Chapitre : ISOMETRIES PLANES

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1 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 Chapitre : ISOMETRIES PLANES I. GENERALITES 1. Définition On appelle isométrie d plan tote transformation plan dans li-même qi conserve les distances ; c'est-à-dire qe si f : P P est ne isométrie plane alors por tos points A et B d plan P tels qe f ( A) A' et f ( B) B ' on a AB A' B '. Exemple : Les symétries orthogonales, les translations, les rotations sont des isométries d plan. Exercice -1: Soit f ne application d plan P dans li-même définie par l expression analytiqe sivante : 1 x ' (3x 4y 4) 5. Montrer qe f est ne isométrie. 1 y ' ( 4x 3 y) 5 2. Conservation d prodit scalaire Soit f ne transformation d plan. f est ne isométrie si et selement si f conserve le prodit scalaire 3. Conservation d barycentre Soit f ne isométrie d plan, (A, ) et (B, ) dex points pondérés de barycentre G. Le point f( G) est le barycentre des points pondérés ( ( ), ) ( ( ), ) Conséqences : Tote isométrie conserve : L alignement des points ; Exercice -2: L orthogonalité et le parallélisme des droites ; f A et f B. Le contact d ne droite et d n cercle, de dex droites o de dex cercles ; Les aires des srfaces planes, La natre des figres géométriqes ( droites, triangles, qadrilatères, cercles, coniqes ). Soit ABC n triangle éqilatéral direct, ( ) l arc AB d cercle circonscrit a triangle ABC ne contenant pas C ; M le point de ( ). Soit I le point d segment [MC] tel qe MA = MI et r la rotation de centre A et d angle. 3 Montrer qe MB = IC et qe dédisez qe MA + MB = MC. 1 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes

2 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 II. COMPOSITION D ISOMETRIES 1. Composée de dex isométries La composée de dex isométries est ne isométries. 2. Rappels a) Composition de dex symétries orthogonales : Soit (D) et (D ) dex droites d plan ; la composée S( D) S( D') est : - ne translation si ( D) ( D') ; - ne rotation si (D) et (D ) sont sécantes. S S ( M) t ( M) M '' Figre 2 : ( ') ( ) 2 D D AB Figre 1 : S S ( M) r ( M) M '' ( D') ( D) ( A;2( AI, AJ )) b) Composition de rotations : Soit ra ( ; 1) et r'( B ; 2) dex rotations. La composée r' r est : - ne translation si A B et 1 2 0, -ne rotation si Figre 4 : r' r (, ) (, ( M) M ''; r' ) (, r ) (, ( A) A' B A B A ) MM '' AA' Figre 3 : r' r ( M) M ''; r' r ( A) A'' ( B, 2 ) ( A, 1) ( B, 2 ) ( A, 1) [MM ] et [AA ] ont des médiatrices sécantes 2 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes

3 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin Décomposition d ne translation Soit t ne translation de vecter non nl et (D) ne droite de vecter normal. Il existe ne symétrie orthogonale d axe (D ) parallèle à (D) telle qe : t S( D') S( D) o, t S ( D) S( D') Exercice-2 : Soit ABC n triangle éqilatéral et I le milie d côté [BC]. Soit T la translation de vecter BC et S la symétrie orthogonale d axe (AI). En tilisant la décomposition de T, déterminer la composée S T. 4. Décomposition d ne rotation Exercice-3 : Soit r ne rotation de centre Ω et d angle orienté,(d) ne droite passant par. Il existe ne droite (D ) telle qe : r S( D') S( D) o, r S( D) S( D') S et S étant dex symétries orthogonales. Soit ABCD n carré tel qe : Mes AB ; AD 2 ; ( D') ( D) et r la rotation de centre A et d angle 2. En tilisant la décomposition de r déterminer la composée r s. AC 5. Composition d ne rotation et d ne translation a) activité : Exercice -4: Soit r r la rotation de centre O et d angle et t t ne translation de vecter. O; En tilisant la décomposition des isométries r et t, déterminer la composée r t. b) La composée d ne rotation d angle et d ne translation est ne rotation d angle Exercices d application n 5 et 6 (voir livre de mathématiqes terminale SM collection ciam). Exercice-5 : 6. Composition d ne translation et d ne symétrie orthogonale a) Activité : Soit t t ne translation de vecter non nl et s s ne symétrie orthogonale d axe. En tilisant la décomposition de la translation t, déterminer la composée t s. b) Soit t t ne translation de vecter non nl et s s ne symétrie orthogonale d axe. La composée t s o s t est : - Une symétrie orthogonale si est normal à. - Une symétrie glissée si n est pas normal à. 3 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes

