2,5 0 0,3 2 1, , π π 2. (b) Les propriétés se vérifient en regardant les coefficients des matrices.

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1 Exercices du chapitre II : Opérations sur les matrices N o 1 a Effectuer les additions suivantes : π π b Vérifier les propriétés suivantes i A B C Mpq; R : A + B = A + C B = C ii A B C Mpq; R : A + B = C A = C B iii A Mpq; R : A = A c On considère l ensemble B = {01} avec la loi d addition donnée par la table Dresser alors la table d addition pour les matrices de M2; B a = π π 2 2 π + π = b Les propriétés se vérifient en regardant les coefficients des matrices Notons A = a ij B = b ij et C = c ij où 1 i p et 1 j q i Dire que A + B = A + C revient à dire que quels que soient i et j a ij + b ij = a ij + c ij ce qui équivaut à dire que quels que soient i et j soit B = C b ij = c ij ii Dire que A + B = C revient à dire que quels que soient i et j a ij + b ij = c ij ce qui équivaut à dire que quels que soient i et j a ij = c ij + b ij 1

2 soit A = C B iii Les coefficients de A sont les termes a ij et ceux de A sont a ij = a ij Donc A = A c La table d addition comporte 16 2 = 256 cases Le calcul se fait en remplaçant partout 2 par 0 En particulier la somme de deux matrices identiques donne la matrice nulle Notons A 1 = A 5 = A 9 = A 13 = On obtient alors la table suivante A 2 = A 6 = A 10 = A 14 = A 3 = A 7 = A 11 = A 15 = A 4 = A 8 = A 12 = A 16 = + A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 2 A 2 A 1 A 6 A 8 A 11 A 3 A 15 A 4 A 14 A 16 A 5 A 13 A 12 A 9 A 7 A 10 A 3 A 3 A 6 A 1 A 12 A 9 A 2 A 16 A 13 A 5 A 15 A 14 A 4 A 8 A 11 A 10 A 7 A 4 A 4 A 8 A 12 A 1 A 7 A 13 A 5 A 2 A 16 A 14 A 15 A 3 A 6 A 10 A 11 A 9 A 5 A 5 A 11 A 9 A 7 A 1 A 14 A 4 A 15 A 3 A 13 A 2 A 16 A 10 A 6 A 8 A 12 A 6 A 6 A 3 A 2 A 13 A 14 A 1 A 10 A 12 A 11 A 7 A 9 A 8 A 4 A 5 A 16 A 15 A 7 A 7 A 15 A 16 A 5 A 4 A 10 A 1 A 11 A 12 A 6 A 8 A 9 A 14 A 13 A 2 A 3 A 8 A 8 A 4 A 13 A 2 A 15 A 12 A 11 A 1 A 10 A 9 A 7 A 6 A 3 A 16 A 5 A 14 A 9 A 9 A 14 A 5 A 16 A 3 A 11 A 12 A 10 A 1 A 8 A 6 A 7 A 15 A 2 A 13 A 4 A 10 A 10 A 16 A 15 A 14 A 13 A 7 A 6 A 9 A 8 A 1 A 12 A 11 A 5 A 4 A 3 A 2 A 11 A 11 A 5 A 14 A 15 A 2 A 9 A 8 A 7 A 6 A 12 A 1 A 10 A 16 A 3 A 4 A 13 A 12 A 12 A 13 A 4 A 3 A 16 A 8 A 9 A 6 A 7 A 11 A 10 A 1 A 2 A 15 A 14 A 5 A 13 A 13 A 12 A 8 A 6 A 10 A 4 A 14 A 3 A 15 A 5 A 16 A 2 A 1 A 7 A 9 A 11 A 14 A 14 A 9 A 11 A 10 A 6 A 5 A 13 A 16 A 2 A 4 A 3 A 15 A 7 A 1 A 12 A 8 A 15 A 15 A 7 A 10 A 11 A 8 A 16 A 2 A 5 A 13 A 3 A 4 A 14 A 9 A 12 A 1 A 6 A 16 A 16 A 10 A 7 A 9 A 12 A 15 A 3 A 14 A 4 A 2 A 13 A 5 A 11 A 8 A 6 A 1 La table a été construite avec la procédure MAPLE suivante : withlinalg: A1:=matrix22[0000]: A2:=matrix22[1000]: A3:=matrix22[0100]: A4:=matrix22[0010]: A5:=matrix22[0001]: A6:=matrix22[1100]: A7:=matrix22[0011]: 2

