Introduction. Automatique. Bernard BAYLE ENSPS, FIP 1A

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1 Introduction Automatique Bernard BAYLE ENSPS, FIP 1A

2 Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé

3 Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé Système et Automatique Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique,... d entrée u et de sortie y

4 Introduction Notion de système Système Etymologiquement : ensemble organisé Système et Automatique Procédé de nature quelconque : électrique, mécanique, chimique, économique,... d entrée u et de sortie y Système et temps Système à temps continu u(t) et y(t) fonctions d une variable continue t Système à temps discret u(k) et y(k) fonctions d une variable discrète k

5 Introduction Hypothèses et objectifs du cours (1) Systèmes considérés Classe restreinte de systèmes réels : mono-entrée mono-sortie linéaires invariants Cas continu Modélisation Cas discret Equation différentielle linéaire à coef. constants Equation aux différences linéaire à coef. constants

8 Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique Système : entrée : tension u(t) sortie : vitesse ω(t)

9 Moteur à courant continu (MCC) : système électromécanique i(t) i(t) R L u(t) γ(t) f ω(t) u(t) e(t) Relation entrée-sortie : RJ + Lf ω(t) + Rf + Kem 2 dω(t) dt LJ + Rf + Kem 2 d 2 ω(t) dt 2 = K em Rf + Kem 2 u(t)

10 Introduction Hypothèses et objectifs du cours (2) Dans ce cours... Systèmes linéaires ou linéarisés autour d un point de fonctionnement. Moteur à courant continu L équation différentielle du modèle n est plus valable présence d hystérésis ou de saturation du circuit magnétique : étude dans la plage de fonctionnement linéaire spécifiée par le constructeur.

11 Introduction Hypothèses et objectifs du cours (3) Dans ce cours... Etude des techniques pratiques de commande des systèmes linéaires invariants commande par calculateur. commande numérique échantillons de mesure CNA + amplification CAN commande analogique mesures

12 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Première partie I Systèmes et asservissements à temps continu

13 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Plan 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

14 Plan Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

16 Linéarité Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Soit y 1 (t) et y 2 (t) les réponses d un système Σ excité séparément par les entrées u 1 (t) et u 2 (t) et α R. Le système est linéaire si sa sortie vaut αy 1 (t) + y 2 (t) en réponse à l entrée αu 1 (t) + u 2 (t). u 1 (t) Σ y 1 (t) linéarité αu 1 (t) + u 2 (t) Σ αy 1 (t) + y 2 (t) u 2 (t) Σ y 2 (t) Principes de superposition et de linéarité.

17 Invariance Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Soit y(t) la réponse d un système Σ d entrée u(t). Le système est invariant si une même commande, appliquée à deux instants différents produit la même sortie aux instants considérés. u(t) Σ y(t) invariance u(t + τ) y(t + τ) Σ

18 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Principe de causalité Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Definition Un signal f (t) à temps continu est causal si f (t) = 0, t < 0. Definition Soit y(t) la réponse d un système d entrée u(t). Le système est causal si, t < 0, u(t) = 0 y(t) = 0. La réponse du système ne précède pas son excitation. Tout système physiquement réalisable est causal. Hypothèse Tous les signaux et systèmes étudiés sont causaux.

19 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i

20 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0

21 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal

22 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal n : ordre du système, c n : classe du système

23 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Linéarité et invariance Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété Un système à temps continu à la fois linéaire et invariant est décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants. Notations n i=c a i d i y(t) dt i = m i=0 b i d i u(t) dt i a i et b i R tel que a c, a n, b 0 et b m 0 n, m N tel que m n pour un système causal n : ordre du système, c n : classe du système y(t) : n CI pour y et m CI pour u

25 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Formulation générale Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition La réponse d un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t) peut s écrire sous la forme : y(t) = g(t) u(t) où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où désigne le produit de convolution défini par : g(t) u(t) = + g(τ)u(t τ)dτ.

26 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Formulation générale Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition La réponse d un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t) peut s écrire sous la forme : y(t) = g(t) u(t) où g(t) est appelée réponse impulsionnelle du système et où désigne le produit de convolution défini par : causalité g(t) u(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ.

