Filtre de Kalman pour le suivi Version alpha (powerpoint+tableau noir)

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1 Filtre de Kalman pour le suivi Version alpha (powerpoint+tableau noir) Filtre de Kalman 1

2 Le suivi? Suivre = inférer le mouvement d'un objet à partir d'une séquence d'images. Applications : Capture du mouvement : Enregistrement des mouvements pour restitution ( avatars) ou analyse (Mouvement dancé (S. Boukir)) Reconnaissance à partir du mouvement : caractériser un objet à partir de son déplacement (lent ou rapide, rectiligne ou sinueux ) (aqu@thèque) Suivi d'objet pour l' identifier : recherche d' attributs discriminants (aqu@thèque) Surveillance : -détection d'intrusion -détection de mouvements inhabituels : prévention d'accidents dans les aéroports par identifications de motifs (séquences) répétitifs. Militaire : détection du mouvement et prédiction de la position Filtre de Kalman 2

3 Introduction Exemple 1 : Estimer la position (centre de gravité) d un objet sur une image Une 1ère méthode (détection de contour) Une 2ème méthode (seuillage) Comment tenir compte, au mieux, des 2 infos? -Les 2 sont aussi précises : -une seule fiable : la prendre seule -Entre les 2 : moyenne pondérée Comment pondérer? Filtre de Kalman 3

4 Pondération? précision poids imprécision variance précision 1/variance Choix des distributions (et des variances)? «expérience», «modèle» : Bayésien Filtre de Kalman 4

5 gain innovation Filtre de Kalman 5

6 Pondération Filtre de Kalman 6

7 Exemple 2 : Estimer la position (centre de gravité) d un objet sur une image Une seule méthode prédiction à partir d un modèle de déplacement Imprécision sur la vitesse Sans observations la variance augmente à chaque image!! Filtre de Kalman 7

8 Exemple 3 : Estimer la position (centre de gravité) d un objet sur une image Une 1ère méthode (détection de contour) Une 2ème méthode prédiction à partir d un modèle de déplacement Comment tenir compte, au mieux, des 2 infos? On prédit la position puis on corrige par l observation Filtre de Kalman 8

9 Suivre! Faire du suivi c est résoudre essentiellement 3 problèmes : Prédire : nous avons les observations aux instants (= images) 0 t-1 que peut-on prévoir à t? Associer les données (data association) : parmi toutes les observations à l instant t lesquelles nous renseignent effectivement sur l état de l' objet? (problème de distraction de l algorithme) Corriger : prise en compte simultanée de l' observation à l instant t et de la prédiction. Filtre de Kalman 9

10 Modèles espace-état Ces modèles font la distinction entre les variables : Observées ( le signal) = mesures Cachées (état interne) = états Constitués de : équations de mesure : -variables observées = variables cachées + bruit bruit d'observation (de mesure) -variables cachées = variables cachées + bruit bruit de processus (d' innovation) Hypothèses complémentaires : -les 2 équations sont linéaires -les bruits sont : -Blancs (le plus souvent gaussien) =Indépendants entre eux et avec les variables d états Filtre de Kalman 10

11 Rappels de probabilités Définition des probabilités conditionnelles : Bayes Filtre de Kalman 11

12 Bayes C'est une forme couramment utilisée en statistiques bayésiennes : Hypothèse mesure (evidence) Information contextuelle Filtre de Kalman 12

13 Bayes 2 Probabilité a posteriori Probabilité a posteriori = Constante de normalisation Car indépendante de l hypothèse Vraisemblance de l observation Filtre de Kalman 13

14 Distribution prédictive Filtre de Kalman 14

15 Quelques rappels sur les distributions normales ENTIEREMENT DETERMINEE PAR MOYENNE ET VARIANCE Quelques propriétés : Le produit de 2 distributions normales est normal Filtre de Kalman 15

