Déterminant d une matrice

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1 Déterminant d une matrice ) Morphisme fondamental Prop : Pour toutes matrices A et B 2 M n (K), det(ab) = (det A)(det B) : Prop : A est inversible ssi det A 6= : Ainsi, l application A 7! det A est un morphisme de groupes de (GL n (K); ) dans (K,). L ensemble SL n (K) = fa 2 M n (K) j det A = g est un sous-groupe de GL n (K), appelé groupe spécial linéaire. Important : Deux matrices semblables ont le même déterminant. En e et, si A = P AP, alors det(a ) = (det P )(det A)(det P ) = (det P ) (det A)(det P ) = det A: 2) Déterminant de la transposée Prop : det A = det t A : 3) Déterminant d une matrice triangulaire par blocs A C Prop : Soit M = 2 M O q;p B n (K), avec A 2 M p (K) et B 2 M q (K). Alors det M = (det A)(det B) : L En particulier, det = (det A), pour tous 2 K et A 2 M O A n (K): Corollaire : Le déterminant d une matrice triangulaire est le produit des coe cients diagonaux : : : : On a det 2. C A = 2 ::: n : : : : n Remarque : C est le cas en particulier des matrices diagonales : det(diag( ; 2 ; :::; n )) = 2 ; ::: n : Important : Une matrice triangulaire est inversible ssi tous ses coe cients diagonaux sont non nuls. Plus généralement, une matrice triangulaire par blocs est inversible ssi tous les blocs diagonaux sont inversibles. 4) Forme n-linéaire alternée et opérations sur les lignes et les colonnes a) Le déterminant d une matrice est une forme n-linéaire alternée des vecteurs colonnes. Autrement dit, l application (A ; :::; A n ) 7! det A = det(a ; :::; A n ) est n-linéaire et det(a ; :::; A n ) est nul dès que deux colonnes A j sont égales. Ainsi, l application A j 7! det(a ; :::; A n ) est une forme linéaire (de K n dans K). En particulier, on a det( A ; 2 A 2 ; :::; n A n ) = 2 ::: n det(a ; :::; A n ) et det(a) = n (det A) : Remarque : Le déterminant d une matrice est aussi une forme n-linéaire alternée des vecteurs lignes (car une matrice et sa transposée ont même déterminant). b) Déterminant et opérations sur les lignes et les colonnes d une matrice Principes. - L ajout à une colonne d une combinaison linéaire des autres colonnes ne modi e pas le déterminant

2 - La multiplication d une colonne par un scalaire multiplie le déterminant par. - La permutation de deux colonnes change le signe du déterminant. Propriétés analogues sur les opérations de ligne. Application au calcul du déterminant. Par une succession d opérations élémentaires sur les colonnes (ou les lignes), on se ramène à une matrice triangulaire, et on peut en déduire le déterminant. En pratique, on combine souvent plusieurs méthodes de calcul. 2 2 Exemple : En opérant sur les lignes, = = 3 3 = 9: 5) Cofacteurs, développement du déterminant selon une ligne ou une colonne a) Mineurs et cofacteurs Def : Soit A = (a ij ) in;jn = (A ; A 2 ; :::; A n ) 2 M n (K): Soit (i; j) 2 f; 2; :::; ng 2. Le mineur ij est le déterminant d ordre (n ) de la matrice obtenue en supprimant dans A la i-ième ligne et la j-ième colonne. Le cofacteur C ij est dé ni par : C ij = ( ) i+j ij : Remarque : Le signe de ( ) i+j = ( ) ji jj vaut + sur la diagonale, puis alterne en fonction de la distance (nombre de cases) à la diagonale. En particulier, pour les indices (; n) et (n; ), il vaut ( ) n : Prop : Le cofacteur C ij est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A la j-ième colonne par le vecteur canonique E i. Autrement dit, C ij = det(a ; A 2 ; :::; A j ; E i ; A j+ ; :::; A n ): Preuve : Le fait de déplacer la j-ième colonne en première position multiplie le déterminant par ( ) j : En e et, un tel