4 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin Symétrie glissée a) Définition : On appelle symétrie glissée tote isométrie composée d ne translation de vecter non nl et d ne symétrie orthogonale d axe (D) dont est n vecter directer. b) Théorème : Tote symétrie glissée S s écrit de façon niqe comme composée d ne symétrie orthogonale par rapport à ne droite (D) et d ne translation de vecter où est n vecter directer de (D). Dans ce sel cas, la composée de la symétrie orthogonale et de la translation est permtable. On a : s t s s t D D Remarqe : Cette écritre d ne symétrie glissée s appelle la forme canoniqe. (D) est l axe de la symétrie glissée et le vecter de la même symétrie glissée. c) Propriété-1 : Remarqe : Soit g ne symétrie glissée de vecter. g g t 2 Cette propriété permet de déterminer le vecter pis de l axe (D) en écrivant s( D) t g. d) Propriété-2 : L axe d ne symétrie glissée g est la droite passant par les miliex des segments [MM ], où M =g(m). Exercice-6 : Soit f la symétrie glissée de forme analytiqe : Déterminer la forme canoniqe de f. 1 3 x' x y y ' x y Exercice-7 : Soit 8. Composée d ne rotation et d ne symétrie orthogonale R r ; ne rotation de centre Ω et d angle et S S ne symétrie orthogonale d axe (Δ). 1)On sppose qe. En tilisant la décomposition de R en symétries orthogonales, démontré qe R S ne symétrie orthogonale. 2)On sppose qe. Démontrer qe R S est ne symétrie glissée. Soit R ne rotation de centre Ω et S ne symétrie orthogonale d axe (Δ). - Si, alors R S o S R est ne symétrie orthogonale. - Si, alors R S o S R est ne symétrie glissée. est 4 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes

5 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 III. CLASSIFICATION DES ISOMETRIES 1. Classification sivant l ensemble des points invariants a) Propriété-1 : Tote isométrie laissant invariant trois points distincts d plan, est l identité d plan. b) Propriété-2 : Tote isométrie laissant invariant dex points distincts d plan, est ne symétrie orthogonale. c) Propriété-3 : Tote isométrie laissant invariant n sel point d plan, est ne rotation d plan. d) Propriété-4 : Tote isométrie d plan qi n admet acn point invariant est soit ne translation soit ne symétrie glissée. 2. Déplacements et antidéplacements a) Définition : - On appelle déplacement d plan tote isométrie qi conserve les angles orientés de vecters d plan. - On appelle antidéplacement d plan tote isométrie qi transforme n angle orienté de vecters en son opposé. Exemples : Les rotations et les translations sont des déplacements. Les symétries orthogonales et glissées sont des antidéplacements. b) Propriétés : La composée de dex déplacements est n déplacement ; La composée de dex antidéplacements est n déplacement ; La composée d n déplacement et d n antidéplacement est n antidéplacement ; La réciproqe d n déplacement est n déplacement ; La réciproqe d n antidéplacement est n antidéplacement. 3. Détermination d ne isométrie a) Propriété-1 : Etant donné qatre points A, B, A et B tes qe :AB=A B et AB 0, il existe n déplacement et n sel transformant A en A et B en B. Exercice-8 : ABCD est n trapèze isocèle tel qe (AB) soit parallèle à (CD). Montrer q il existe n déplacement d niqe tel qe : d(a)=b et d(d)=c. Préciser ses éléments caractéristiqes. b) Propriété-2 : Etant donné qatre points A, B, A et B tes qe :AB=A B et AB 0, il existe n antidéplacement et n sel transformant A en A et B en B. Exercice-9 : ABCD est n trapèze isocèle tel qe (AB) soit parallèle à (CD). Montrer q il existe n antidéplacement f niqe tel qe : f(a)=b et f(d)=c. Préciser ses éléments caractéristiqes. IV. ECRITURE COMPLEXE D UNE ISOMETRIE 1. Forme complexe d ne translation Tote translation a ne forme complexe d type : translation. z ' z b, avec b l affixe d vecter de cette 5 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes

6 [COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 jin 2012 Exercice-10 : 1) Déterminer l écritre complexe de la translation de vecter d affixe -2+3i. 2) Déterminer la translation dont l écritre complexe est : z ' z 4 i Exercice-11 : 2. Forme complexe d ne rotation Tote rotation d plan a ne écritre complexe d type : b - Le centre de cette rotation a por affixe : 1 a ; - L angle orienté de cette rotation a por mesre arg(a). 1) Déterminer l écritre complexe de la rotation de centre A(-3+i) et d angle 3. z ' az b telle qe a 1et a 1. 2) Déterminer les éléments caractéristiqes de la rotation d écritre complexe : 1 3 z ' i z i Formes complexes de qelqes symétries orthogonales Propriétés : Soit (O, I, J) n repère orthogonal direct d plan complexe, ( ) la droite d éqation y relativement a repère (O, I, J). On a les propriétés sivantes : - La symétrie orthogonale d axe (OI) a por écritre complexe : z' z. - La symétrie orthogonale d axe (OJ) a por écritre complexe : z' z. - La symétrie orthogonale d axe ( ) a por écritre complexe : z ' iz. x 6 Cissé Marice Gstave. c.maricegstave@live.fr Cel : Professer Certifié de Mathématiqes