Epreuve de mathématiques Durée : 3h

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1 Bac blanc n 2 Terminale ES Epreuve de mathématiques Durée : 3h Candidat ayant choisi la spécialité mathématique Les calculatrices sont autorisées mais l échange de calculatrice entre candidats est interdit. Une seule calculatrice est autorisée sur la table. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Exercice 1 : (6 points) On donne les fonctions f et g, définies sur [1 ; + [ par : f( x) = 1,1x+ lnx ln( x+ 1) et gx ( ) = 1,1x+ 1 x On désigne par (C ) et (C ') leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm. La courbe (C ') est donnée en annexe ; Partie A 1. Etudiez les variations de f sur [1 ; + [ 2. Trouvez la limite en + de ln x ( x + 1) Déduisez-en la limite de f en Montrez que la droite (D) d'équation y = 1,1x est une asymptote de la courbe (C). Etudiez la position de (C) par rapport à (D). 4. Tracez (C) et (D) sur le même graphique que la courbe (C ') qui est fourni en annexe. Partie B Les fonctions f et g données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise. Plus précisément, si t est la date exprimée en semaines, f(t) est la quantité d'objets produits à la date t en milliers et g(t) la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers. 1. Lorsque l'on a f(t) > g(t), on dit que "la demande est satisfaite à la date t". Démontrez que la demande n'est jamais satisfaite. 2. On considère que le "niveau de fabrication est suffisant" lorsque moins de 20 demandes d'objets ne sont pas satisfaites, c'est à dire lorsque l'on a : g(t) - f(t) < 0,02. En admettant que g - f est une fonction strictement décroissante sur [1 ; + [, à partir de quelle date le niveau de fabrication est-il suffisant? Page 1/5

2 Exercice 2 : (5 points) Partie A - Étude d'une suite On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 900 et, pour tout entier naturel n, par : u = n 1 0, 6u + + n Calculer u 1 et u 2 2. On considère la suite ( v n ) définie, pour tout entier naturel n, par : vn = un 500 a. Démontrer que ( v n ) est une suite géométrique dont on donnera le terme et la raison. Exprimer v n en fonction de n. En déduire que u 400 0,6 n n = b. Déterminer la limite de la suite ( u n ) Partie B - Application économique Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1 er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l'année Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l'évolution de cette population les années suivantes. 1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en Calculer le nombre de clients de A en b. On note a n le nombre de clients de A l'année ( n). Établir que an = 0,8an + 0,2(1000 a n ). En déduire que a = n 1 0,6 a + + n En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays? Page 2/5

3 Exercice 3 : (5 points) Lors d'une kermesse, dans un stand sont disposées trois roues. Chaque roue est divisée en douze secteurs de même aire. Une roue étant lancée, elle s'arrête aléatoirement face à la flèche sur un seul secteur. On admettra que tous les secteurs ont la même probabilité d'être «tirés». Pour participer, un joueur choisit l'une des trois roues, acquitte la mise correspondant à la roue choisie, puis lance cette roue. Si le secteur «tiré» est grisé, le joueur reçoit le gain correspondant à la roue choisie. 1. Le gain algébrique du joueur, noté g, est le gain de la loterie diminué de la mise. a. Pour un joueur qui a choisi la roue R1, calculer la probabilité de gagner 6,50, puis celle de perdre 1,50. En déduire le gain algébrique moyen espéré par tout joueur qui fait le choix de cette roue. b. Un joueur dit «avec la roue R2, le jeu est équitable». Qu'en pensez-vous? 2. Les organisateurs de la kermesse remarquent que 1 6 des joueurs ont choisi la roue R1, 1 3 la roue R2 et les autres la roue R3. On interroge au hasard une personne qui a participé au jeu. Soit les évènements : A : «La personne a choisi la roue R1», B : «La personne a choisi la roue R2», C : «La personne a choisi la roue R3», G : «La personne a gagné» (c'est-à-dire qu'un secteur grisé a été «tiré»). a. Donner la probabilité des évènements A et B. En déduire la probabilité de l'évènement C. b. Préciser les valeurs de : p (G) A, p (G) B et p (G) C. c. Calculer la probabilité de l'évènement : «La personne a choisi la roue R2 et elle a gagné» (on pourra traduire les données l'aide d'un arbre pondéré). d. Démontrer que la probabilité de l'évènement : «La personne a gagné» est égale à e. Sachant que la personne n'a pas gagné, quelle est la probabilité qu'elle ait joué avec la roue R3? Page 3/5

4 Exercice 4 : (4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, numérotées de 1 à 8, dire si elle est vraie ou fausse, sans justification. A chaque affirmation est affecté un nombre de points : une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés ; une absence de réponse ne rapporte ni n enlève rien. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Soient f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 2 ; 4] et F une primitive de f sur O;OI,OJ l intervalle [ 2 ; 4]. Le plan (P) est muni d un repère orthonormal ( ) La courbe (C) ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f dans le plan (P). La courbe (Γ) ci-dessous est la courbe représentative de la fonction F dans le plan (P). On précise que les points B (3 ; 4,5), O (0 ; 0) et G(2 ; 0) sont des points de la courbe (C) et que la droite (OA) est tangente en O à la courbe (C) où A(1 ; 3). On précise que les points D( 2 ; 12) ; E ( 1 ; 4) ; M (0 ; 2) ; H (2 ; 4) ; K (4 ; 6) ; L (3 ; 2) sont des points de la courbe (Γ). 1. La courbe (C) est la courbe représentative de la fonction dérivée de la fonction F. 2. f '(0) = F '(2) = La fonction f est négative ou nulle sur l intervalle [1 ; 4]. 5. La fonction f est positive ou nulle sur l intervalle [0 ; 2]. 6. Le coefficient directeur de la tangente en L à la courbe (Γ) est On note A l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan (P) délimitée par l axe des 8. abscisses, la courbe (C), l axe des ordonnées et la droite d équation x = 2. On a A = 1. Page 4/5

5 NOM : Classe : ANNEXE à rendre avec la copie Exercice 1 Page 5/5