déplacement peut se faire en permutant les colonnes j et (j ), puis (j ) et (j 2), etc... De même, mettre la i-ième ligne en première position multiplie le déterminant par ( ) i : B C B C O O D où : O O A = ( ) j O O A = ( ) j ( ) i B C D E D E D E On reconnaît alors un déterminant par blocs (matrice triangulaire inférieure par blocs). B C On obtient donc nalement ( ) i+j det. D où C D E ij = ( ) i+j ij : Remarque : De même (par passage aux transposées), C ij est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A la i-ième ligne par le j-ième vecteur ligne canonique L j = (; ; :::; ; ; ; :::; ): b) Développement du déterminant du déterminant selon une colonne ou une ligne Prop : Soit A 2 M n (K). i) Développement du déterminant selon la j-ième colonne : det A = P n i= a ijc ij ii) Développement du déterminant selon la i-ième ligne : det A = P n j= a ijc ij Preuve : i) On utilise la linéarité du déterminant d une matrice par rapport à la j-ième colonne. En e et, avec A j = P n i= a ije i, on a det A = P n i= a ij det(a ; A 2 ; :::; A j ; E i ; A j+ ; :::; A n ) = P n i= a ijc ij : ii) Idem par transposition. Exemple : En développant selon la première colonne, A :

3 a a a b b b c c c = a b b c c b a a c c + c a a b b = ab c ac b ba c + bc a + ca b cb a : 6) Comatrice et expression de la matrice inverse en fonction de la comatrice a) Comatrice Def : La comatrice de A, souvent notée A, e est la matrice des cofacteurs, c est-à-dire A e = (C ij ) in;jn : a b Exemple : La comatrice de A = est A c d d c = : b a a a a (b c c b ) ::: ::: Exemple : La comatrice b b b A (a c c a ) ::: ::: A : c c c ::: ::: ::: b) Relation fondamentale Prop : A t A e = t AA e = (det A)In. En particulier, si A est inversible, A = t A e : det A Remarque : A l exception du cas n = 2, il s agit d un résultat plus théorique que pratique. a b Important : La matrice A = est inversible ssi ad bc 6=, et on a A c d d b = : ad bc c a Exemple : ( ) Soit A 2 M n (Q) une matrice à coe cients entiers (c est-à-dire appartiennent à Z). On suppose que jdet Aj = : Alors A est à coe cients entiers. En e et, tout déterminant d une matrice à coe cients entiers est un entier. Donc tous les cofacteurs de la matrice A sont entiers. Or, comme det A =, alors A est égal, au signe près, à la transposée de la comatrice. 7) Déterminant d une matrice comme fonction polynomiale de ses coe cients Les formules précédentes permettent d exprimer tout déterminant d ordre n comme combinaisons de n déterminants d ordre (n ). On en déduit par récurrence que le déterminant det A est une expression polynomiale en les coe cients (a ij ) de la matrice A 2 M n (K). Plus précisement, il s écrit comme la somme de n! termes qui sont, au signe près, le produit de n coe cients de la matrice se trouvant sur des lignes et sur des colonnes distinctes. Remarque : En particulier, lorsque K = R (ou C), le déterminant est une fonction continue de ses coe cients. En particulier, si M 2 GL n (R), alors toute matrice dont les coe cients sont assez proches de ceux de M est aussi inversible (on dit que GL n (R) est une partie ouverte dans M n (R)). Complément culturel : En fait, on peut expliciter det A. On a det A = P ny 2S n "() a (j);j, où S n est l ensemble des n! permutations de f; 2; :::; ng: i= Les produits Q n i= a (j);j correspondent aux produits de n éléments de la matrice qui appartiennent à des lignes distinctes et à des colonnes distinctes : Autrement dit, chaque ligne et chaque colonne de la matrice contient un unique terme de chaque produit. Dé nition de la signature "() d une permutation (hp) : Toute permutation s écrit comme produit de transpositions (= échanges de deux éléments). La décomposition n est pas unique, mais la parité du nombre r de termes ne dépend pas du choix de la décomposition. On pose () = ou dit, on pose "() = ( ) r. selon que le nombre r est pair ou impair. Autrement