27 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Réponse impulsionnelle Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Propriété La réponse impulsionnelle d un système représente sa réponse à une impulsion de Dirac. En effet : y(t) = g(t) δ(t) et, par définition de l impulsion de Dirac : y(t) = t 0 g(τ)δ(t τ)dτ = g(t).

28 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Réponse indicielle Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition On appelle réponse indicielle d un système sa réponse à un échelon unité : { 0, si t < 0, U(t) = 1, si t 0. Cette réponse vaut : y(t) = g(t) U(t) = t 0 g(τ) U(t τ)dτ = t 0 g(τ)dτ. La réponse indicielle d un système est souvent utilisée pour le caractériser (identification).

29 Réponse indicielle D % 100 % 95 % 90 % Amplitude 10 % t m t 1 t 5% Temps

31 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Soit {f (t)} un signal à temps continu, prenant la valeur f (t) à l instant t. La transformée de Laplace de {f (t)} est définie par : Propriété F(s) = L{f (t)} = + 0 f (t)e st dt. Soit s = σ + jω. La transformée de Laplace est généralement définie sur un demi-plan complexe pour lequel σ ]σ 0, + [. La valeur σ 0 définissant la limite de convergence est appelée abscisse de convergence de la transformée.

32 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : calcul Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Tables de transformées Autant que possible, on utilise des tables de transformées pré-calculées : δ(t) 1 U(t) 1 s...

33 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : calcul Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Tables de transformées Autant que possible on utilise des tables de transformées pré-calculées. Exemple de calcul (complet et rigoureux) Calcul de la transformée de Laplace de f (t) = e at U(t).

34 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Linéarité : L{f (t) + αg(t)} = F(s) + αg(s), α R

35 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Changement d échelle : L { f ( t α)} = αf(αs), α R

36 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Retard : L{f (t τ)} = e τs F(s), τ R

37 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Dérivation en t : L { } df (t) dt = sf(s) f (0)

38 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Dérivation en s : df (s) ds = L{ tf (t)}

39 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Intégration : L { } t 0 f (τ)dτ = F (s) s

40 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Théorème de la valeur initiale : lim t 0 f (t) = lim s + sf (s)

41 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Théorème de la valeur finale : lim t f (t) = lim s 0 sf (s)

42 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Produit de convolution : L{f (t) g(t)} = F(s) G(s)

43 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : propriétés Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Notations Soit deux signaux f (t) et g(t) de transformées de Laplace respectives F(s) et G(s). Propriétés Produit : L{f (t) g(t)} = 1 2πj F(s) G(s)

44 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : inversion Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Soit F(s) la transformée de Laplace de f (t). La transformée de Laplace inverse de F(s) s écrit : f (t) = L 1 {F(s)} = 1 F(s)e st ds. 2πj Intégrale d une fonction complexe sur un contour... Γ Axe imaginaire contour de Bromwich Γ singularités de la transformée Axe réel Γ

45 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable t : RJ + Lf ω(t) + Rf + Kem 2 dω(t) dt LJ + Rf + Kem 2 d 2 ω(t) dt 2 = K em Rf + Kem 2 u(t),

46 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable s : RJ + Lf LJ Ω(s) + Rf + Kem 2 sω(s) + Rf + Kem 2 s 2 Ω(s) = K em Rf + Kem 2 U(s),

47 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Transformée de Laplace : intérêt Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réécriture du modèle du système Pour les systèmes linéaires à temps continu : possibilité de transformer les équations différentielles décrivant l évolution dynamique du système en équations algébriques en s. Relation entrée-sortie du MCC Variable s : ( RJ + Lf LJ 1 + Rf + Kem 2 s + Rf + Kem 2 s 2 ) Ω(s) = K em Rf + Kem 2 U(s),

48 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Soit un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t). Réponse temporelle du système : y(t) = g(t) u(t).

