Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal

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1 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 40 Chapitre 5: Oscillations d un pendule élastique horizontal 1. Définitions a) Oscillateur écanique * Un systèe écanique qui effectue un ouveent d'aller-retour de part et d'autre de sa position d'équilibre est dit oscillateur écanique. Une oscillation est un aller-retour autour de la position d'équilibre. * Exeples : ouveent des arées, batteents du cœur,... b) Oscillateur libre * C'est un oscillateur abandonné à lui-êe après excitation extérieure. * Exeples : pendule siple, pendule élastique,... c) Oscillateur haronique * C'est un oscillateur dont l'évolution dans le teps suit une loi sinusoïdale du teps. * Exeples : pendule élastique sans frotteent (cas idéalisé) d) Oscillateur forcé * C'est un oscillateur excité par un dispositif extérieur iposant le rythe d'oscillation. * Exeples : ouveent des arées, haut-parleurs,... e) Oscillateur aorti * C'est un oscillateur dont les oscillations s'affaiblissent au cours du teps. * Exeples : pendule élastique réel, ouveent d'une corde de piano,...

2 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 41. Expérience fondaentale: pendule élastique horizontal a) Description du pendule élastique Disposons sur un rail à coussin d air un chariot pouvant glisser pratiqueent sans frotteent. Il est attaché à l une des extréités d un ressort. L autre extréité du ressort est fixe. Les spires du ressort sont non-jointives, de sorte que le ressort peut égaleent être coprié. b) Observations Ecartons légèreent le chariot de sa position d équilibre et lâchons-le sans vitesse initiale. Le solide effectue des oscillations libres autour de sa position d équilibre. Ces oscillations sont légèreent aorties à cause de la résistance de l air freinant le chariot. 3. Etude dynaique et cinéatique du pendule élastique horizontal a) Données Un pendule élastique horizontal est constitué d un ressort de raideur et d un solide de asse. On néglige tout frotteent (idéalisation!). Tirons le chariot, à partir de sa position d équilibre, d une distance d vers la droite. Lâchons le corps sans vitesse initiale. b) Systèe. Référentiel. Repère * Le systèe étudié est le corps de asse. * Le référentiel est celui de la Terre (= celui où le pendule est au repos). * L origine O du repère est le centre d inertie G du solide lorsque le ressort n est pas déforé. * L axe Ox est parallèle au ressort et orienté dans le sens de l étireent du ressort. L'axe Oy est vertical. (On n a pas besoin du 3 e axe Oz car il n'y a pas de force ni de ouveent selon cet axe.)

3 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 4 b) Conditions initiales Le corps est lâché à l instant initial. t = 0 Þ x 0 = d > 0 v 0x =0 g

4 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 43 c) Forces extérieures * Poids P = g P x = 0 P y = -P * Force pressante du coussin d'air R R x = 0 R y = R * Tension du ressort T T x = -. x T y = 0 En effet : d après la loi de Hooe: tension T =. x de coposante T x : si le ressort est étiré: x > 0 et T x = -. x <0 car T x orienté selon les Ox négatifs si le ressort est coprié: x < 0 et T x = -. x >0 car T x orienté selon les Ox positifs d) Accélération Appliquons le principe fondaental de la dynaique ( e principe de Newton) : F ext = a ici : P + R + T = a (1) Projection de l équation vectorielle (1) sur les axes : sur l axe Ox : x = a x sur l axe 0y : -P + R + 0 = a y Selon Ox on trouve : a x = - x () Selon Oy on trouve : a y = 0 car P = R (ouveent selon l axe Ox) Conclusion : L accélération selon Oy est nulle. Le ouveent est rectiligne selon Ox. L'accélération selon Ox n'est donc pas constante. Elle dépend de la déforation x du ressort (= écarteent du solide par rapport à sa position d'équilibre = élongation du solide). Elle est constaent dirigée vers la position d'équilibre du solide. e) Equation différentielle du ouveent Coe a x =, l'équation () donne: C'est l'équation différentielle du ouveent! =- x