4 Formes n-linéaires alternées (= antisymétriques) sur un ev de dimension n 8) Déterminant d une famille de vecteurs dans une base Def : Soit B une base de E. On dé nit det B (x ; :::; x n ) = det A, où A = Mat B (x ; :::; x n ): Remarque : det B (x ; :::; x n ) = (det P ) det B (x ; :::; x n ), où P = P B B : En e et, on a X j = P X j, donc A = (X ; :::; X n ) = (P X ; :::; P X n) = P A, d où det A = (det P )(det A ): Important : Pour B = (e ; e 2 ; :::; e n ), on a det B (e ; e 2 ; :::; e n ) =, car Mat B (e ; e 2 ; :::; e n ) = I n : 9) Propriété fondamentale des formes n-linéaires alternées sur un ev de dimension n a) Def : Une forme n-linéaire sur E est une application f : E E ::: E! K linéaire en chacune des variables, c est-à-dire que x j 7! f(x ; :::; x n ) est une forme linéaire sur E. Prop : Soit f : E n! K une forme n-linéaire sur un K-ev E. Les assertions suivantes sont équivalentes : i) f(x ; :::; x n ) est nul si deux des x i sont égaux (forme alternée) ii) f(x ; :::; x n ) est inchangé si on ajoute à l un des vecteurs une combinaison linéaire des autres. iii) f(x ; :::; x n ) est nul si la famille (x ; :::; x n ) est liée. iv) f(x ; :::; x n ) est changé en son opposé si on permute deux vecteurs (forme antisymétrique). b) Théorème : Soit B = (e ; :::; e n ) une base de E, où E est un K-ev de dimension n. Alors det B est l unique forme n-linéaire alternée f sur E véri ant f(e ; :::; e n ) = : Important : Les formes n-linéaires alternées sur E sont donc les det B : Autrement dit, le sev des formes n-linéaires alternées sur E est une droite vectorielle. Ainsi, deux formes n-linéaires alternées non identiquement nulles sont proportionnelles. Exemple : Soient B et B deux bases de E. Alors det B = det B, où = det B B = det(pb B ): c) Preuve du théorème en dimension 2. Soient E un K-ev de dimension n = 2, et B = (e ; e 2 ) une base de E. Soit f une forme n-linéaire sur E. Pour x = ae + be 2 et y = ce + de 2, on a par n-linéarité : f(x; y) = f(ae + be 2 ; ce + de 2 ) = ac f(e ; e ) + ad f(e ; e 2 ) + bc f(e 2 ; e ) + bd f(e 2 ; e 2 ) Comme f est alternée, on a f(e ; e ) = f(e 2 ; e 2 ) = et f(e 2 ; e ) = f(e ; e 2 ): On en déduit f(x; y) = (ac bd)f(e ; e 2 ) Ainsi, toute forme n-linéaire sur E est entièrement dé nie par f(e ; e 2 ). D autre part, comme det B (x; y) = a c b d, alors f(x; y) = det B(x; y), avec = f(e ; e 2 ): Remarque : La preuve est analogue en dimension n. On montre en posant x j = P n i= a ije i et en développant f(x ; :::; x n ) que tout forme n-linéaire alternée sur E = Vect(e ; e 2 ; :::; e n ) est entièrement déterminée par f(e ; :::; e n ), et on obtient aussi une formule explicite de det(a), où A = (a ij ) in;jn :

5 Déterminant d un endomorphisme ) Déterminant d un endomorphisme a) Déterminant d un endomorphisme (dé nition matricielle) Def : Soit u 2 L(E). Pour B base de E, on pose det u = det(mat B u) : Cette dé nition est valide car la valeur de det(mat B u) ne dépend pas du choix de la base B. En e et, deux matrices semblables ont même déterminant. b) Exemples : Cas des endomorphismes trigonalisables (et diagonalisables) S il existe B telle que A = Mat B u est triangulaire, alors det u est le produit des coe cients diagonaux de A. Exemple : det(id) = et det( Id) = n : Exemple : Supposons qu il existe une base B = (e ; :::; e n ) formée de