49 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : définition Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Soit un système linéaire invariant d entrée u(t) et de sortie y(t). En appliquant la transformée de Laplace : Y (s) = G(s)U(s). Définition On appelle fonction de transfert du système la transformée de Laplace G(s) de la réponse impulsionnelle : G(s) = Y (s) U(s). Le terme synonyme transmittance est souvent utilisé.

50 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = N(s) m D(s) = i=0 b is i n i=c a is i Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C

51 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = b 0 + b 1 s +... b m s m a c + a c+1 s +... a n s n Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C K = b 0 a c : gain statique

52 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Fonction de transfert : propriétés (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme de la fonction de transfert Dans le cas des systèmes linéaires invariants sans retard la fonction de transfert prend la forme d une fraction rationnelle : G(s) = b m a n m i=1 (s z i) n i=1 (s p i) Caractéristiques : racines de N(s) : m zéros racines de D(s) : n pôles zéros et les pôles C : coefficient de gain b m an

53 Fonction de transfert du MCC donc : G(s) = Ω(s) U(s) = s 2 + RJ+Lf LJ Kem LJ s + Rf +K 2 em LJ. N(s) = K em LJ et D(s) = RJ + Lf s2 + LJ s + Rf + K em 2. LJ

54 Fonction de transfert du MCC Caractéristiques : pas de zéro pôles (tels que D(s) = 0)? On montre (voir annexe cours) : G(s) = Ω(s) U(s) = τ el = L R, τ em = et K = RJ Rf + Kem 2, K em Rf + Kem 2. K τ el τ em ( s + 1 τ el ) ( s + 1 τ em ),

55 Fonction de transfert du MCC Caractéristiques : pas de zéro pôles (tels que D(s) = 0)? On montre (voir annexe cours) : donc deux pôles : G(s) = Ω(s) U(s) = K τ el τ em ( s + 1 τ el ) ( s + 1 τ em ), p 1 = 1 τ el et p 2 = 1 τ em.

56 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Analyse harmonique Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition On se place dans le cas d un système linéaire invariant de fonction de transfert G(s), en régime permanent sinusoïdal de pulsation ω. On appelle G(s = jω) réponse harmonique. Propriété La réponse du système à une entrée sinusoïdale A sin ωt est : y(t) = A G(jω) sin (ωt + Arg{G(jω)}). Analyse harmonique : étude de la fonction G(jω) : comportement fréquentiel du système (signal périodique) diagrammes mettant en correspondance module et argument

57 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes : module en décibels (db) : G db (ω) = 20 log 10 G(jω) argument, généralement exprimée en degrés (deg) : ϕ(ω) = Arg{G(jω)} On utilise traditionnellement les termes de gain et de phase, plutôt que les termes modules et argument.

58 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Intérêt du diagramme de Bode Module d un produit de nombres complexes = produit de leurs modules. Par conséquent : module en db d un produit de nombres complexes = somme de leurs modules en db (propriété du logarithme) : 20 log 10 G 1 (jω)g 2 (jω) = 20 log 10 G 1 (jω) + 20 log 10 G 2 (jω), = G 1dB (jω) + G 2dB (jω). Argument d un produit de nombres complexes = somme des arguments : Arg{G 1 (jω)g 2 (jω)} = ArgG 1 (jω) + ArgG 2 (jω).

59 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Diagramme de Nyquist Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(jω) dans le plan complexe, lorsque ω varie de à +. Remarque Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En général on choisi l échelle du diagramme de Nyquist de sorte que le point complexe d abscisse 1, dit point critique apparaisse et puisse être situé par rapport au lieu de G(jω).

60 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Diagrammes harmoniques (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Lieu de Black-Nichols Le lieu de Black-Nichols est le lieu orienté des points de coordonnées (ϕ(ω), G db (ω)) lorsque ω varie de à +. On tache aussi de faire apparaître le point critique de coordonnées ( 180, 0) sur ce lieu. Remarque Ce diagramme est orienté selon les ω croissants. En général on choisi l échelle du diagramme de Nyquist de sorte que le point complexe d abscisse 1, dit point critique apparaisse et puisse être situé par rapport au lieu de G(jω).

