Introduction aux équations de Lagrange

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1 Chapitre 1 Introuction aux équations e Lagrange 1.1 Equations e Lagrange pour une particule Equations e Lagrange Consiérons le cas particulier une particule astreinte à se éplacer, sans frottement, sur une courbe plane contenue ans le plan xoy. La courbe sur laquelle est astreinte à se éplacer la particule e masse m, est le lieu es points ont les cooronnées vérifient les relations : { z = 0 f(x, y) = 0 La première relation correspon au plan xoy. La secone relation représente l équation e la trajectoire ans ce plan. Ces eux relations éfinissent les équations es liaisons appelées souvent liaisons. Le nombre e egrés e liberté est égal au nombre e cooronnées qui représentent la position e m (trois ans le cas général) moins le nombre e liaisons (eux ans le cas particulier étuié ici). La particule possèe onc un egré e liberté. Il faut choisir une variable q pour repérer sa position. Cette variable est appelée cooronnée généralisée. Il est possible exprimer le vecteur position r e la particule en fonction e la cooronnée généralisée q par la relation : r = r (q). Soit F la résultante e toutes les forces agissant sur la particule. La relation fonamentale e la ynamique s écrit : F = m 2 r 2 = m v où v = r est la vitesse e la particule. Soit δw le travail fourni par la force F lors un éplacement infinitésimal δ r : δw = F δ r Le éplacement infinitésimal δ r peut s écrire en fonction e la variation δq e la cooronnée généralisée q : δ r = r δq Dans ce cas le travail δw peut se mettre la forme :

2 2 Introuction aux équations e Lagrange δw = F r δq On appelle force généralisée conjuguée e q, ou q-composante e la force, la quantité F q éfinie par : F q = δw δq = F r Par conséquent δw s écrit : δw = F q δq En tenant compte e la relation fonamentale e la ynamique, cette expression peut également s écrire : D autre part : Sachant que on obtient [ v r δw = m v r δq = v r + v [ r = v r = [ Le vecteur vitesse v, peut aussi s écrire : [ r = v v r v v [ r D où la relation : v = r = r t = r q et Sachant que et que on obtient v r = [ r = v v v v v [ 1 2 v2 = [ 1 2 v v = v v [ 1 2 v2 = [ 1 2 v v = v v v r = [ [ 1 2 v2 [ 1 2 v2 L expression u travail δw peut alors s écrire :

3 1.1 Equations e Lagrange pour une particule 3 δw = m { [ [ 1 2 v2 [ } 1 2 v2 δq Si on note T = 1 2 mv2 l énergie cinétique e la masse m, on obtient finalement : { δw = [ T T } δq On obtient finalement les eux expressions équivalentes u travail δw { [ T T } δq = F q δq On en éuit l équation e Alembert pour un système à un egré e liberté : Cas es systèmes conservatifs [ T T = F q Dans les systèmes conservatifs, la force appliquée au système érive un potentiel U et elle s écrit : F q = U L équation e Lagrange evient alors : [ T T = U Généralement l énergie potentielle U ne épen pas e la vitesse, c est ire que U = 0. L équation e Lagrange peut alors s écrire : [ (T U) (T U) = 0 On introuit la fonction e Lagrange ( ou lagrangien u système ) qui est la ifférence e l énergie cinétique et e l énergie potentielle : L = T U D où la forme e l équation e Lagrange ans le cas un système conservatif : [ L = Cas es forces e frottement épenant e la vitesse Equation e Lagrange Consiérons une situation physique ans laquelle la particule est soumise à es forces e frottement e viscosité ont la résultante f est e la forme : f = α v Pour calculer la force généralisée f q corresponante, nous utilisons la éfinition u paragraphe précéent :

4 4 Introuction aux équations e Lagrange f q = f r [ r 2 = α t Cette ernière expression peut se mettre sous la forme : avec f q = β q β = α [ r 2 Si en plus es forces qui érivent un potentiel il existe es forces e frottement e viscosité, l équation e Lagrange s écrit : [ T T = F U,q + f q où F U,q = U Fonction issipation représente les forces qui érivent un potentiel. D où : [ L = β q Calculons le travail δw f fourni par la force e frottement penant un intervalle e temps δt pour un éplacement δ r : δw f = f δ r = α v 2 δt La quantité e chaleur δq gagnée par le système en interaction avec la particule, est telle que : Soit P = δq δt δq = α v 2 δt la puissance issipée par les forces e frottement sous forme e chaleur : P = α v 2 Cette puissance issipée peut être exprimée en fonction e q, par : P = α [ r 2 [ r 2 = α = β q 2 t Par éfinition, la fonction issipation est égale à la emi-puissance issipée : D = 1 2 P = 1 2 β q2 La q-composante f q e la force e frottement peut alors s écrire : L équation e Lagrange s écrit alors : f q = D [ L + D = 0

