Fiche n 2. Transformations affines, barycentres, convexité

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1 Université de Rouen Mathématiques Géométrie (L3-S2) Année Fiche n 2. Transformations affines, barycentres, convexité Exercice 1. (a) Montrer que des points A 0,..., A k sont affinement indépendants si, et seulement si, tout point de A 0,..., A k s écrit comme une combinaison affine unique de A 0,..., A k. (b) Un polygone convexe est un simplexe si tout point intérieur s écrit de façon unique comme combinaison affine des sommets. Quels sont les polygones qui sont des simplexes? Exercice 2. Soit ABCD un tétraèdre quelconque. (a) Montrer que son centre de gravité G est le milieu des segment joignant les milieux des arêtes opposées. (b) Soit A le centre de gravité du triangle BCD. Montrer que G est sur le segment AA, aux trois quarts de AA en partant de A. Exercice 3. Soient ABC et A B C deux triangles d un plan affine et p, q et r des réels vérifiant p + q + r = 1. Montrer que le milieu du segment reliant les barycentres de ( (A, p), (B, q), (C, r) ) ( et (A, p), (B, q), (C, r) ) est le barycentre du triangle de sommets (A + A )/2, (B + B )/2 et (C + C )/2. Exercice 4. Homothéties vectorielles. Soit E un espace vectoriel. Une homothétie (vectorielle) sur E est un endomorphisme de la forme h α (x) = αx (α est le rapport de l homothétie). Soit H(E) l ensemble des homothéties de E de rapport non nul. On note GL(E) le groupe des endomorphismes bijectifs de E. (a) Montrer que H(E)=GL(E) si, et seulement si, dim E = 1. (b) Montrer que les homothéties appartiennent au centre de GL(E), c est-à-dire que, si h H(E), u h = h u u GL(E). (1) (c) Montrer qu un endomorphisme h est une homothétie si, et seulement si, sa restriction à toute droite est une homothétie. (d) Montrer que H(E) est le centre de GL(E). Indication : -i- Montrer que (1) implique que toute droite vectorielle D est stable par h. [Suggestion : si D n est pas stable il existe a D, a 0 et b D. Un endomorphisme u avec u(a) = a et u(b) = a + b contredit (1).] -ii- Utiliser (a) et (b) pour en conclure que (1) implique que h est une homothétie. Exercice 5. Homothéties affines. Soit (E, E, Θ) un espace affine. Rappel : Une homothétie (affine) de centre M E et de rapport α R est l application ϕ : E E définie par Mϕ(A) = α MA A E (a) Soit ψ : E E une application affine dont la partie linéaire est une homothétie de rapport α, c est-à-dire, telle que ψ(a)ψ(b) = αab A, B E. Montrer que ψ est : -i- une translation si α = 1 (suggestion : règle du parallélogramme) et -ii- une homothétie si α 1 (suggestion : interpréter l équation ψ(a)m = αam en termes de barycentres). (b) Soient ϕ et ϕ des homothéties de rapports respectifs α et β, avec αβ 1. Montrer que ϕ ψ est une homothétie. Exercice 6. Soient (i) A, B, C et D quatre points d un plan affine, tous affectés de la même masse ; 1

2 (ii) D, C, B et A les barycentres des triangles ABC, ABD, ACD et BCD respectivement ; (iii) I le milieu de BD et J celui de AC et (iv) G le milieu de IJ. On va montrer que A B C D est un quadrilatère homothétique à ABCD de la façon suivante. (a) En regardant la position de I par rapport a A et C, montrez que A C = ( 1/3) AC. (b) De façon similaire montrez que B D = ( 1/3) BD. (c) En utilisant l associativité des barycentres, montrez que G est sur AA. (d) En déduire que A B C D est l image de ABCD par une homothétie de rapport 1/3 et de centre G. Exercice 7. Soient (E, E, Θ) et (F, F, Θ) des espaces affines et ϕ : E F une application affine. (a) Montrer