61 Moteur à courant continu Maxon F2260, bobinage 885 Calculer la valeur numérique des paramètres du modèle : G(s) = Ω(s) U(s) = τ el = L R, τ em = et K = RJ Rf + Kem 2, K em Rf + Kem 2. d après la (nouvelle) documentation. Etablir les diagrammes harmoniques. K ( s + 1 τ el τ em τ el ) ( s + 1 τ em ),

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63 20 Diagramme de Bode Amplitude(dB) Phase (deg) Pulsation (rad/s)

64 1 Diagramme de Nyquist 0 1 Axe imaginaire Axe réel

65 20 Lieu de Black Nichols Gain (db) Phase (deg)

67 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Un système linéaire invariant à temps continu d ordre un est décrit par une équation différentielle d ordre un à coefficients constants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t) : y(t) + τ dy(t) dt = Ku(t) où τ et K sont des constantes réelles non nulles ; τ est la constante de temps du système et K son gain statique. La réponse indicielle est y(t) = α + βe t τ constantes réelles dépendant des CI. avec α et β deux

68 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable

69 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable A l instant t = 0 : y(0) = α + β.

70 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable Quand t, dy(t) dt = 0 : lim t = K, et lim y(t) t = α.

71 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable soit les paramètres : α = K, β = y(0) K.

72 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Détermination des paramètres de : y(t) = α + βe t τ. terme constant : régime permanent de la sortie une partie variable : régime transitoire cas τ > 0 : stable Finalement : y(t) = K (1 e t τ ) + y(0)e t τ.

73 16 Réponse indicielle Amplitude Temps (s) Réponse indicielle d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10 pour différentes CI

74 100 % 95 % Réponse indicielle 63 % Amplitude τ 3 τ Temps Caractéristiques générales de la réponse indicielle d un système du premier ordre

75 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert d un système du premier ordre est donc : G(s) = Y (s) U(s) = K 1 + τs. Réponse harmonique La réponse harmonique associée est : G(jω) = Description de la réponse harmonique : K 1 + jτω. étude du comportement asymptotique du régime permanent sinusoïdal extrapolation par des valeurs choisies

76 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du premier ordre (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Description de la réponse harmonique : G(jω) = K 1 + jτω. ω G(jω) gain gain phase équivalent (db) (deg) ω 1 τ, soit ωτ 1 K K K db = 20 log 10 K 0 1 τ ω 1 jk, soit ωτ 1 τ K 1 + j τω K 2 K db 3 45 K ω K db 20 log 10 τ 20 log 10 ω 90

77 Diagramme de Bode K 20 db 3 db Amplitude(dB) db/décade Phase (deg) ω c Pulsation (rad/s) Diagramme de Bode d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

78 Lieu de Black Nichols 20 K db Gain (db) Phase (deg) Lieu de Black-Nichols d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

79 1 Diagramme de Nyquist 0 1 Axe imaginaire K Axe réel K/2 = 5 Diagramme de Nyquist d un système du premier ordre de constante de temps τ = 0, 01 s et de gain statique K = 10

80 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Définition Un système linéaire invariant à temps continu d ordre deux est décrit par une équation différentielle d ordre deux à coefficients constants reliant son entrée u(t) et sa sortie y(t). On considère des systèmes dont l équation différentielle se met sous la forme canonique : ω 2 n y(t) + 2ξω n dy(t) dt + d 2 y(t) dt 2 = K ω 2 n u(t), où ξ et K sont des constantes réelles strictement positives et ω n une constante réelle non nulle ; ξ : coefficient d amortissement, ω n : pulsation naturelle et K : gain statique.

81 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI.

82 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI. ξ 1 : aucune oscillation

83 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Réponse indicielle fonction de la valeur de ξ : α + βe ξωnt sin( 1 ξ 2 ω n t + ϕ), si 0 < ξ < 1, α + (β + γt)e ξωnt, si ξ = 1, α + βe (ξ+ ξ 2 1)ω nt + γe (ξ+ ξ 2 1)ω nt, si ξ > 1, avec α, β, γ R dépendant des CI. ξ 1 : aucune oscillation ξ < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsation fixe ω p = 1 ξ 2 ω n, dont l amplitude décroît exponentiellement vers zéro. On appelle ω p pseudo-pulsation ou pulsation amortie.

