SUITES. I Définition. Exercice 01. Exercice 02. Exercice 03

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1 SUITES I Définition Exercice 01 On donne, dans le tableau suivant, le nombre d'habitants d'une commune pour les années de 1995 à Année Nombre d'inscrits ) On note P n le nombre d'habitants de la commune pour l'année n. a) Donner la valeur de P 1995 ; P 1999 et P b) Calculer P P Interpréter ce résultat. 2 ) On définit une suite de nombres (u n ) par : u n = n pour tout entier n. On a, par exemple, en remplaçant n par 10 : u 10 = x 10 = a) Calculer u 1995 ; u 1999 et u b) On admet que la suite (u n ) est un modèle mathématique représentant le nombre d'habitants de la commune. En utilisant ce modèle, à combien peut-on estimer la population pour l'année 2020? Exercice 02 Une entreprise achète une machine neuve dont la valeur est On considère que cette machine pert 8 % de sa valeur tous les ans. On note V 0 la valeur à neuf. On a donc V 0 = On note V 1 la valeur au bout d'un an, V 2 la valeur au bout de deux ans et, plus généralement, on note V n la valeur au bout de n années. 1 ) Expliquer pourquoi on peut écrire V 1 = 0,92 x V 0. 2 ) Donner une relation entre V 2 et V 1, puis une relation entre V 2 et V 0. 3 ) Justifier que V n+1 = 0,92 x V n. 4 ) Compléter, en utilisant la calculatrice, le tableau suivant (résultats arrondis au centime d'euro) : n V n Exercice 03 Une personne a placé sur un compte le 01/01/2010 un capital de euros. Ce compte produit des intérêts de 4 % par an. Chaque année les intérêts sont ajoutés au capital et deviennent, à leur tour, générateurs d'intérêts. Pour n entier naturel, on appelle C n le capital au 1 er janvier de l'année ( n). On a ainsi C 0 = ) Calculer C 1 et C 2. 2 ) Donner une valeur approchée de C 10 après avoir calculé C 3 ; C 4 ; A C 9. Interpréter ce résultat. 3 ) Exprimer C n+1 en fonction de C n. 4 ) On suppose maintenant qu'au 1 er janvier de chaque année, à partir du 01/01/2011, la personne rajoute euros sur son compte. (Ce compte produit toujours des intérêts de 4 % par an) a) Calculer C 1 et C 2. b) Exprimer C n+1 en fonction de C n. c) Donner une valeur approchée de C 10 après avoir calculé C 3 ; C 4 ; A C ère ES - L Suites page 1 / 8

2 Exercice 04 Une personne place de l'argent, sur un compte produisant des intérêts. Pour n entier naturel, on appelle C n le capital au 1 er janvier de l'année (2010+n). On admet que C 0 = et que pour tout entier naturel n on a la relation C n+1 = C n x 1, ) Calculer C 1 et C 2. 2 ) En utilisant un fichier de tableur, déterminer une valeur approchée de C 10 et de C 20. Interpréter ces résultats. 3 ) Écrire un algorithme permettant de calculer n'importe quelle valeur de C n à partir de la donnée de n. Définition Une suite est une fonction numérique définie sur l'ensemble des entiers naturels IN, ou sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n 0. L'image d'un entier naturel n est notée u(n) ou u n (c'est la notation indicielle). n est appelé l'indice ou le rang du terme u n. La suite est notée (u n ) n IN ou (u n ) n³n0. Exemples 1 ) On considère la suite (u n ) n IN définie par u n = n n Cette suite est définie par la donnée explicite de u n pour tout entier n. On peut calculer facilement un terme quelconque : u 0 = = 0 ; u 10 = = 10 ; u = ) On considère la suite (u n ) n³1 définie par u 1 = 2 et la relation u n+1 = -3u n + 1 pour tout n ³ 1. La suite est définie par son premier terme u 1 et par une relation (dite relation de récurrence) permettant de passer d'un terme au terme suivant. En utilisant la relation de récurrence avec n = 1, on obtient : u 1+1 = -3u c'est-à-dire u 2 = -3u donc u 2 = -3 x = -5 Puis en utilisant à nouveau la relation de récurrence mais avec n = 2, on obtient : u 2+1 = -3u c'est-à-dire u 3 = -3u donc u 3 = -3 x (-5) + 1 = 16 Pour calculer