5 1.2 Système à plusieurs egrés e liberté Cas une force extérieure épenant u temps Consiérons le cas plus général une force extérieure épenant u temps agissant sur un système qui est le siège e forces e frottement qui érivent une fonction issipation D. Soit F eq la q-composante e la force extérieure. Dans ce cas l équation e Lagrange peut s écrire sous l une es eux formes équivalentes suivantes : [ L = F eq β q [ L + D = F e,q 1.2 Système à plusieurs egrés e liberté Dans le cas général un système à plusieurs egrés e liberté, il y a autant équations e Lagrange que e egrés e liberté. Ainsi, si le système possèe N egrés e liberté, il est nécessaire avoir N cooronnées généralisées q i (i = 1, 2,..., N) ; nous aurons ainsi N équations e Lagrange : [ L i i + D i = F e,qi (i = 1, 2,..., N) La q i composante e la force généralisée extérieure est éfinie par : F e,qi = δw δq i δqi 0 Dans cette expression δw représente le travail es forces extérieures résultant une variation δq i e la cooronnée q i telle que les cooronnées q j i soient constantes (δq j i = 0). Exercices Exercice 1 : On consière un point matériel astreint à se éplacer sur un cercle e rayon R et e centre O contenu ans le plan xoy. 1. Trauire la liaison par une ou es relations mathématiques ; quel est le nombre e egrés e liberté e ce point? 2. Quelles sont les cooronnées généralisées que l on peut utiliser pour repérer ce point? Exercice 2 : On consière un point matériel astreint à se éplacer sur une sphère. Réponre aux mêmes questions que l exercice précéent. Exercice 3 : Pour repérer la position un solie ans l espace, il faut repérer la position e trois points non alignés A, B et C e ce solie. 1. Trauire les liaisons physiques par es relations mathématiques ; quel est le nombre e egrés e liberté e ce solie? 2. Quelles sont les cooronnées généralisées les plus couramment utilisées pour écrire le mouvement un solie? 3. Quel est le nombre e egrés e liberté pour un solie qui possèe : (a) un point fixe? (b) eux points fixes?

6 6 Introuction aux équations e Lagrange Exercice 4 : On consière une haltère constituée e eux masses ientiques m, supposées ponctuelles, reliées par une tige e longueur a, e iamètre et e masse négligeables. 1. Comment s écrit mathématiquement la liaison entre les eux masses? 2. Quel est le nombre e egrés e liberté e ce système? Exercice 5 : On consière une masse M qui glisse sans frottement selon une roite sur un plan horizontal. Elle est reliée à un bâti fixe par un ressort parfait e raieur k, colinéaire avec la trajectoire. 1. Quel est le nombre e egrés e liberté? 2. Quelles sont les forces qui s exercent sur la masse M. Quelles sont celles qui érivent un potentiel? Quelles sont celles qui ne travaillent pas? 3. Calculer l énergie cinétique et l énergie potentielle e ce système ; en éuire l équation ifférentielle u mouvement par la méthoe es équations e Lagrange. 4. Etablir l équation ifférentielle u mouvement en utilisant la secone loi e Newton ; que remarque-t-on? Quelles sont les forces qui n interviennent pas ans l équation e Lagrange et qui sont prises en compte ans les équations e Newton? Quelle est leur particularité? Exercice 6 : On consière un penule simple constitué une masse m reliée à un point fixe O par un fil e longueur l et e masse négligeable. Cette masse peut osciller librement ans le plan vertical xoy. 1. Quel est le nombre e egrés e liberté e ce système? Quelles sont les cooronnées généralisées les plus pratiques à utiliser? Ecrire les cooronnées x et y e la masse m ans le repère xoy en fonction es cooronnées généralisées choisies. 2. Quelles sont les forces qui s exercent sur la masse m. Quelles sont celles qui érivent un potentiel? Quelles sont celles ont le travail n est pas nul au cours u mouvement? 3. Etablir les équations u mouvement par la méthoe es équations e Lagrange. 4. Ecrire les équations u mouvement par la méthoe e Newton ; retrouve-t-on le même résultat que par la méthoe e Lagrange? Déterminer le moule e l action u fil sur la masse m ; pouvait-on éterminer ce moule par la méthoe e Lagrange? Commenter le résultat. Exercice 7 : Etuier le mouvement un cylinre e masse M et e rayon R, qui roule sans glisser le long e la ligne e plus grane pente un plan incliné qui fait un angle ϕ avec l horizontale. Exercice 8 : Etuier à l aie es équations e Lagrange, le mouvement une masse M qui glisse sur un plan incliné faisant un angle ϕ avec l horizontale, avec un coefficient e frottement e glissement µ. La masse est soumise e plus à une force F (t) parallèle au plan incliné. Exercice 9 : Etuier, à l aie es équations e Lagrange, le mouvement un cylinre e masse M et e rayon R autour e son axe e révolution fixé horizontalement, entraîné en rotation par l action e forces extérieures ont le moment par rapport à l axe e rotation est M(t). Exercice 10 : Une particule e masse m est lâchée sans vitesse initiale ans un fluie caractérisé par un coefficient e frottement visqueux α. Etuier son mouvement à l aie es équations e Lagrange. Exercice 11 : Etablir l équation ifférentielle u mouvement, ans un plan vertical, une masse ponctuelle m reliée à un point O par une tige e longueur l et e masse négligeable. La masse est soumise à une force F (t) qui reste perpeniculaire à la tige lors u mouvement. Les forces e frottement e viscosité peuvent être ramenées à une force f = α v appliquée à la masse m ont la vitesse instantanée est v. Le coefficient e frottement visqueux α est supposé constant.