84 16 Réponse indicielle 14 ξ= 0,2 Amplitude ,42 0,71 1 1,5 4 3, Temps (s) Réponses indicielles d un système du second ordre pour différentes valeurs du coefficient d amortissement

85 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (3) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Temps de réponse Pas de loi simple : abaques ou simulation. Approximation: deux pôles réels, associés à deux constantes de temps (τ 1 > τ 2 ) t 5% 3τ 1 deux pôles complexes : la réponse indicielle est comprise à l intérieur d une enveloppe exponentielle connue : e ξωnt. t 5 % < 3 ξω n

86 Temps de réponse à 5 % d un système du second ordre de coefficient d amortissement 0, 6 et d un premier ordre de constante de temps 1 ξω n 12 Réponse indicielle 10 8 Amplitude Temps (sec)

87 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (4) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Premier dépassement (cas pseudo-oscillant) Formes analytiques : t 1 = 2π, D 1 = e 1 ξ 2 ω n ξπ 1 ξ 2. Compromis optimal amortissement-rapidité est obtenu pour : ξ = 2 2 0, 7 D 1 % = 5 % de la valeur finale et donc t 1 = t 5 %.

88 Amplitude du premier dépassement (%) Amortissement Correspondance entre premier dépassement (D 1% ) et coefficient d amortissement, pour un système du second ordre

89 Correspondance entre le temps de réponse à 5% normalisé ω n t 5% et le coefficient d amortissement ξ, pour un système du second ordre

90 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 :

91 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 : p 1,2 = (ξ ± j 1 ξ 2 )ω n si 0 < ξ 1 et p 1,2 = (ξ ± ξ 2 1)ω n si ξ 1.

92 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (5) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Fonction de transfert La fonction de transfert du système du second ordre est : G(s) = Y (s) U(s) = K ω 2 n ω 2 n + 2ξω n s + s 2. Pôles = solutions de ω 2 n + 2ξω n s + s 2 = 0 : Axe imaginaire p 1 ω n ω n 1 ξ 2 cos(ψ) = ξ ψ 0 Axe réel ξω n p 2 -ω n 1 ξ 2

93 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Systèmes du second ordre (6) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Description de la réponse harmonique : G(jω) = K ω 2 n ω 2 n ω 2 + 2jξω n ω. ω G(jω) gain gain phase équivalent (db) (deg) ω ω n K K K db = 20 log 10 K 0 ω n ω ω n K 2jξ K ω 2 n ω 2 K 2ξ K db 6 20 log 10 ξ 90 K ω 2 n ω 2 K db + 40 log 10 ω n 40 log 10 ω 180

94 Diagramme de Bode K 20 db Amplitude(dB) 0 ξ= 0,2 20 0,42 0, ,5 3, db/décade Phase (deg) Pulsation (rad/s) Diagramme de Bode d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable ω c

95 30 Lieu de Black Nichols K db ξ= 0,2 0,42 0,71 1 1,5 Gain (db) , Phase (deg) Lieu de Black-Nichols d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable

96 Diagramme de Nyquist 0 5 ξ= 0,2 0,42 0,71 1 1,5 3,48 Axe imaginaire K= Axe réel Diagramme de Nyquist d un système du second ordre K = 10, ω n = 100, ξ variable

97 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj

98 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj Termes du premier ordre : pôles et zéros réels

99 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (1) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Forme générique d une fonction de transfert : G(s) = K s c p i=1 (1 + τ is) q i=p+1 (1 + 2 ξ i ω ni s + 1 ω 2 s 2 ) ni p j=1 (1 + τ js) q j=p +1 (1 + 2 ξ j ω nj s + 1 ω 2 s 2 ). nj Termes du premier ordre : pôles et zéros réels Termes du second ordre : pôles et zéros complexes conjugués

