Caractérisation de la vulnérabilité physique des structures en béton armé à l'aide d'approches numériques

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1 Caractérisation de la vulnérabilité physique des structures en béton armé à l'aide d'approches numériques Projet ANR MOPERA Session de formation : «Méthodes statistiques pour la gestion à long terme du risque avalanche» D. Bertrand Maître de Conférences à l INSA de Lyon Laboratoire LGCIE (Labo. de Génie Civil et Ingénierie Environnementale) P. Favier et I. Ousset Doctorantes Irstea/INSA N. Eckert Chargé de Recherches Irstea M. Naaim Dir. de Recherches Irstea 1

2 Contexte Plan La «mesure» du risque Caractérisation de l aléa et de la vulnérabilité de l enjeu exposé Le béton armé Description physique et mécanique Les approches de modélisation «Ingénieur GC» : BAEL ou EC2 Equivalence Masse-ressort Méthode des Eléments Finis (FEM) Récapitulatif/Conclusion 2

3 Contexte Analyse de l aléa Analyse de la vulnerabilité de l enjeu Analyse du risque La «mesure» du risque 3

4 Contexte Mécanique des fluides : modèles de propagation (cf. M. Naaim) Analyse de la vulnerabilité de l enjeu Analyse du risque La «mesure» du risque 4

5 Contexte Mécanique des fluides : modèles de propagation (cf. M. Naaim) Mécanique des structures : objet de l intervention Analyse du risque La «mesure» du risque 5

6 Contexte Mécanique des fluides : modèles de propagation (cf. M. Naaim) Mécanique des structures : objet de l intervention Méthodes statistiques : Théorie statistique du risque (cf. N. Eckert, / P. Favier) Fiabilité des structures (cf. P. Favier) La «mesure» du risque 6

7 Contexte Avalanche multi-couches Interface Méca. Flu. / Méca. Struct. Interaction avec un obstacle Champ de pression L aléa : l avalanche de neige 7

8 Hauteur (m) Pression (kpa) Contexte Schaer et Issler (2001) Evolution temporelle de la pression sur un mât de 20m m Thibert et al. (2008) Sovilla et al. (2007) Profil de pression suivant la hauteur Evolution dans le temps Temps (s) Mesures in-situ très utiles pour le choix du profil de pression a appliquer mais restant encore trop peu nombreuses pour être utilisées de manière statistique L aléa : mesures expérimentales in-situ Hypothèse de calcul : champ de pression uniformément réparti (sens de la sécurité) et temps caractéristiques de variation moyens respectés 8

9 Contexte - Technologie de structure (elements structuraux, assemblage, etc.) - Properties mécaniques des matériaux utilisés Maçonnerie Béton armé Structures métalliques Structures bois Exemple de structures de bâtiment Les enjeux et leurs vulnérabilités 9

10 Contexte Structures de protection Structures non conventionnelles Structures de bâtiment Exemple de structures en béton armé 10

11 Le béton armé Un essai de flexion décrivant la phénoménologie Armatures en acier Béton Poutre BA Fissures Aspects physiques et mécaniques 11

12 Réponse du béton f t = Le béton armé Un matériau composite f c = f c 10 f t (comportement dissymétrique) Traction simple Compression simple Réponse de l acier f u f y f y 400 MPa Traction / Compression simple (comportement symétrique) Aspects physiques et mécaniques 12

13 Le béton armé Structure de bâtiment usuelle 13

14 Le béton armé Dalle/Plancher Voile/Refend Poutre Poteau Classes d éléments structuraux 14

15 Force Le béton armé Phase 3 : Ecoulement plastique des aciers Phase 2 : Développement de la fissuration Phase 1 : Etat non fissuré Déplacement Réponse mécanique usuelle d un élément BA 15

16 Force Le béton armé d d1 d d2 d d3 d d4 Déplacement Courbe de capacité de la structure (ou PUSHOVER) Identification de niveaux de dommage (d d1, d d2, d d3, etc.) en fonction du déplacement atteint (d max ) Définition d un indice de dommage (d max / d di ) Définition de la vulnérabilité structurelle dans MOPERA 16

17 Approches de modélisation Voile BA qui «fonctionne» comme une dalle BA en flexion simple (i.e. Moments de flexion et Tranchants # 0) Choix de l objet d étude 17

18 Approches de modélisation Fissures Réponse en flexion (poutre «longue») Réponse en cisaillement (poutre «courte») Chargement réparti + élancement des dalles considérées : Mode de ruine en flexion est privilégié => dépassement des moments fléchissant admissibles Mode de ruine supposé 18

19 Approches de modélisation Données nécessaires à chaque approche de modélisation P y - Géométrie de la dalle - Pression de chargement (uniformément répartie) - Conditions aux limites - Caractéristiques mécaniques du béton et de l acier x h z Définition des grandeurs 19

20 Approches de modélisation Données nécessaires à chaque approche de modélisation P y - Géométrie de la dalle - Pression de chargement (uniformément répartie) - Conditions aux limites - Caractéristiques mécaniques du béton et de l acier x h z Définition des grandeurs 20