16 Quelques rappels sur les distributions normales ENTIEREMENT DETERMINEE PAR MOYENNE ET VARIANCE MOYENNE = MODE = MEDIANE Filtre de Kalman 16

17 Quelques rappels sur les distributions normales Quelques propriétés : Le produit de 2 distributions normales est normal avec Filtre de Kalman 17

18 Position du problème Notations : état observations Pour chercher la meilleure approximation de l état x t, on peut : Prédire : utiliser les observations passées Lisser : utiliser les observations passées,présentes et futures filter : utiliser les observations passées et présentes Filtre de Kalman 18

19 Markov Hypothèse Markovienne : L état courant ne dépend que de l état précedent L observation courante ne dépend que de l état courant C est une hypothèse très (toujours?) faite en suivi. - Peu sembler restrictive mais pas tant que ça en fait : l état courant contient l information des étapes précédentes Filtre de Kalman 19

20 Prédiction/correction On cherche l état courant sachant les observations de l instant 0 à t Bayes 2 Par hypothèse ne dépend que de Connu par hypothèse Distribution prédictive? Par hypothèse ne dépend que de Filtre de Kalman 20

21 Prédiction/correction D où le schéma très simple («récursif») et très général : t t-1 On peut propager la probabilité conditionnelle a posteriori (si on la connaît à t=0) Mais le problème n est pas simple dans le cas général : forme et paramètres (s il existe une forme paramétrique ) à déterminer Dans le cas général : méthode d échantillonnage + Monte-Carlo i.e. Condensation (filtrage particulaire) en t.i. Filtre de Kalman 21

22 Un cas particulier Comme le cas général est difficile, on fait des hypothèses : On connaît la distribution (modèle) et ses paramètres a priori à t=0 On sait comment l état interne (caché) produit l observation : C est une fonction linéaire Distributions normales + fonction linéaire => normales Distributions normales normales récursivement (produit) Filtre de Kalman 22

23 Rudolf Emil KALMAN -Né en 1930 en Hongrie -Etudiant au MIT ( ) -Thèse en 1957 (Université de Columbia) -Article fondateur pour «le» filtre 1960 Kalman, R.E. A new approach to linear ltering and prediction problems. Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering, 82 (Series D):35-45, Modèle espace-état -Actuellement à la retraite Filtre de Kalman 23

24 Filtre de KALMAN (discret) Estime un état à l instant! États non observés directement, Observations à l instant, Les matrices Q et R sont fixées pour l instant Filtre de Kalman 24

25 Filtre de KALMAN (discret), donc, donc Il faut en estimer la moyenne et la covariance Filtre de Kalman 25

26 Filtre de KALMAN t =0 Prédiction de la moyenne Prédiction de la covariance t t+1 Calcul du gain M.a.j. de la moyenne M.a.j. de la covariance Filtre de Kalman 26

27 Filtre de Kalman Remarques : Les matrices A,B,Q,R et P sont définies semi-positives : la forme est préférable (car toujours def. Positive) à la forme : Filtre de Kalman 27

28 Filtre de Kalman Filtre optimal récursif de traitement de données : Du point de vue des probabilités (Bayes) utilise l ensemble des informations Distributions normales : moyenne=mode=médiane C est le «meilleur» estimateur ponctuel Le même résultat peut-être obtenu en cherchant l estimateur de max. de vraisemblance (BLUE=Best Linear Unbiased Estimator) Récursif : Utilise les données à t et les résultats à t-1 stockage minimal de données Filtre de Kalman 28

29 Exemple Estimation d une constante (50 tirages) : Peu sensible R optimal Filtre de Kalman 29

30 Exemple Estimation d une constante (50 tirages) : Q doit être choisi «petit» Le filtre colle aux données Filtre de Kalman 30

31 Exemple Estimation d une constante (50 tirages) : Convergence ralentie Filtre de Kalman 31

32 Exemple Estimation d une constante (50 tirages) : Colle au données Filtre de Kalman 32

33 Evolution du gain Décroît très rapidement Indépendant des observations Filtre de Kalman 33

34 Evolution de P Décroît très rapidement Filtre de Kalman 34

35 Evolution de P Décroît très rapidement Indépendant des observations K et P peuvent être calculés hors ligne Filtre de Kalman 35