100 Simplification du modèle du MCC Modèle du second ordre : G(s) = Modèle du premier ordre : 9, 8975 (1 + 0, 0184s)(1 + 0, 0004s). G(s) = 9, , 0184s. Réponse harmonique relative au pôle dominant? G 1 (jω) = , 0184jω, Réponse harmonique relative au pôle secondaire? G 2 (jω) = , 0004jω

101 K db = 20 0 ( 1) ω Amplitude (db) ( 1) ( 2) ( 1) 0 1 τem 1 τel ω Phase (deg) G(jω) asymptotique G(jω) réel G 1(jω) asymptotique G 2(jω) asymptotique

102 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : pôles réels Lorsque deux pôles sont suffisamment distincts le pôle le plus près de l axe des imaginaires, c est-à-dire le plus petit en valeur absolue, associé à la constante de temps la plus lente, est prépondérant. Si l on doit faire une approximation pour simplifier l étude d un système, dont le modèle est d ordre élevé, on négligera donc les pôles les plus rapides. Si les pôles sont proches, il peut devenir plus hasardeux d effectuer une telle simplification.

103 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : pôles complexes conjugués On pourra, de même considérer que la dynamique liée à une paire de pôles complexes conjugués est négligeable devant celle liée à un pôle simple ou à une autre paire de pôles complexes conjugués si la pulsation naturelle associée à cette paire est grande devant la pulsation naturelle de l autre paire, ou devant la pulsation associée au pôle simple.

104 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Simplification de modèles (2) Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires Règles générales : zéros Cas similaire : on simplifiera les zéros entre eux de la même manière. En revanche, on procédera avec prudence pour ce qui est de négliger un zéro prépondérant au vu de la valeur des pôles.

105 Plan Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

106 Plan Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu 1 Systèmes à temps continu Propriétés des systèmes à temps continu Réponses des systèmes à temps continu Représentation des systèmes à temps continu Systèmes à temps continu élémentaires 2 Systèmes asservis à temps continu Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu

107 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton...

108 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton... Après la douche brûlante, la douche à deux robinets...

109 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu A la douche... Douche à un bouton... Après la douche brûlante, la douche à deux robinets enfin, un thermostat et c est réglé!

110 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Cas du MCC Equations électriques et mécaniques : U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s), E(s) = K em Ω(s), Γ(s) = (f + Js)Ω(s), Γ(s) = K em I(s). U(s) + E(s) 1 R + Ls I(s) Γ(s) Ω(s) 1 K em f + Js K em

111 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Notion de système asservi (3) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Cas du MCC (bis) Equations électriques et mécaniques : U(s) = E(s) + (R + Ls)I(s), E(s) = K em Ω(s), Γ(s) Γ r (s) = (f + Js)Ω(s), Γ(s) = K em I(s). U(s) + E(s) 1 R + Ls I(s) Γ r (s) Γ(s) + 1 K em f + Js Ω(s) K em

112 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (1) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma général d un asservissement à temps continu perturbation référence + erreur correcteur commande procédé sortie mesure capteur bruit

113 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations

114 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y r (s) : référence (ou grandeur de consigne)

115 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y (s) : sortie (ou grandeur réglée)

116 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations Y m (s) : mesure

117 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations E(s) : erreur (ou écart) de l asservissement

118 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations C(s) : correcteur

119 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations U(s) : commande du procédé

120 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations P(s) : perturbation

121 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations B(s) : bruit de mesure

122 Systèmes à temps continu Systèmes asservis à temps continu Schéma d un système asservi (2) Description des systèmes asservis à temps continu Stabilité et précision des systèmes à temps continu Commande des systèmes à temps continu Schéma bloc P(s) Y r (s) + E(s) U(s) + + Y (s) C(s) G 1(s) G 2(s) Y m(s) H 2(s) + H 1(s) + B(s) Vocabulaire et notations CG(s) = C(s)G 1 (s)g 2 (s) : fonction de transfert de la chaîne directe (ou chaîne d action)

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