21 Approches de modélisation Données nécessaires à chaque approche de modélisation P y - Géométrie de la dalle - Pression de chargement (uniformément répartie) - Conditions aux limites - Caractéristiques mécaniques du béton et de l acier x h z Définition des grandeurs 21

22 Approches de modélisation Données nécessaires à chaque approche de modélisation P y - Géométrie de la dalle - Pression de chargement (uniformément répartie) - Conditions aux limites - Caractéristiques mécaniques du béton et de l acier x h s s z Béton e Acier e Définition des grandeurs 22

23 Approche «Ingénieur GC» Méthode - Calcul des efforts internes (M xx et M yy ) - Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.) - Vérification de la résistance par équilibre de sections Hypothèses - Conditions statiques - Estimation des moments de flexion à partir d une analyse élastique Méthodologie 23

24 Approche «Ingénieur GC» Méthode - Calcul des efforts internes (M xx et M yy ) - Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.) - Vérification de la résistance par équilibre de sections Approche classique de l ingénieur (BAEL / EC2) 24

25 Approche «Ingénieur GC» Méthode - Calcul des efforts internes (M xx et M yy ) - Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.) - Vérification de la résistance par équilibre de sections Exemple de l abaque de Barès (1969) Equilibre de sections 25

26 Approche «Ingénieur GC» Méthode - Calcul des efforts internes (M xx et M yy ) - Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.) - Vérification de la résistance par équilibre de sections M xx y x e xx s xx / Forces Exemple avec une poutre soumise à un moment fléchissant M xx Vérif : Es-ce que M xx est équilibré par la distribution de contraintes s xx? Equilibre de sections 26

27 Approche «Ingénieur GC» Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée à un mécanisme de rupture (analyse «parfaitement» plastique) P Cas d une poutre en acier Théorie des lignes de rupture 27

28 Approche «Ingénieur GC» Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée à un mécanisme de rupture (analyse «parfaitement» plastique) P Développement d un moment plastique (M p ) Cas d une poutre en acier Théorie des lignes de rupture 28

29 Approche «Ingénieur GC» Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée à un mécanisme de rupture (analyse «parfaitement» plastique) P Moment plastique totalement développé Cas d une poutre en acier Théorie des lignes de rupture 29

30 Approche «Ingénieur GC» Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée à un mécanisme de rupture (analyse «parfaitement» plastique) P Exemple d une rotule plastique dans de l acier Moment plastique totalement développé C est un terme abusif car la rotation n est pas libre (M p = cte # 0) Détermination de la charge ultime : W extérieur = W intérieur P du = M p q où - M p est le moment plastique de la section du le déplacement de la charge par rapport à sa position initiale Théorie des lignes de rupture 30

31 Approche «Ingénieur GC» Appuis simples Encastrement Ligne de rupture «positive» Axes de rotation Poteau Axes de rotation Ligne de rupture «négative» Côté libre Théorie des lignes de rupture 31

32 Approche «Ingénieur GC» Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée à un mécanisme de rupture (analyse «parfaitement» plastique) Exemple : optimisation par rapport à a 1 Théorème cinématique : Toute charge de ruine Q i à laquelle correspond un mécanisme de ruine cinématiquement admissible est supérieure ou égale à la charge ultime réelle Q u Théorie des lignes de rupture 32

33 Approche «Masse-Ressort» Avantages - Calcul dynamique - Prise en compte des effets d inertie potentiels - Description dans le temps du chargement (P(t)) Inconvénients - Conditions aux limites réduites - Problèmes 3D plus complexe à traiter h Champ de pression dû à l avalanche Dalle simplement appuyée b y z x p(t) p(t) L 0 y L/2 L x Méthode MR 33

34 Approche «Masse-Ressort» p(t) p(t) L F ext (t) = p(t) L 0 y L/2 L x M eq w o R w o M eq Equilibre mécanique K eq M eq w o = p(t) L R y à résoudre dans le temps Equivalence Masse-Ressort 34

35 Approche «Masse-Ressort» Equivalence en termes d énergie cinétique avec dans le cas élastique Exemple du cas élastique Calcul de la masse équivalente 35

36 Approche «Masse-Ressort» Extrait de Biggs et al. (1964) Deux régimes principaux : Elastique et plastique 36

37 Approche «Masse-Ressort» Deux régimes principaux (Elastique et plastique) Hypothèse : Courbe Force-Déplacement bilinéaire en statique Force / Depl. sortie du domaine élastique Force / Depl. ultime Raideur en phase élastique Raideur en phase plastique Réponse supposée en Force-Déplacement 37

38 Approche «Masse-Ressort» En statique En phase élastique avec En phase élasto-plastique avec Courbe construite à partir d équilibre de la section et des lois de comportement de l acier et du béton Déduction a partir de la loi Moment-Courbure 38