5 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 44 f) Solution de l'équation différentielle du ouveent Résoudre une telle équation revient à chercher la fonction du teps x(t) qui possède une dérivée seconde telle que : =- x L'étude athéatique de cette équation fournit coe solution : x(t) = Xcos( w, où X, w 0 et j sont des constantes. Vérifions sa validité! Dérivons : v x = =-Xw0sin( w Replaçons dans l'équation différentielle : a x = = -X w0cos( w 0t + j ) = -w 0x -w 0x = - x La fonction x(t) = Xcos( w convient coe solution, si on a: w 0 =, ce qui est possible car et sont positifs! Posons donc : ω / = 0 1 Conclusion : L'équation =- x peut s'écrire : avec pulsation propre : w 0 = > 0. =-w x, 0 La solution générale de ce type d'équation est alors une fonction sinusoïdale de la fore : x(t) = Xcos( w w t 0 +j est appelé phase et j phase initiale de l oscillateur. L'équation horaire du ouveent x(t) est une fonction sinusoïdale du teps : le pendule élastique horizontal est un oscillateur haronique. Rearque : De la êe façon on ontre que x(t) = Xsin( w est solution de l'équation différentielle. g) Aplitude du ouveent Coe - 1< cos( w < 1, l'élongation x varie entre -X et +X. La valeur axiale X que l'élongation peut prendre est l'aplitude de l élongation. Par convention, les aplitudes sont toujours positives : X > 0

6 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 45 h) Période, fréquence et pulsation d un ouveent haronique * Une fonction sinusoïdale du type x= X cos( w t +j ) est périodique. Elle reprend la êe valeur chaque fois que la phase w+j t change de p ( ÎZ ). On appelle période T la durée d une oscillation. (En ouveent circulaire unifore, la période est la durée d un tour.) * Déterinons T! De quelle durée T faut-il augenter t pour que la phase augente de p? w (t + T) +j=w t +j+ p w T = p La période du ouveent est donc donnée par : p T = w * La fréquence du ouveent s écrit : f = 1 w T = p * w est appelée pulsation. (En ouveent circulaire unifore, w est la vitesse angulaire.) i) Période propre, fréquence propre et pulsation propre du pendule élastique horizontal Coe l oscillateur est libre, il oscille avec sa période propre T 0, sa fréquence propre f 0 et sa pulsation propre w 0. La période propre est donnée par : T0 = p 1 La fréquence propre est donnée par : f0 = p La pulsation propre est donnée par : w 0 = j) Déterination de l'aplitude X et de la phase initiale j Nous déterinons ces constantes à l'aide des conditions initiales : t = 0 Þ abscisse initial x 0 = d > 0 vitesse initiale v 0x = 0 Abscisse : x(t) = Xcos( w (3) (t) Vitesse : v x(t) = Þ v x(t) =-Xw0sin( w (4)

7 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 46 Replaçons les conditions initiales dans les équations (3) et (4) : d= X cosj> 0 (5) 0=-X w sinj (6) 0 (6) Þ sin j= 0 Þ j = 0 ou bien j = p (5) Þ X cosj> 0 Þ cos j> 0 car X > 0 : la solution j = p est donc à rejeter! Finaleent : j = 0, et (5) Þ X = d. ) Equations finales de l'élongation, de la vitesse et de l'accélération æ ö x(t) = dcos w 0t = Xcos t ; aplitude de l élongation : X ç = d è ø Elongation : ( ) æ p ö v(t) x =-dw0sin w 0t = Vxcos t+ ; aplitude de la vitesse : ç Vx = d è ø Vitesse : ( ) æ ö ax =-dw0cos w 0t = Axcos ç t+p ; aplitude de l'accélération : A x = d è ø Accélération : ( )