3 A8:=matrix22[1010]: A9:=matrix22[0101]: A10:=matrix22[1111]: A11:=matrix22[1001]: A12:=matrix22[0110]: A13:=matrix22[1110]: A14:=matrix22[1101]: A15:=matrix22[1011]: A16:=matrix22[0111]: tb:=procglobal N; for i to 16 do for j to 16 do for l to 16 do if iremmataddaiaj[11]2 = Al[11] and iremmataddaiaj[12]2= Al[12] and iremmataddaiaj[21]2=al[21] and iremmataddaiaj[22]2 = Al[22] then hij:=l;fi od od od; N:=matrix1616h;end: tb; N o 2 a Effectuer les multiplications indiquées ci-dessous : π b Vérifier les propriétés suivantes : i A Mpq; R 0A = O ii λ R si O = O pq alors λo = O iii A Mpq; R 1A = A iv Si A k = a k ij Mpq; R et λ k R pour k = 1 m alors m m λ k A k = λ k a k ij k=1 k=1 π c Continuer l exercice N o 1 c sur l addition avec B en prenant maintenant la loi de multiplication 0 1 a = π = π

4 π 2 2 π = b Les propriétés se vérifient de manière évidente en regardant les coefficients c Les éléments de B ne pouvant valoir que 0 ou 1 on a quelle que soit la matrice A de M 2 B 0A = O et 1A = A 4

5 N o 3 a Soient les matrices 3 5 A = 1 4 B = C = D = Calculer tous les produits possibles de deux de ces matrices b Calculer les produits 2 à 2 des matrices 22 à coefficients 0 ou 1 dans R c Même question en prenant la loi de B d Calculer les carrés A 2 = AA des matrices 22 cos x sin x cos x sin x A x = B sin x cos x x = sin x cos x e Calculer les produits 2 à 2 des matrices 22 ci-dessus : A x A y A x B y B x A y B x B y f Montrer que { O si j k E ij pq Eklqs = E il ps si j = k a b g On considère dans M2; R l ensemble C des matrices 22 de la forme b a b R Montrer que la somme et le produit de deux éléments de C est encore un élément de C Pourquoi l a-t-on appelé C? Auriez-vous envie de lui donner un autre nom regarder en particulier la matrice? h Même question avec l ensemble { a b D = b a } M2; R a b R Trouver deux matrices non nulles de D dont le produit soit nul Peut-on trouver une matrice A D non nulle telle que A 2 = O? i Même question avec l ensemble { } a b E = M2; R a b R 0 a Montrer qu il y a un élément A E non nul tel que A 2 = O j Même question avec l ensemble { } a b F = M2; R a b c R 0 c a et a Les seuls produits possibles sont les suivants : 5