39 Approche «Masse-Ressort» z Béton Acier s xx f y E a Acier E a e xx s xx f c f t E b supposée nulle Béton e xx e c y e exc d h/2 x y 0 e xx (y) dh F i d i e exc Compression y Traction e s y Distribution de déformations longitudinales Construction de la loi Moment-Courbure Calcul des forces : Discrétisation de la section 39

40 Approche «Masse-Ressort» Pour (Phase élastique) Pour (Phase élasto-plastique) Equations différentielles résolues dans le temps à l aide de schémas d intégrations de Newmark. Equations du mouvement 40

41 Approche «Masse-Ressort» T fin Illustration 41

42 Approche «Masse-Ressort» T fin =1s T fin =5s Réponse dynamique Réponse plutôt dynamique T fin =10s T fin =100s Réponse plutôt Quasi-statique Réponse Quasi-statique Illustration 42

43 Approche «Eléments finis» Contact de billes sur un arbre Simulation de la dent déflectrice de Taconnaz Structure de Bâtiment type «Poteaux - Poutres» Crash test auto Exemples FEM (Finite Element Method) 43

44 Approche «Eléments finis» Equation d équilibre local en statique Loi de comportement Conditions aux limites Exemple de l élasticité plane Equations du problème 44

45 Approche «Eléments finis» Forme variationnelle et discrétisation plane 45

46 Approche «Eléments finis» Pour un élément e définis par le domaine w e, on peut écrire pour tout point M : M i ème composante du champ Nœuds de l élément Valeur au nœud a de la composante i du déplacement. Fonction de forme (ou d interpolation) Résolution élémentaire 46

47 Approche «Eléments finis» Fonctions de forme linéaires. Exemple de fonction d interpolation pour un TRI3 47

48 Approche «Eléments finis» Sommation sur l ensemble des éléments puis obtention du système linéaire à résoudre REMARQUE : Dans un problème de dynamique, apparaissent les matrices de masse et d amortissement (si considéré). Ecriture du système à résoudre 48

49 Approche «Eléments finis» Où q / q / q sont les déplacements/vitesses/accélérations des nœuds du maillage à l instant n+1 En plus, en fonction du problème, prise en compte des non linéarités : - Géométriques (grands déplacements/déformations) - Matériau (plasticité / endommagement / etc.) - Contact En Dynamique!!! Et avec les NL matérielles! 49

50 Approche «Eléments finis» Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz 50

51 Approche «Eléments finis» Modèle réduit (1/6) expérimental d une dent de Taconnaz 51

52 Approche «Eléments finis» Eléments finis utilisés Acier : SEG2 Beton : QUA8 Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz 52

53 Approche «Eléments finis» Surface de charge Surface de charge Béton Réponse uniaxiale Réponse uniaxiale Acier Lois de comportement Acier et Béton (Exemple loi CEA) 53

54 Approche «Eléments finis» Paramètres de simulation Zones dégradées Comparaison FEM / Expérience Réponse de PUSHOVER 54

55 Approche «Eléments finis» d max : déplacement max. pour une pression donnée d u : déplacement max. ultime Effet du taux de renforcement sur la vulnérabilité de la structure 55

56 Approche «Eléments finis» 3m GP4P3 GP7P3 Poteau 3m LP43 LP73 Poutre GP4P2 GP7P2 Pression P(t) 3m LP42 LP72 GP4P1 GP7P1 2.75m LP41 GP4P0 GP7P0 LP71 Structure de bâtiment type «Poteaux-Poutres» 56

57 Approche «Eléments finis» 26.25cm f12 50cm 35cm Armature d acier f8 25cm 25cm f13 Béton 25cm Section de poutre avec dalle collaborante Section de poteau Structure de bâtiment type «Poteaux-Poutres» 57

58 Approche «Eléments finis» Chargement appliqué par une pression évoluant de manière linéaire et monotone 2 Réponse Quasi-Statique (vitesse de sollicitation très faible) Structure de bâtiment type «Poteaux-Poutres» 58

59 Approche «Eléments finis» Pression P max = 60kPa t fin Temps Vitesse de chargement augmente => développement d effets inertiels Hypothèses de calcul fonction des temps caractéristiques de réponse de la structure et de l évolution dans le temps de la pression due à l avalanche Effet de la vitesse de chargement en dynamique 59

60 Récap. / Conclusion Risque = Aléa x Vulnérabilité Vulnérabilité physique de structures de bâtiment ou de protection en béton armé Plusieurs modèles plus ou moins sophistiqués disponibles Equilibre de sections / Lignes de rupture Modèle Masse-Ressort Modèle éléments finis Courbes de vulnérabilité via des courbes de PUSHOVER Cadre statistique : estimation de la probabilité de défaillance via des courbes de fragilité Notion de fiabilité (cf. P. Favier) Faisabilité des simulations : Adéquation nécessaire entre méthode fiabiliste et modèles déterministes Ce qu il faut retenir 60

61 Merci pour votre attention! Des questions? ANR MOPERA 61