que Bϕ(B) Aϕ(A) = ϕ( AB) AB pour tout A, B E. (b) Dans le cas F = E = F où Θ est la vectorialisation canonique, montrer que l application ψ(a) = Aϕ(A) est affine et que ψ = ϕ Id E. Exercice 8. Topologie d un espace affine de dimension finie. Rappelons que la topologie d un espace vectoriel E de dimension finie n est engendrée par des boules de la forme B e1,...e n ( a) = { x = xi e i x 2 i < a } pour une base (e 1,... e n ) et a > 0. La topologie d un espace affine (E, E, Θ) de dimension finie est définie en translatant celle de l espace directeur E à travers des vectorialisations Θ A, A E (c-à-d, en déclarant que chaque application Θ A est un diffeomorphisme). Soit (E, E, Θ) de dimension finie. (a) Soit S = {A 0,..., A N } un ensemble fini de points d un espace affine et C(S) son enveloppe convexe. -i- Montrer que C(S) est compacte. [Piste : observer que C(S) est l image de K = { (x 1,..., x N ) R N 0 x i 1, x i = 1 }.] -ii- Si S n est contenue dans aucun hyperplan, montrer que l intérieur de C(S) n est pas vide. [Indication : extraire une famille affinement indépendante de points de S et considérer l ensemble des barycentres de ces points affectés de coefficients strictement positifs.] (b) Si (F, F, Θ) est aussi un espace affine de dimension finie, alors toute application affine ϕ : E F est continue. Exercice 9. Soit ϕ : E F une application entre espaces affines. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes. (a) ϕ est affine. (b) ϕ ( n λ ia i ) = n λ iϕ(a i ) pour A i E et λ i R avec n λ i = 1. (c) ϕ ( λa + (1 λ)b ) = λϕ(a) + (1 λ)ϕ(b), pour λ R et A, B E. Exercice 10. Soient E et F deux espaces affines, le premier de dimension finie n, et soient (A 0,..., A n ) une base affine de E et (B 0,..., B n ) une famille de points de F. Montrer les affirmations suivantes. (a) La relation ϕ ( n ) λ i A i = λ i ϕ(a i ), A i E, λ i R avec définit l unique application affine telle que ϕ(a i ) = B i pour i = 0,..., n. (b) ϕ est injective si, et seulement si, la suite (B i ) est affinement libre. (c) ϕ est surjective si, et seulement si, la suite (B i ) engendre F. λ i = 1, Exercice 11. Soient E et F des espaces affines et ϕ : E F une application affine, alors (a) l image par ϕ d une partie convexe de E est convexe, (b) la pré-image par ϕ d une partie convexe de F est convexe. 2

3 Exercice 12. Formes linéaires. Une forme linéaire sur un espace vectoriel E est une application linéaire de E dans le corps de base (R dans ce cours). On notera E l espace formé par ces formes. Montrer les faits suivants. (a) Soit f E et a E \ ker(f), alors E = Vec ( ker(f) {a} ). [Suggestion : écrire chaque x E sous la forme x = y + λa avec λ = f(x)/f(a).] (b) Deux formes linéaires admettent le même noyau si, et seulement si, elles sont proportionnelles. [Suggestion : si f et g ont le même noyau et f(a) 0, le noyau de la forme linéaire g λf, avec λ = g(a)/f(a), contient a et ker(f).] Exercice 13. Formes affines. Une forme affine (ou fonction affine) sur un espace affine (E, E, +) est une application affine de E dans le corps de base. Montrer les faits suivants. (a) Toute forme affine est constante ou surjective. (b) Une forme affine est constante si, et seulement si, sa partie linéaire est nulle. (c) L ensemble des formes affines sur E est un sous-espace vectoriel de l espace des applications de E dans le corps de base. (d) Soit E de dimension finie n et (A, e 1,..., e n ) un repère affine. Alors pour toute fonction affine ϕ sur E il existe des scalaires u 1,..., u n tels que où (x 1,..., x n ) sont les