6 3 5 AB = BA = = = BC = = CA = = CC = = DB = = b et c Voici tout d abord la table d opération pour le produit de matrices en prenant la loi de B A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 2 A 1 A 2 A 3 A 1 A 1 A 6 A 1 A 2 A 3 A 6 A 2 A 3 A 6 A 6 A 2 A 3 A 3 A 1 A 1 A 1 A 2 A 3 A 1 A 6 A 2 A 3 A 6 A 3 A 2 A 2 A 3 A 6 A 6 A 4 A 1 A 4 A 5 A 1 A 1 A 7 A 1 A 4 A 5 A 7 A 4 A 5 A 7 A 7 A 4 A 5 A 5 A 1 A 1 A 1 A 4 A 5 A 1 A 7 A 4 A 5 A 7 A 5 A 4 A 4 A 5 A 7 A 7 A 6 A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 6 A 6 A 1 A 1 A 1 A 6 A 6 A 3 A 2 A 3 A 2 A 7 A 1 A 4 A 5 A 4 A 5 A 7 A 7 A 1 A 1 A 1 A 7 A 7 A 5 A 4 A 5 A 4 A 8 A 1 A 8 A 9 A 1 A 1 A 10 A 1 A 8 A 9 A 10 A 8 A 9 A 10 A 10 A 8 A 9 A 9 A 1 A 1 A 1 A 8 A 9 A 1 A 10 A 8 A 9 A 10 A 9 A 8 A 8 A 9 A 10 A 10 A 10 A 1 A 8 A 9 A 8 A 9 A 10 A 10 A 1 A 1 A 1 A 10 A 10 A 9 A 8 A 9 A 8 A 11 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 A 12 A 1 A 4 A 5 A 2 A 3 A 7 A 6 A 8 A 9 A 10 A 12 A 11 A 15 A 16 A 13 A 14 A 13 A 1 A 8 A 9 A 2 A 3 A 10 A 6 A 4 A 5 A 7 A 13 A 14 A 16 A 15 A 12 A 11 A 14 A 1 A 2 A 3 A 8 A 9 A 6 A 10 A 4 A 5 A 7 A 14 A 13 A 12 A 11 A 16 A 15 A 15 A 1 A 8 A 9 A 4 A 5 A 10 A 7 A 2 A 3 A 6 A 15 A 16 A 14 A 13 A 11 A 12 A 16 A 1 A 4 A 5 A 8 A 9 A 7 A 10 A 2 A 3 A 6 A 16 A 15 A 11 A 12 A 14 A 13 Il suffit de remplacer matadd par multiply dans la procédure MAPLE employée pour la somme Dans ce qui suit figure une table partielle du produit de deux matrices ne comportant que des 1 et des 0 Le reste de la table est la même que pour la table précédente 6

7 A 8 A 9 A 10 A 13 A 14 A 15 A A 6 A A A 13 ] A A A d En utilisant les formules de trigonométrie sin 2x = 2 sin x cos x et cos 2x = cos 2 x + sin 2 x on obtient facilement A 2 cos 2x sin 2x x = = A sin 2x cos 2x 2x Bx 2 = e En utilisant les formules de trigonométrie = I sinx + y = sin x cos y + sin y cos x cosx + y = cos x cos y sin x sin y sinx y = sin x cos y sin y cos x cosx y = cos x cos y + sin x sin y on obtient facilement A x A y = B x A y = cosx + y sinx + y cosx + y sinx + y = A sinx + y cosx + y x+y A x B y = = B sinx + y cosx + y x+y cosx y sinx y = B sinx y cosx y x y B x B y = cosx y sinx y = A sinx y cosx y x y f Rappelons que la matrice E ij pq est la matrice pq dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang ij qui vaut 1 En utilisant un exercice vu dans le chapitre I on peut également écrire le coefficient uv de cette matrice sous la forme δ ui δ vj Alors le coefficient vw du produit E ij pq Eklqs vaut α uw = q δ ui δ vj δ vk δ wl v=1 Le nombre δ ui δ vj δ vk δ wl est non nul si et seulement si on a à la fois u = i v = j v = k w = l Il y a alors deux cas possibles : 7

8 1 j = k Dans la somme donnant α uw il y a un seul terme non nul si u = i et w = l et aucun sinon Donc α il = 1 et tous les autres termes sont nuls On a alors E ij pq Eklqs = Eilps 2 j k Dans la somme donnant α uw il n y a aucun terme non nul Donc E ij pq Eklqs = O g On obtient facilement a b a b + b a b a = et a b b a a b b a = Les matrices obtenues sont encore dans C a + a b + b b + b a + a aa bb ab + ba ab + ba aa bb En particulier = I Si l on écrit a b 0 1 = ai + b b a on constate que les opérations faites sur les matrices de C sont exactement les mêmes que celles faites sur les nombres complexes a + ib Cette remarque peut être un moyen de définir les nombres complexes à partir des nombres réels h On obtient facilement a b a b + a + a b + b b a b a = b + b a + a et a b a b aa b a b a = + bb ab + ba ab + ba aa + bb Les matrices obtenues sont encore dans D On a par exemple 1 1 = O a On a A 2 = 2 + b 2 2ab 2ab a 2 + b 2 Pour que ce produit soit nul il faut en particulier que a 2 +b 2 = 0 ce qui nécessite a = b = 0 On a donc nécessairement A = O i On obtient facilement a b + 0 a a b a + a b + b 0 a = 0 a + a 8