36 Exemple 2d Un objet en mouvement sur un plan 2d à vitesse constante (plus bruit) On observe seulement la position : Filtre de Kalman 36

37 Exemple 2d Ellipses=P Filtre de Kalman 37

38 Filtre de KALMAN adaptatif Équations espace-état :,, sont fixés initialement donc sont indépendants du temps Les algorithmes qui estiment ces états à chaque instant sont dits «adaptatifs» Il n existe pas d algorithme «optimal» dans le cas général Filtre de Kalman 38

39 Filtre de KALMAN adaptatif Équations espace-état : toujours fixé initialement,, Adaptatif En utilisant l innovation : Somme de gaussiennes En prenant l espérance : e.s.b Filtre de Kalman 39

40 Filtre de KALMAN adaptatif En prenant la variance : Somme v.a. indep. V(AX)=A.V(X).A T donc estimation où peut-être estimé «classiquement» Filtre de Kalman 40

41 Filtre de KALMAN adaptatif où Remarques : - le filtre n est plus optimal - Q est parfois fixé à une valeur faible puis décroissante->0 Attention : on place alors toute la confiance dans la prédiction - si on utilise ces estimateurs il faut stocker la séquence complète on peut les mettre à jour itérativement : schéma itératif sur la moyenne et la variance - il existe de nombreuses variantes qui estime TOUS les paramètres : Q,R mais aussi A et B problèmes de stabilité? Filtre de Kalman 41

42 Zone de recherche Kalman utilise un modèle et des observations. Problème : En traitement d image comment trouver l objet? Le filtre de Kalman ne dit rien sur la façon d obtenir les mesures mais il peut nous guider..? t t+1 Classiquement fait en 2 étapes : -préselection (gating) des objets = zone de recherche -choix de l objet le plus probable = Probabilistic Data Association (PDA) Filtre de Kalman 42

43 Association de données On utilise les innovations Distance de Mahalanobis entre une prédiction et une observation On défini la zone de recherche par la distance à la prédiction Filtre de Kalman 43

44 Association de données Il faut fixer un seuil sur d 2 = somme de n carré de v.a. normales Chi2 à n d.d.l. Région critique : risque (ex: 5%,10%) d 0 2 On rejette une observation si d 2 est «trop grand». Filtre de Kalman 44

45 Association de données En résumé : la zone de recherche est définie par une distance (de Mahalanobis) maximale (cf. chi2) autour de la prédiction Réduction du temps de calcul Zone ellipsoïdale prédiction Distance max. Filtre de Kalman 45

46 Filtre de KALMAN étendu Filtre de Kalman optimal dans le cas linéaire Gaussien: - bruits gaussiens + fonctions, linéaires. - Dans le cas où les fonctions de mesures et d états ne sont plus linéaire il ne peut pas s appliquer (pas de formulation matricielle pour A,B) Utiliser une approximation de Taylor pour les fonctions autour de la moyenne (prédite ou corrigée) Filtre de Kalman 46

47 Linéarisation Séries de Taylor - en 1D : au premier ordre - en nd : Jacobien de f Filtre de Kalman 47

48 Linéarisation avec Jacobien Exemple : Filtre de Kalman 48

49 Filtre de KALMAN étendu Estime un état à l instant, Observations à l instant,! f et g sont des fonctions non linéaires dérivables Filtre de Kalman 49

50 Linéarisation avec h Esperance nulle D où l équation linéaire A Idem pour g Filtre de Kalman 50

51 Filtre de KALMAN étendu t =0 Prédiction de la moyenne Prédiction de la covariance t t+1 Calcul du gain M.a.j. de la moyenne M.a.j. de la covariance Filtre de Kalman 51