8 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 47 l) Applications Déteriner l'aplitude et la phase initiale pour les conditions initiales suivantes : * t = 0 Þ x 0 = -d < 0 v 0x =0 * t = 0 Þ x 0 = 0 v 0x = v > 0 * t = 0 Þ x 0 = 0 v 0x = -v < 0 ) Vérification de la conservation de l énergie écanique de l'oscillateur * Energie cinétique du solide : w 0 = Þ Finaleent : X Ec = sin ( w X Ec = sin ( w * Energie potentielle élastique du ressort : 1 Xw0 Ec = vx = sin ( w 1 X Ep élastique = x = cos ( w * Energie écanique de l oscillateur : Conclusion : E = E + E c p élastique X X = sin ( w + cos ( w 0t +j) X (sin ( 0 t ) cos ( 0 t )) = w +j + w +j 1 E= X L énergie écanique d'un oscillateur haronique est conservée car et X sont constants.

9 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal Etude énergétique du pendule élastique horizontal Etablisseent de l'équation différentielle à partir d une considération énergétique (alternative à 3b-e) * systèe étudié : corps de asse accroché au ressort de raideur dans le chap de pesanteur g * référentiel terrestre * repère : origine O = centre d inertie G du solide lorsque le ressort n est pas déforé ; axe Ox parallèle au ressort et orienté dans le sens de l étireent du ressort ; axe Oy est orienté verticaleent vers le haut (sens opposé de g) g * Forces extérieures et leurs travaux W effectués: force exercée par la fixation au ressort F Fix : W(F Fix ) =0 car le point d application ne se déplace pas lors de l oscillation

10 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 49 réaction du support R: W(R) = 0 car la force est perpendiculaire au déplaceent lors de l oscillation Les forces de frotteent négligeables. (Le poids du corps et la tension du ressort sont des forces internes!) * Loi de la variation de l énergie écanique : E WForces extérieures D =å Ici : DE = W(F Fix ) + W(R ) = 0 Ainsi l'énergie écanique E = E pot + E cin d'un oscillateur haronique non aortie est conservée : 1 1 E = x + vx = constant * Dérivons par rapport au teps cette expression de l'énergie écanique : de d 1 d 1 = ( x ) + ( v x ) = 0 La dérivée d'une constante est nulle. On obtient en appliquant les règles de dérivation établies en athéatiques : 1 d 1 d (x ) + (v x ) = dvx x + vx = 0 x v + v a = 0 x x x Coe a x =, on obtient : x + = 0 Finaleent, on retrouve l'équation différentielle du ouveent : 5. Etude qualitative du pendule élastique aorti L'aplitude X diinue au cours du teps à cause des frotteents. L'énergie écanique diinue au cours du teps et se transfore en énergie calorifique. L'oscillateur n'est donc pas périodique. On parle quand-êe de sa pseudopériode T. =- x

11 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal Oscillations forcées. Résonance Expérience : Un oteur électrique en rotation joue le rôle d un excitateur qui produit des oscillations forcées dans le pendule élastique qui est appelé résonateur. Observations : * Le résonateur effectue des oscillations de êe fréquence f que celle de l'excitateur: il effectue des oscillations forcées. * L'aplitude A du résonateur dépend de la fréquence f de l'excitateur et de l'intensité de l'aortisseent.

12 1 re B et C 5 Oscillations d'un pendule élastique horizontal 51 * A passe par un axiu : c'est la résonance. La fréquence de résonance f R est alors pratiqueent égale à la fréquence propre f 0 du résonateur : f R» f 0. * Si l'aortisseent est faible, il se peut que l aplitude A du résonateur est largeent supérieure à l aplitude a de l excitateur: A >> a. Le résonateur risque la détérioration. On parle alors de catastrophe de résonance. * Si l aortisseent est iportant f R est légèreent inférieure à f 0. La courbe de l aplitude A du résonateur en fonction de la fréquence f de l excitateur : A(f) est appelée courbe de réponse du résonateur.