9 et a b a b aa ab 0 a 0 a = + ba 0 aa Les matrices obtenues sont encore dans E On constate que 2 = O j On obtient facilement a b + 0 c a b a + a b + b 0 c = 0 c + c et a b a b aa ab 0 c 0 c = + bc 0 cc Les matrices obtenues sont encore dans F N o 4 Calculer AB et BA pour a A = et B = 0 a c d b A = et B = a b c d R 0 b 1 1 c A = et B = 1 1 a AB = O et BA = A 0 ac + bd b AB = O et BA = c AB = et BA = N o 5 a Calculer AB et BA pour A = et B = b Vérifier que si q = 1 A Mp1; R B M1s; R alors A O et B O AB O Et montrer que si q 2 il existe A pq et Bqs tels que A O B O et AB = O a AB = BA = O 9

10 b Si A = a 1 a p et B = b 1 b s le coefficient ij de la matrice AB vaut ai b j Si A n est pas nulle il existe un indice i tel que a i 0 Si B n est pas nulle il existe un indice j tel que b j 0 Alors a i b j n est pas nul et AB O Par contre si q 1 on a vu que E 11 pq Eqsqs = O N o 6 a Vérifier que quels que soient λ et µ réels et quelles que soient les matrices A Mpq; R et B Mqs; R λaµb = λµab b Vérifier que quels que soient λ réel et A Mpq; R λa = λi p A = AλI q c Vérifier : λi p + µi p = λ + µi p λi p µi p = λµi p 1I p = I p 0I p = O p a On a λa = λa ij et µb = µb ij Le coefficient kj de la matrice λaµb est donc q c ij = λa ik µb kj k=1 On peut mettre λµ en facteur dans cette somme donc q c ij = λµ a ik µb ik q Mais a ik b kj est le coefficient ij de la matrice AB donc c ij est le coefficient ij de la k=1 matrice λµab On a donc bien l égalité k=1 λaµb = λµab b En utilisant les égalités AI q = I p A = A et en multipliant par λ on obtient avec a λa = λi p A = λi p A et aussi c Vérifications immédiates λa = λai q = AλI q N o 7 a Calculer A m pour A 1 = puis pour A 2 = b Calculer O m et I m c Vérifier les propriétés λa m = λ m A m ; A + B 2 = A 2 + AB + BA + B 2 10

11 a On obtient A 2 = 0 et donc si m 2 A m 1 = A m 2 1 A 2 1 = A m 2 1 O = O On calcule les premières puissances A 2 2 = 1 2 et A 3 2 = 1 3 Cela laisse penser que A m 2 = 1 m On le démontre alors par récurrence D après ce qui précède cette formule est vraie pour les premières valeurs de m m = 0123 Supposons la vraie à l ordre m Alors A m+1 2 = A m 2 A 2 = 1 m 1 m + 1 La formule est vraie également à l ordre m + 1 Elle est donc vraie pour tout m 0 b Une récurrence immédiate donne O m = 0 et I m = I c Là encore une récurrence donne facilement λa m = λ m A m Cette formule est vraie pour m = 1 Supposons la vraie à l ordre m Alors En utilisant alors le c du N o 6 λa m+1 = λa m λa = λ m A m λa λa m+1 = λ m λa m A = λ m+1 A m+1 et la formule est vraie au rang m + 1 Elle est donc vraie pour tout m 1 L autre formule s obtient en utilisant les proprtiétés de distributivité A + BA + B = AA + B + BA + B = A 2 + AB + BA + B 2 N o 8 a Développer A + B 3 b Développer A + B + C 2 c Développer A + I 3 d De manière générale développer A + I n e Refaire le calcul pour A 2 de a du N o 7 en remarquant que A 2 = I + A 1 11