u 50, il faudra calculer de proche en proche tous les termes u 4, u 5, u 6..., u 49, u 50. Une calculatrice ou un ordinateur peuvent alors être très utiles pour donner des valeurs approchées. Remarque Une suite comportant un nombre fini de termes peut aussi être définie par un tableau de valeurs. Par exemple : n u n Exercice 05 Calculer dans chacun des cas les cinq premiers termes de la suite (u n ) définie par : 1 ) u n = n + 1 n 2 pour n IN ) u 0 = 1 et u n+1 = 2u n pour tout n IN 3 ) u 1 = -2 et u n+1 = 2u n + 1 pour tout n IN * 4 ) u n = n pour tout n IN 5 ) u n = 2 n pour tout n IN Exercice 06 On considère la suite (u n ) définie par u n = -3n + 5 pour tout n IN. Donner l'expression en fonction de n de : u n+1 ; u n + 1 ; u n+2 ; u 2n ; u n 2 ; u 2n+1 1ère ES - L Suites page 2 / 8

3 Exercice 07 On considère la suite (u n ) définie par u n = 7-3n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3. 2 ) Montrer que la suite (u n ) vérifie la relation de récurrence : u n+1 = u n - 3. Exercice 08 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et u n+1 = 3-2u n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3. 2 ) Montrer que pour tout n IN u n+2 = 4u n - 3. Définition On appelle représentation graphique d'une suite (u n ) l'ensemble des points du plan de coordonnées (n ; u n ). Exercice 09 Représenter graphiquement la suite (u n ) n IN définie par u n = 2n - 3. Exercice 10 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et u n+1 = 2u n + 1 pour tout n IN. Représenter graphiquement la suite (u n ) pour 0 n 4 II Suites monotones Définition Soit la suite (u n ) n³n0. On dit que (u n ) est croissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 ³ u n. On dit que (u n ) est décroissante si : pour tout n ³ n 0 u n+1 u n. On dit que (u n ) est stationnaire si : pour tout n ³ n 0 u n+1 = u n. Remarques On définit de la même façon une suite strictement croissante ou strictement décroissante en utilisant des inégalités strictes. Une suite croissante ou décroissante est appelée suite monotone. Étudier le sens de variation d'une suite, c'est déterminer si une suite est croissante ou décroissante (ou ni l'un ni l'autre). Cette étude peut se faire en calculant la différence u n+1 - u n et en déterminant si cette différence a un signe constant. Exercice 11 On considère la suite (u n ) définie par u n = n 2 + 2n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 0 ; u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. Que pensez-vous du sens de variation de la suite (u n )? 2 ) a) Déterminer u n+1 en fonction de n, et en déduire que u n+1 - u n = 2n + 3 pour tout n IN. b) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. Exercice 12 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et u n+1 = u n - 1 pour tout n IN. n ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. Que pensez-vous du sens de variation de la suite (u n )? 2 ) Déterminer, en le justifiant soigneusement, le sens de variation de la suite (u n ). 1ère ES - L Suites page 3 / 8

4 Exercice 13 Dans chacun des cas, calculer les quatre premiers termes de la suite (u n ) n IN puis étudier son sens de variation en justifiant soigneusement. 1 ) u n = n 2 2 ) u n = -2n+3 3 ) u n = (-1) n 4 ) u n = 1 n + 1 Propriété Soit (u n ) une suite croissante : si n ³ p, alors u n ³ u p. Soit (u n ) une suite décroissante : si n ³ p, alors u n u p. Exercice 14 1 ) On considère la fonction f définie sur [0; + [ par f(x) = x x + 1. Déterminer le sens de variation de f sur [0; + [. 2 ) Soit n IN. Justifier que f(n) f(n + 1). 