCICE 4 [ Liban 2016 ] Partie A: Étude de la fonction ƒ 1. Montrons que ƒ ( ) = 2 ( 1 + e ): Ici: ƒ ( ) = e D ƒ = [ ;1 ]. Posons: ƒ = ƒ + ( ƒ ), avec: ƒ ( ) = et ƒ ( ) = e ƒ est dérivable sur ª comme fonction polynôme, donc dérivable sur [ ;1 ]. 1 ƒ est dérivable sur ª comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur 2 l intervalle [ ;1 ] Par conséquent, ƒ est dérivable sur [ ;1 ] comme somme de 2 fonctions dérivables sur [ ;1 ]. Ainsi, nous pouvons calculer ƒ pour tout [ ;1 ]. Pour tout [ ;1 ]: ƒ ( ) = 2 ( 2 ) e => ƒ ( ) = 2 ( 1 + e ). Au total: pour tout [ ;1 ], ƒ ( ) = 2 ( 1 + e ). alainpiller. fr

10 2. a. Résolvons dans [ ;1 ], ƒ ( ) 0: 2 ƒ ( ) 0 <=> 2 ( 1 + e ) 0 <=> e <=> ln (1) => 5. Au total: ƒ ( ) 0 <=> [ ; 5 ]. 2. b. b1. Déduisons-en le signe de ƒ sur [ ;1 ]: Nous allons distinguer cas, pour tout [ ;1]: 1 er cas: ƒ ( ) = 0. ƒ ( ) = 0 ssi: = 5. 2 eme cas: ƒ ( ) < 0. ƒ ( ) < 0 ssi: ] 5 ;1 ]. eme cas: ƒ ( ) > 0. ƒ ( ) > 0 ssi: [ ; 5 [. Au total: ƒ est croissante sur [ ; 5 ], ou strictement croissante sur [ ; 5 [, ƒ est décroissante sur [ 5 ;1 ], ou strictement décroissante sur ] 5 ;1 ]. 2. b. b2. Dressons le tableau de variation de ƒ sur [ ;1 ]: Nous avons le tableau de variation suivant: 5 1 ƒ + 0 b ƒ a c alainpiller. fr

11 Avec: a = ƒ ( ) => a = 14 e 4 < 0, b = ƒ ( 5 ) => b = 10 e 0 => b = 9, c = ƒ (1 ) => c = 6 e 16 < 0. Au total, nous venons de dresser le tableau de variation de ƒ sur [ ;1 ]. 2. c. Calculons l intégrale ƒ ( ) d : Ici, il s agit de calculer: I = ƒ ( ) d. ƒ est continue sur [ ;1], elle admet donc des primitives sur [ ;1] et par conséquent: I existe. I = ( e ) d 1 1 = [ e ] 1 1 => I = e e 4. En arrondissant à 10 près, nous obtenons: I 12, 701 à 10 près. Au total: la valeur exacte de I est: (e 16 e 4 ), la valeur approchée de I est: 12, 701 à 10 près. alainpiller. fr

12 Partie B: Application 4 1. a. Déterminons le nombre de toboggans que l usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal: Nous avons vu à la question 2. b. b2. que la fonction ƒ admet un maximun au point: b = 5. Ainsi, le nombre de toboggans que l usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal est: 500 toboggans. 1. b. Déterminons alors ce bénefice maximal: Pour cela, il suffit de remplacer par " 5 " dans la fonction ƒ. Ainsi nous obtenons: Bénéfice max = 2 x e 2 x => Bénéfice max 9 en milliers d. Au total, le bénéfice maximal engendré par la vente de 500 toboggans est de: Calculons le bénéfice moyen: Le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 00 et 100 toboggans correspond à la valeur moyenne de la fonction ƒ sur [ ;1]. Soit B m, le bénéfice moyen de ƒ sur [ ;1 ]. B m est tel que: B m = ƒ ( ) d. alainpiller. fr

13 B m = ƒ ( ) d <=> B m = 1 10 x I2, 701 => B m 1, 270 en milliers d. 5 Au total, le bénéfice moyen est de: Partie C: Rentabilité Déterminons le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l usine doit fabriquer pour être rentable: L usine est rentable ssi: son bénéfice est positif cad ssi: pour tout [ ;1 ], ƒ ( ) 0. Pour répondre à cette question, nous allons dresser le tableau de la fonction ƒ: a 5 b 1 b ƒ ( ) 0 0 a c Ainsi, ƒ ( ) 0 ssi: [ a ; b ]. Par tâtonnement, on trouve: a, 74 et b 9, 99. Au total, pour avoir un bénéfice positif, l usine doit fabriquer entre: 74 et 999 toboggans par mois. alainpiller. fr