Terminale ES. Les fonctions exponentielles

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1 Terminale ES 1

2 x q x avec q > 0 I Fonction exponentielle de base q Propriété - Définition q désigne un nombre réel strictement positif. On considère le nuage de points représentatif de la suite (q n ). Il existe une unique fonction f définie sur et qui satisfait aux conditions suivantes : 1. la courbe représentative de f réalise un prolongement continu de ce nuage; 2. f est dérivable sur ; 3. pour tous nombres réels x et y f(x + y) = f(x) f(y) (On dit qu il s agit d une relation fonctionnelle). Cette fonction est appelée la fonction exponentielle de base q. On note pour tout nombre réel x, f(x) = q x. Cas particuliers q 0 = 1 q 1 = q q -1 = 1 q 2

3 x q x avec q > 0 Cas q > 1 Cas 0 < q < 1 Points rouges : représentation graphique de la suite (q n ). Courbe noire : représentation graphique de la fonction x q x. Lien vers une animation Géogebra 3

4 x q x avec q > 0 II Conséquences de la relation fonctionnelle Pour tous nombres réels x et y, la relation fonctionnelle se traduit par : q x+y = q x q y. transforment les sommes en produits. Conséquences : q x = 1 q x et qx y = qx q y. En effet, q x-x = q x q -x = 1; donc q -x 0 et q x = 1 x. q x > 0. En effet, q x = q x 2 +x 2 = q x 2 q x 2 = q x 2 q x 2 = q x et en particulier q 0,5 = q En effet, q x = q x 2 2 et q x > 0. 2 et q x 0 Pour tout entier naturel n, (q x ) n = q nx = (q n ) x 4

5 x q x avec q > 0 III Sens de variation Propriétés Le sens de variation de la fonction x q x est le même que celui de la suite géométrique associée. Si 0 < q < 1, la fonction x q x est strictement décroissante sur. Si q = 1, la fonction x q x est constante sur. Si q > 1, la fonction x q x est strictement croissante sur. Conséquence : Si q 1, alors pour tous nombres réels a et b : q a = q b a = b 5

6 La fonction exponentielle x e x IV La fonction exponentielle x e x Propriété - Définition Il existe une unique fonction x q x qui admet pour nombre dérivé 1 en 0. On note e la base de cette fonction exponentielle et e 2,718. On dit que la fonction exponentielle de base e est la fonction exponentielle. Elle se note exp : x e x. C exp T Tangente en A(0,1) de coefficient directeur égal à 1 6

7 La fonction exponentielle x e x Conséquences : La fonction exponentielle est dérivable sur et exp (0) = 1. exp(0) = e 0 = 1 exp(1) = e 1 = e exp(-1) = e -1 = 1 e exp(0,5) = e 0,5 = e Pour tout réel x, e x > 0. La fonction exponentielle est strictement croissante sur (car e > 1). On en déduit que pour tous réels a et b : e a = e b a = b e a < e b a < b Propriétés algébriques : Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n : e x+y = e x e y e x 2 = e x e x = 1 e x e x y = ex e y ex n = e nx 7

8 La fonction exponentielle x e x V Dérivée de la fonction exponentielle Propriété La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée. Ainsi, pour tout réel x, exp (x) = e x. Démonstration a désigne un nombre réel. Le nombre dérivé en a de la fonction exponentielle est égal à la limite quand h tend vers 0 de t(h) = ea+h e a = e a eh 1. h h Or comme exp (0) =1, alors la limite quand h tend vers 0 du quotient e a eh 1 = ea e h e a h est égale à 1. On en déduit que la limite de t(h) quand h tend vers 0 est égale à e a. h 8

9 La fonction exponentielle x e x VI Courbe représentative de la fonction exponentielle Tableau de variation de la fonction exponentielle : x C exp T 1 exp + exp 1 e T 0 Equation de la tangente T 0 à C exp au point A(0,1) : exp (0) = 1 donc T 0 : y = 1(x 0) + 1, soit y = x + 1 Equation de la tangente T 1 à C exp au point B(1,e) : exp (1) = e donc T 1 : y = e(x 1) + e, soit y = ex 9

10 Fonction x e u(x) Notation : u désigne une fonction définie sur un intervalle I. La fonction x exp(u(x)) définie sur I est notée e u. VII Fonction dérivée de x e u(x) Propriété Si la fonction u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x e u(x) est dérivable sur I et pour tout réel x de I : (e u ) (x) = u (x) e u(x). Conséquence : Les fonctions u et e u ont le même sens de variation sur l intervalle I. En effet, comme pour tout réel x de I e u(x) > 0 alors (e u ) (x) et u (x) ont le même signe. 10

11 Fonction x e u(x) VIII Exemples types Exemple 1 : les fonctions f k : x e -kx avec k réel strictement positif. Ces fonctions sont de la forme e u avec u(x) = - kx. Elles sont donc dérivables sur et pour tout x réel : f k (x) = -ke -kx ; donc f k (x) < 0 : les fonctions f k (avec k > 0) sont strictement décroissantes sur. x f k - f k 1 Les courbes représentatives des fonctions f k passent par le point A(0;1). 11

12 Fonction x e u(x) Exemple 2 : les fonctions g k : x e -kx² avec k réel strictement positif. Ces fonctions sont de la forme e u avec u(x) = - kx². Elles sont donc dérivables sur et pour tout x réel : g k (x) = -2kxe -kx² ; Or 2e -kx² > 0 donc g k (x) a le même signe que x. les fonctions g k (avec k > 0) sont croissantes sur ]- ;0] et décroissantes sur [0;+ [. x g k g k 1 Les courbes représentatives des fonctions g k sont symétriques par rapport à l axe des ordonnées. (Ces fonctions sont donc paires.) 12