12 a En utilisant le c du N o 7 puis avec la distributivité b Même méthode A + B 3 = A + BA + B 2 = A + BA 2 + AB + BA + B 2 A + B 3 = A 3 + A 2 B + ABA + AB 2 + BA 2 + BAB + B 2 A + B 3 A + B + C 2 = A + B + CA + B + C = AA + B + C + BA + B + C + CA + B + C = A 2 + AB + AC + BA + B 2 + BC + CA + CB + C 2 c En posant B = I dans a et puisque I m = I et que AI = IA les termes se regroupent et l on obtient A + I 3 = A 3 + 3A 2 + 3A + I ce n est autre que la formule du binôme de Newton d La formule du binôme de Newton s applique de manière générale A + I n = n C i na i e En particulier si A 1 = et puisque A i 1 = 0 si i 2 tous les termes de la somme ci-dessus sont nuls sauf ceux correspondant aux indices i = 0 et i = 1 On obtient i=0 A 1 + I n = C 1 na + C 0 na = na 1 + I N o 9 a Montrer que I est inversible b Montrer que I + λe ij est inversible sauf si i = j et λ = 1 c Parmi les matrices 22 à coefficients 0 ou 1 quelles sont celles qui sont inversibles? a b d Plus généralement si A = M2; R vérifie ad bc 0 montrer que A est c d inversible e Si A est inversible dans Mp; R alors pour tout n N montrer que la matrice A n est inversible et A n 1 = A 1 n Pour simplifier on note cette matrice A n f Si A est inversible montrer que quels que soient m et n Z on a A m A n = A m+n a On a II = I Il résulte donc de la définition que I est inversible et que I 1 = I b En utilisant le f du N o 3 on a si p = q = s Alors si i j E ij 2 = { E ij si i = j O si i j 12

13 Ainsi que I + λe ij I λe ij = I 2 + λe ij λe ij λ 2 E ij 2 = I I λe ij I + λe ij = I Il en résulte que I + λe ij est inversible et a pour inverse I λe ij Si i = j et λ 1 cherchons µ pour que I + λe ii I + µe ii = I En développant on obtient puisque E ii 2 = E ii I + λe ii I + µe ii = I + λ + µ + λµe ii Il suffit de prendre µ pour que λ + µ + λµ = 0 soit µ = λ On en déduit que I + λeii 1 + λ et d inverse I λ 1 + λ Eii On peut remarquer que I + λe ii est une matrice diagonale dont les éléments de la diagonale principale sont λ1 1 où 1 + λ est en i ème position Son inverse est alors une 1 matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont λ Lorsque λ = 1 I E ii E ii = E ii E ii 2 = O Si la matrice avait une inverse B on aurait alors O = BI E ii E ii = E ii ce qui n est pas le cas Donc I E ii n est pas inversible x y c et d Supposons ad bc 0 et cherchons une matrice X = telle que AX = I On z t a donc a b x y ax + bz ay + bt AX = = = I c d z t cx + dz cy + dt ce qui équivaut au système ax + bz = 1 ay + bt = 0 cx + dz = 0 cy + dt = 1 Comme ba 00sinon ad bc = 0 la deuxième équation signifie qu il existe λ tel que yt = λ ba et la troisième qu il existe µ tel que xz = µ dccar dc 00 Alors les deux autres équations donnent { µad + µbc = 1 λbc + λad = 1 soit µ = λ = 1 ad bc 13