3 ) Soit (u n ) la suite définie par u n = n pour n IN. n + 1 En utilisant les questions précédentes, déterminer le sens de variation de la suite (u n ). Soit n 0 IN. Propriété Si f est une fonction croissante sur [n 0 ; + [, la suite (u n ) n³n0 définie par u n = f(n) est une suite croissante. Remarques On a une propriété identique avec une fonction décroissante. La condition est suffisante, mais pas nécessaire, c'est-à-dire que la suite peut être croissante alors que la fonction ne l'est pas. (voir représentations graphiques ci-dessous) La fonction n'est pas croissante La suite est croissante Exercice 15 1 ) On a représenté ci-contre une suite (u n ). On admet que pour n entier naturel, u n modélise le montant des exportations de biens et services de la Chine exprimé en milliards de dollars constants, pour l'année 2000+n. a) En utilisant ce graphique, donner une estimation du montant des exportations de biens et services de la Chine pour l'année b) À partir de quelle année le montant des exportations de biens et services de la Chine sera-t-il supérieur à 1000 milliards de dollars? 2 ) On admet que la suite (u n ) est définie pour tout n IN par u n = 18n n a) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. b) Retrouver, par le calcul, les résultats du 1 ) c) Donner une estimation du montant des exportations de biens et services de la Chine pour l'année ère ES - L Suites page 4 / 8

5 III Suites arithmétiques - suites géométriques Exercice 16 Le 01/01/2010 un journal compte abonnés. Le service des abonnements a noté que, chaque mois, abonnements arrivent à échéance. Sur ces abonnements, 750 sont renouvelés. De plus chaque mois 320 nouveaux abonnements sont souscrits. On note u 1 le nombre d'abonnés à la date du 01/01/2010, u 2 le nombre d'abonnés à la date du 01/02/2010, et ainsi de suite, de mois en mois. 1 ) Donner les valeurs de u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. 2 ) Justifier que la variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante. Quelle est cette variation? 3 ) En utilisant un fichier de tableur, représenter graphiquement la suite (u n ) pour 1 n 12. Que peut-on remarquer? 4 ) Déterminer u 13 et u 25. Interpréter ces résultats. Définition On dit qu'une suite est arithmétique si la variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante. Cette variation est appelée la raison de la suite arithmétique. C'est-à-dire qu'une suite est arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n : u n+1 = u n + r Le nombre r est la raison de la suite. Remarques Lorsqu'une suite est arithmétique on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante. Pour justifier qu'une suite (u n ) est arithmétique, on peut démontrer que pour tout entier n, la différence u n+1 - u n est une constante r. Exemples La suite (u n ) de l'exercice 16 est telle que pour tout entier n on a : u n+1 = u n C'est donc une suite arithmétique de raison 70. Si on considère la suite (v n ) définie par v n = 3n - 5, on peut remarquer que, pour tout entier n, on a : v n+1 = 3(n + 1) - 5 = 3n = 3n = v n + 3. La suite (v n ) est donc arithmétique de raison 3. Si on considère la suite (w n ) définie par w n = n 2, on peut remarquer que : w 0 = 0 ; w 1 = 1 ; w 2 = 4 La variation absolue lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant n'est pas constante, la suite (w n ) n'est pas arithmétique. Propriété Lorsqu'une suite est arithmétique sa représentation graphique est constituée de points alignés. Lorsque la représentation graphique d'une suite est constituée de points alignés, cette suite est arithmétique. Remarque Lorsqu'une suite est arithmétique, on parle d'évolution linéaire. Exercice 17 Un capital de euros est placé le 01/01/2008 avec un taux d'intérêt annuel de 6,25%. Tous les ans les intérêts sont cumulés au capital. Pour tout entier n, on note C n le capital correspondant au 1 er janvier de l'année 2008+n. 1 ) Donner les valeurs de C 0 ; C 1 ; C 2 ; C 3. 2 ) Démontrer que pour tout entier n le quotient C n+1 C n est constant. Justifier que la variation relative lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante. Quelle est cette variation relative? 3 ) En utilisant un fichier de tableur, représenter graphiquement la suite (C n ). D'après cette représentation graphique, que pensez-vous du sens de variation de la suite (C n )? 1ère ES - L Suites page 5 / 8