vecteurs propres de u, c est-à-dire que les vecteurs e j véri ent u(e j ) = j e j pour tout j n. Alors Mat B u = Diag( ; 2 ; ::; n ), alors det u = 2 ; :: n : Exemple : ( ) C est le cas des symétries. Si u est la symétrie sur F par rapport à G, alors det u = ( ) q, où q = dim G. En e et, on considère une base B adaptée à F G = E, et on a Mat B u = ) Propriétés fondamentales a) Déterminant de l image d une famille de vecteurs par un endomorphisme Ip O O I q 2 M n (K): Prop : Soit u 2 L(E) et B une base de E. Alors det B (u(x ); :::; u(x n )) = (det u) det B (x ; :::; x n ). Première preuve : Posons X j = Mat B x j, Y j = Mat B u(x j ) et A = Mat B u. Alors Y j = AX j : Alors Mat B (u(x ); :::; u(x n )) = (Y ; :::; Y n ) = A(X ; :::; X n ) = A Mat B (x ; :::; x n ): En passant aux déterminants, on obtient bien det B (u(x ); :::; u(x n )) = (det u) det B (x ; :::; x n ): Seconde preuve : Soit B une base de E. On considère l application f : E n! K (x ; :::; x n ) 7! det B (u(x ); :::; u(x n )): Par linéarité de u et par n-linéarité de det B, l application f est n-linéaire. D autre part, si deux x i sont égaux, il est en de même des u(x i ), donc f(x ; :::; x n ) = : Donc f est alternée. Par le théorème fondamental, il existe 2 K tel que f = det B, Autrement dit, on a 8(x ; :::; x n ) 2 E n, on a f(x ; :::; x n ) = det B (x ; :::; x n ): En prenant la valeur de f en B = (e ; :::; e n ), on obtient = f(e ; :::; e n ), car det B (e ; :::; e n ) = : b) Propriété de morphisme Rappel : GL(E) est l ensemble des endomorphismes u de E bijectifs (c est-à-dire inversibles pour ). (GL(E); ) est un groupe, appelé groupe linéaire, isomorphe à GL n (K) (par u 7! Mat B u). Prop : Soient u et v 2 L(E). Alors det(u v) = (det u)(det v) et det u 6= ssi u 2 GL(E). Def : SL(E) = fu 2 L(E) j det u = g est un sous-groupe de GL(E), appelé groupe spécial linéaire. Preuve : On considère une base B, et on considère les déterminants de Mat B (u v) = (Mat B u)(mat B v): Autre preuve : det B (u v(x ); :::; u v(x n )) = (det u) det B (v(x ); :::; v(x n )) = det(u) det(v) det B (x ; :::; x n ):

6 Déterminant (volume orienté, produit mixte) dans un espace euclidien 2) Produit mixte dans un espace euclidien Important : Soit A 2 O n (R) une matrice orthogonale, c est-à-dire A t A = I n : D où det A = : On note SO n (R) = O + n (R) les matrices de rotation ( = matrices orthogonales de déterminant ). Matrices de passage : Deux bases B et B ont même orientation ssi det(p B B ) > : La matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale, et la matrice de passage entre deux bases orthonormées directes est une matrice de rotation. Prop : Soit (x ; :::; x n ) une famille de n vecteurs d un espace euclidien orienté E de dimension n. La valeur de det B (x ; :::; x n ) ne dépend pas du choix de B base orthonormée directe de E: On la note donc det(x ; :::; x n ) ou bien [x ; :::; x n ], appelé produit mixte de (x ; :::; x n ): Important : Dans E = R n canoniquement orienté, det(x ; :::; x n ) est le volume orienté du parallélépipède P de base (x ; :::; x n ), c est-à-dire dé ni par P = [; ]x + ::: + [; ]x n = f P n i= ix i, ( ; :::; n ) 2 [; ] n g: Le volume est strictement positif (resp. négatif) ssi (x ; :::; x n ) est une base directe (resp. indirecte). Prop : La valeur de jdet B (x ; :::; x n )j ne dépend pas du choix de B base orthonormée de E: jdet(x ; :::; x n )j correspond dans R n au volume non orienté du parallélépipède P = [; ]x + ::: + [; ]x n : Preuve : La matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale, donc leur déterminant vaut. Si ces bases sont directes, la