coordonnées de ϕ(b) = ϕ(a) + u i x i, AB dans la base ( e 1,..., e n ). (e) Toute forme affine sur un espace affine de dimension finie est continue. (f) Pour tout forme affine non constante ϕ sur E il existe un A E et une forme linéaire f sur E tels que ϕ(b) = f( AB) B E. (g) Soient ϕ et ψ deux formes affines. Alors ϕ 1 (0) = ψ 1 (0) si, et seulement si, il existe λ R tel que ϕ = λψ. (h) Si ϕ est une forme affine, alors pour tout N 1 et toute famille de points A 1,..., A N la fonction est une forme affine, donc continue. R N 1 R (1 (λ 2,..., λ N ) ϕ[ N i=2 λ ) i A1 + ] N i=2 λ ia i Exercice 14. Hyperplans vectoriels. Un hyperplan d un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel H de codimension 1, c est-à-dire, tel que dim(e/h) = 1. Montrer les faits suivants. (a) Les hyperplans de E sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur E. [Suggestion : pour toute forme linéaire f il existe un isomorphisme de E/ ker(f) sur le corps de base.] (b) Si H est un hyperplan, alors pour tout a E \ H E = Vec ( H {a} ). Exercice 15. Hyperplans affines. Un hyperplan affine d un espace affine (E, E, +) est un sous-espace affine dont la direction est un hyperplan de E. Prouver les affirmations suivantes. (a) Si ϕ est une forme affine non constante sur E, l ensemble H = ϕ 1 (0) est un hyperplan affine de E. [Suggestion : utiliser la partie (f) de l exercice 13.] 3

4 (b) Si H est un hyperplan affine de E, il existe une forme affine ϕ sur E telle que H = ϕ 1 (0). (c) En déduire qu un ensemble H est un hyperplan affine de E si, et seulement si, il est de la forme H = { M E : f( AM) + c = 0 } pour un A E, un c R et une forme linéaire f non nulle sur E. L équation f( AM) + c = 0 est l équation cartésienne de H. (d) Deux hyperplans dans E d équations respectives f 1 ( AM) + c 1 = 0 et f 2 ( AM) + c 2 = 0, pour c 1, c 2 R et f 1, f 2 E \ {0}, sont parallèles si, et seulement si, les formes f 1 et f 2 sont proportionnelles. (e) Supposons dim E = n et soit (A, e 1,..., e n ) un repére de E. Pour chaque point X E notons (x 1,..., x n ) ses coordonnées dans ce repère. Alors -i- les équations cartésiennes d un hyperplan sont de la forme u i x i + c = 0 (2) où le (n + 1)-uplet (u 1,..., u n, c) R n+1 est défini à un facteur multiplicatif non nul prés ; -ii- réciproquement, toute équation de la forme (2), avec les u i non tous nuls, définit un hyperplan. Exercice 16. Variétés vectorielles en dimension finie. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et p un entier, 1 p n. (a) Soient f 1,..., f p des formes linéaires indépendantes sur E. -i- Montrer que la fonction Λ : E R p Λ = (f 1,..., f p ) est surjective [Suggestion : pour un choix de base de E, la matrice associée à Λ est de rang p.] -ii- En déduire que l intersection d hyperplans est un sous-espace de dimension n p. V = (3) p ker(f i ) (4) (b) Réciproquement, montrer que si V est un sous-espace de dimension n p, il existe des formes linéaires f 1,..., f p telles que V s écrive sous la forme (4). [Suggestion : les projections suffisent.] (c) Montrer que le sous-espace V défini par (4) est contenu dans un hyperplan H d équation f = 0 si, et seulement si, il existe des réels λ 1,..., λ p tels que f = λ 1 f λ p f p. La démonstration pourrait se faire en considérant la fonction F : R p R F ( Λ(x) ) = f(x) où Λ est définie en (3), et en procédant comme suit : -i- montrer que F est bien définie et qu elle est surjective ; x E -ii- en déduire qu il existe des réels λ 1,..., λ p tels que F (u 1,..., u p ) = λ 1 u λ p u p pour tout (u 1,..., u p ) R p ; -iii- conclure. Exercice 17. Variétés affines en dimension finie. Soient (E, E, Θ) un espace affine de dimension finie n et p un entier, 1 p n. (5) 4