6 Définition On dit qu'une suite est géométrique si la variation relative lorsqu'on passe d'un terme au terme suivant est constante. Cette variation relative est appelé la raison de la suite géométrique. C'est-à-dire qu'une suite est géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n : u n+1 = u n x q Ce nombre q est la raison de la suite géométrique. Exemple La suite (C n ) de l'exercice 17 est telle que pour tout entier n on a : C n+1 = C n x 1,0625 C'est donc une suite géométrique de raison 1,0625. Remarques Lorsqu'une suite est géométrique on passe d'un terme au suivant en multipliant une constante. Pour justifier qu'une suite (u n ) est géométrique, on peut démontrer que pour tout entier n, le quotient u n+1 u n est une constante q. Lorsqu'une suite est géométrique, on parle d'évolution exponentielle. Exercice 18 Les nombres suivants peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique. Si c'est le cas, donner la raison de la suite. 1 ) 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 2 ) 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; ) 45 ; 40 ; 35 ; 30 ; 25 4 ) 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 5 ) 1 ; 1 2 ; 1 4 ; 1 8 ; 1 16 Exercice 19 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et u n+1 = u n pour tout n IN. 1 ) Calculer u 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4. 2 ) La suite (u n ) est-elle une suite arithmétique? une suite géométrique? 3 ) On considère la suite (v n ) définie par v n = u n + 1 a) Calculer v 0 ; v 1 ; v 2 ; v 3 ; v 4 b) Justifier que la suite (v n ) est une suite géométrique et donner sa raison. Exercice 20 On considère (u n ) une suite arithmétique de raison r. 1 ) Justifier que u 3 = u 2 + r et que u 4 = u 3 + r. En déduire que u 4 = u 2 + 2r 2 ) Démontrer que u 8 = u 5 + 3r 3 ) Quelle relation peut-on écrire entre u 7 ; u 2 et r? Justifier. 4 ) On suppose dans cette question que u 0 = 4 et r = 2. Calculer u 5. Donner sans justification la valeur de u 100 et la valeur de u Exercice 21 On considère (u n ) une suite géométrique de raison q. 1 ) Justifier que u 3 = u 2 x q et que u 4 = u 3 x q. En déduire que u 4 = u 2 x q 2 2 ) Montrer que u 8 = u 5 x q 3 3 ) Quelle relation peut-on écrire entre u 7 ; u 2 et q? Justifier. 4 ) On suppose dans cette question que u 0 = 3 et q = 2. Calculer u 5. Donner sans justification la valeur de u ère ES - L Suites page 6 / 8

7 Propriétés Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r. Pour tout entier n et tout entier p, on a Soit (u n ) une suite géométrique de raison q # 0. Pour tout entier n et tout entier p, on a u n = u p + (n - p) r u n = u p x q (n-p) Cas particuliers Si (u n ) est arithmétique de raison r, on a : u n = u 0 + n r ; u n = u 1 + (n - 1) r Si (u n ) est géométrique de raison q, on a : u n = u 0 x q n ; u n = u 1 x q (n-1) Exercice 22 On suppose qu'un pin d'un âge supérieur à 10 ans a une croissance régulière annuelle de 40cm de hauteur. On note h n la hauteur en mètres du pin à l'âge n (pour n ³ 10) 1 ) En supposant dans cette question que h 10 = 22, calculer h 11 et h ) Montrer que la suite (h n ) n³10 est une suite arithmétique. 3 ) On suppose qu'un pin de 10 ans a une hauteur de 17m. Quelle sera sa hauteur lorsqu'il aura 22 ans? 4 ) On suppose qu'un pin de 28 ans a une hauteur de 25m. Quelle était sa hauteur lorsqu'il avait 18 ans? 5 ) Représenter graphiquement pour n compris entre 10 et 30 la hauteur d'un pin qui mesure 15m à 10 ans. Exercice 23 Un village avait habitants en Le nombre d'habitants diminue de 12 % tous les ans. On note P n le nombre d'habitants du village pour l'année 2000+n. 1 ) Donner les valeurs de P 0 et P 1. (On arrondira à l'entier le plus proche) 2 ) Justifier que la suite (P n ) est une suite géométrique et donner sa raison. 