matrice de passage est une matrice de rotation, donc son déterminant vaut : 3) Déterminant d un endomorphisme et caractérisation du groupe spécial linéaire On sait que 8(x ; :::; x n ), det(u(x ); :::; u(x n )) = (det u) det(x ; :::; x n ) Ainsi, det u représente dans R n le facteur par lequel sont multipliés les volumes en composant par u. Remarque : On retrouve immédiatement la relation det(u v) = (det u)(det v): Remarques : - Un endomorphisme u conserve les volumes orientés ssi det u =, c est-à-dire ssi u 2 SL(E): - Un endomorphisme u conserve les volumes non orientés ssi jdet uj = : C est le cas des isométries (qui conservent les normes, donc le produit scalaire (identité de polarisation), et donc les volumes, mais la réciproque est fausse. ( ) Par exemple, l endomorphisme (x; y) 7! (2x; 2 y) de R2 conserve les volumes mais non les normes. Exemple classique : Déterminant de Van der Monde 4) a) La matrice de Van der Monde est M(a ; :::; a n ) = (a j i ) in;jn = La matrice de Van der Monde est la matrice dans les bases canoniques de K n a : : : a n a 2 : : : a n 2.. a n : : : an n C A 2 M n(k). [X] et de K n de l application linéaire u associée à l interpolation de Lagrange, c est-à-dire u : K n [X]! K n P 7! (P (a ); P (a 2 ); :::; P (a n )):

7 En particulier, M(a ; :::; a n ) est inversible ssi les a i sont deux à deux distincts. Remarque : Dans ce cas, on a u (y ; :::; y n ) = P n j= y jl j, où les L j sont les polynômes de Lagrange. Ainsi, la j-ième colonne de M(a ; :::; a n ) contient les coe cients de L j : b) Prop : Le déterminant de Van der Monde est W (a ; :::; a n ) = det M(a ; :::; a n ) = Y Remarque : Le produit des (a j a i ) contient n 2 = n(n ) termes. Remarque : En particulier, W (a ; :::; a n ) 6= ssi les a j sont deux à deux distincts. 2 i<jn (a j a i ) : Première preuve : Lorsque les a j ne sont pas deux à deux distincts, la matrice admet deux lignes identiques, donc le déterminant est nul. Supposons désormais a ; :::; a n deux à deux distincts, et considérons Q(x) = W (a ; :::; a n ; x): En développant selon la dernière colonne, on obtient que Q est un polynôme de degré (n dominant W (a ; :::; a n ): D autre part, les a i, avec i n sont des racines de Q, donc sont les racines de Q: Et Q(x) = W (a ; :::; a n )(x a ):::(x a n ). Avec x = a n, on obtient la relation de récurrence W (a ; :::; a n ) = W (a ; :::; a n )(a n a ):::(a n a n ): On conclut alors par récurrence sur n 2 N : ) et de coe cient Deuxième preuve : En retranchant à aux colonnes d indice j 2 f2; :::; ng la précédente multipliée par a, on obtient un déterminant par blocs, d où on déduit : W (a ; :::; a n ) = (a 2 a )(a 3 a ):::(a n a )W (a 2 ; :::; a n ): On conclut à nouveau par récurrence sur l ordre de la matrice de Van der Monde. Troisième preuve : a : : : a n 2 P (a ) a 2 : : : a n 2 2 P (a 2 ) Lemme : i) Soit P 2 K[X] un polynôme unitaire de degré (n ): Alors = W (a ; :::; a n ):.... a n : : : a n n 2 P (a n ) ii) Soient P j, avec j n, des polynômes unitaires de degré échelonnés, c est-à-dire deg P j = j. Alors det(p j (a i )) in;jn = W (a ; :::; a n ): Preuve du lemme : i) On retranche à la dernière colonne une combinaison linéaire des autres. ii) On opére sur les colonnes en retranchant à chaque colonne une combinaison linéaire des précédentes. Preuve de la prop : On choisit P j = (X a )(X a 2 ):::(X a j ). Ainsi, P j est unitaire de degré (j ). La matrice (P j (a i )) in;jn est triangulaire inférieure, donc son déterminant est le produit des termes diagonaux P j (a j ): On déduit de ii) que W (a ; :::; a n ) est le produit des (a j a i ), avec i < j n.