14 On vérifie bien que a b d b = c d c a ad bc 0 = ad bci 0 ad bc et de même d b a b ad bc 0 = = ad bci c a c d 0 ad bc a b 1 d b Alors si ad bc 0 la matrice est inversible et son inverse est c d ad bc c a Si ad bc = 0 on a d b a b = O c a c d a b Si avait une inverse B on obtiendrait c d d b a b d b O = B = c a c d c a et donc d b = O c a or ceci n est possible que si a = b = c = d = 0 et la matrice O n est pas inversible puisque pour toute matrice C on a AC = O on ne peut donc avoir AC = I Les matrices 22 dont les coefficients valent 0 ou 1 et qui sont inversibles sont alors les matrices A 11 à A 16 avec les notations utilisées plus haut e On montre par récurrence que si n 0 A 1 n A n = A n A 1 n = I C est vrai si n = 0 car A 0 = I Supposons la formule vraie à l ordre n Alors A 1 n+1 A n+1 = A 1 n A 1 AA n = A 1 n IA n = A 1 n A n = I et de même pour A n+1 A 1 n+1 = I La formule est donc vraie à l ordre n + 1 Il en résulte qu elle est vraie pour tout n 1 Il en résulte que A n est inversible et que son inverse est A 1 n f La formule A m A n = A m+n est vraie si m et n sont dans N Si m = m et n = n avec m et n sont dans N on a en utilisant e A m A n = A m A n = A 1 m A 1 n = A 1 m +n = A m +n = A m+n Si m = m et si m et n sont dans N on a Il y a deux possibilités : A m A n = A m A n = A 1 m A n 14

15 1 Si n m on écrit 2 Si n < m on écrit A m A n = A 1 m A n = A 1 m A m A n m = A n m = A n+m A m A n = A 1 m A n = A 1 m n A 1 n A n = A 1 m n = A n m = A n+m Le cas où n est négatif et m positif est analogue au cas précédent On a donc dans tous les cas l égalité A m A n = A m+n N o 10 Montrer que les matrices D i µ = I + µ 1E ii sont diagonales Identifier ses éléments diagonaux Montrer que D i µ est inversible si et seulement si µ 0 Calculer D i µ n Montrer que D i µ vérifie D i µ 2 = I si et seulement si µ = 1 ou µ = 1 La matrice D i µ est diagonale puisque I et E ii le sont Le coefficient ii vaut 1 + µ 1 = µ Les autres coefficients diagonaux sont égaux à 1 La matrice possède n pivots si µ 0 Elle est donc inversible dans ce cas On obtient l inverse en inversant les coefficients diagonaux Si µ = 0 elle possède seulement n 1 pivots et n est plus inversible On calcule D i µ n en élevant à la puissance n les éléments diagonaux Donc D i µ n = D i µ n En particulier le coefficient ii de D i µ 2 vaut µ 2 Les autres valent 1 Donc D i µ 2 = I si et seulement si µ 2 = 1 soit µ = ±1 N o 11 a Si N 1 N p sont triangulaires supérieures strictes dans Mp; R montrer que le produit N 1 N 2 N p est nul b Montrer que si i j et λ R les matrices T ij λ = I + λe ij sont triangulaires Vérifier que toutes ces matrices sont inversibles et calculer l inverse Calculer T ij λ n a On utilise le lemme : Lemme Si A T Spm 1 ; R et B T Spm 2 ; R alors AB T Spm 1 + m 2 ; R On démontre par récurrence sur k que N 1 N k appartient à T Spk; R Toutes les matrices N i sont triangulaires strictes donc appartiennent à T Sp1; R C est en particulier le cas de N 1 et la propriété est vraie au rang 1 Supposons qu elle soit vraie au rang k < p 1 Alors A = N 1 N k appartient à T Spk; R et B = N k+1 appartient à T Sp1; R Il 15

16 résulte du lemme que AB = N 1 N k+1 appartient à T Spk+1; R La propriété est donc vraie au rang k +1 IL en résulte qu elle est vraie pour tout k compris entre 1 et p Donc N 1 N p appartient à T Spp; R mais cet ensemble ne contient que la matrice nulle Donc N 1 N 2 N p = O b Comme I est diagonale et E ij est triangulaire la matrice I + λe ij est triangulaire On a déjà vu dans le b du N o 8 que si i j elle est inversible sont inverse étant T ij λ On a vu également que si i j on a E ij 2 = O donc si k 2 on a E ij k = O Alors en utilisant la formule du binôme de Newton I + λe ij n = n C k nλe ij k Mais tous les termes de la somme ci-dessus sont nuls sauf ceux correspondant aux indices k = 0 et k = 1 On obtient k=0 I + λe ij n = C 1 nλe ij + I = nλe ij + I Donc Et cela reste vrai si n est négatif T ij λ n = T ij nλ 16

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