3 ) Calculer P 6 (on arrondira à l'entier le plus proche), interpréter le résultat. 4 ) En quelle année le nombre d'habitants aura-t-il diminué des deux tiers par rapport à 2000? 5 ) Représenter graphiquement la suite P n pour n variant de 0 à 10. Exercice 24 1 ) Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = -5 et de raison 1,5. b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 2 ) Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 3 ) Que peut-on dire du sens de variation d'une suite (u n ) arithmétique de raison r. Justifier. Propriété Une suite arithmétique de raison r est : croissante si r ³ 0 décroissante si r 0 stationnaire si r = 0 Exercice 25 1 ) Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 1,15. b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 2 ) Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison 0,98. b) Donner, en le justifiant, le sens de variation de la suite (u n ). 1ère ES - L Suites page 7 / 8

8 Propriété Une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q > 0 est : croissante si q ³ 1 décroissante si q 1 stationnaire si q = 1 Exercice 26 Cet exercice a pour but d étudier l évolution du nombre de bactéries au cours du temps dans une situation de nature expérimentale. On dépose un morceau de viande sur un comptoir l été à 14 h 00, la température avoisine les 35 C. Ce morceau de viande contient 100 bactéries, et dans ces conditions, le nombre de bactéries double toutes les 15 minutes. On note u 0 le nombre de bactéries à 14 h 00, u 1 le nombre de bactéries à 14 h 15, u 2 le nombre de bactéries à 14 h 30, et u n le nombre de bactéries n quarts d heure après 14 h 00, n étant un entier naturel. 1 ) Recopier et compléter le tableau suivant (on suppose que les conditions ne changent pas durant tout le temps de l expérience) : Heure 14 h h h h h 00 Rang : n Nombre de bactéries u n ) Si u n est le nombre de bactéries à un moment déterminé, u n+1 correspond au nombre de bactéries 15 minutes plus tard. Quelle est la relation entre u n et u n+1? 3 ) Préciser la nature de la suite (u n ) définie précédemment et sa raison. 4 ) Exprimer u n en fonction de n. 5 ) Calculer le nombre de bactéries à 17 h ) On estime qu à partir de bactéries présentes dans un aliment, celui-ci a atteint un niveau impropre à la consommation pour l être humain. Jusqu à quelle heure, arrondie au quart d heure, l être humain peut-il consommer sans risque le morceau de viande? Exercice 27 Le tableau ci-dessous indique le nombre d exploitations agricoles en France entre 1955 et Année Rang n de l'année Nombre d exploitations (en milliers) (Source INSEE) 1 ) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n est modélisé par la suite arithmétique (u n ) de premier terme u 0 = 2280 et de raison -36. b) Quel est le sens de variation de la suite (u n )? c) Déterminer l'expression de u n en fonction de n. En déduire les valeurs de u 15 ; u 33 et u 45. d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour ) On admet dans cette question que le nombre d'exploitations agricoles (en milliers) pour l'année de rang n est modélisé par la suite géométrique (v n ) de premier terme v 0 = 2280 et de raison 0,973. a) Calculer v 1 ; v 2 ; v 3. (les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche) b) Justifier que ce modèle correspond à une variation relative constante d'une année sur l'autre. Quelle est cette variation relative? c) Déterminer v n en fonction de n. En déduire les valeurs de v 15 ; v 33 et v 45. d) En utilisant ce modèle calculer le nombre d exploitations agricoles que l on peut prévoir pour ère ES - L Suites page 8 / 8