5 (a) Soient ϕ 1,..., ϕ p des formes affines dont les parties linéaires respectives f 1,..., f p sont linéairement indépendantes. Montrer que l intersection d hyperplans affines p V = ϕ 1 i (0) (6) est un sous-espace affine de dimension n p. Trouver sa direction. (b) Réciproquement, montrer que si V est un sous-espace affine de dimension n p il existe des formes affines ϕ 1,..., ϕ p telles que V s écrive sous la forme (6). (c) En conclure que : -i- un ensemble V est un sous-espace affine de dimension n p si, et seulement si, il est décrit par des équations cartésiennes ψ 1 = 0,..., ψ p = 0, où chaque ψ i est la forme avec A V et f i,..., f p E indépendantes ; ψ i (M) = f i ( AM) -ii- si, en particulier, E = E et Θ est la vectorialisation canonique, alors tout sous-espace affine V de dimension n p est formé par tous les points dont les composantes X dans une base fixée sont la solution d un système linéaire de la forme M X = C, où M R p n est une matrice de rang p et C R n est de la forme C = M A pour n importe quel A V. (d) Montrer qu un hyperplan affine d équation ϕ = 0 contient la variété définie par (6) si, et seulement si, il existe des réels λ 1,..., λ p tels que ϕ = λ 1 ϕ λ p ϕ p. Exercice 18. Points fixes d une application affine. Soient (E, E, Θ) un espace affine, ϕ : E E une application affine et f = ϕ. (a) Si l ensemble des points fixes de ϕ, V = { M E ϕ(m) = M }, est non vide, montrer que V est un sous-espace affine de E dirigé par le sous-espace vectoriel V = ker ( f Id E ). (b) En conclure que si 1 n est pas une valeur propre de ϕ, l application affine ϕ a au plus un point fixe. (c) Pour E de dimension finie, montrer l équivalence des affirmations suivantes : -i- ϕ admet un point fixe unique, -ii- la partie linéaire ϕ a l origine pour seul point fixe, -iii- l application ψ : E E ψ(m) = Mϕ(M) a un point unique M tel que ψ(m) = 0. [Piste : Pour prouver (ii) (iii) utiliser le résultat de l exercice 7, en se rappelant qu en dimension finie tout endomorphisme injectif est un isomorphisme.] Exercice 19. Demi-espaces définis par un hyperplan affine. Considérons un espace affine E et un hyperplan H d équation ϕ = 0, où ϕ est une forme affine non constante sur E. Les demi-espaces définis par (H, ϕ) sont les ensembles E + = ϕ 1 (R + ), E = ϕ 1 (R ) E + = ϕ 1 (R +), E = ϕ 1 (R ). En fait, E + et E sont appelés demi-espaces larges définis par (H, ϕ), alors que E + et E sont appelés demi-espaces stricts définis par (H, ϕ). Montrer les propriétés suivantes. 5

6 (a) Les demi-espaces sont des ensembles convexes. (b) E + E = = E E +, et E + E = H. (c) Si E est de dimension finie, E + et E sont des ensembles fermés et E + et E des ouverts. (d) Si ψ = 0 est une autre équation de H, les demi-espaces définis par (H, ψ) coincident avec ceux définis par (H, ϕ) sauf, peut-être, par un échange des signes + et. [Piste : utiliser la partie (g) de l exercice 13.] (e) Si A E et B E +, le segment ]A, B] a une unique intersection avec H. [Suggestion : par la partie (h) de l exercice 13, la fonction h(λ) = ϕ ( λa + (1 λ)b ) est affine et vérifie h(0) 0 et h(1) < 0, donc elle est nulle pour une seule valeur de λ [0, 1[.] (f) En conclure que la relation A est équivalent à B si [AB] H = est une relation d équivalence dont les classes d équivalence sont E et E +. On interprète A équivalent à B comme A et B sont d un même coté de H. 6