Exercices de 3 ème Chapitre 3 Théorème de Thalès Énoncés

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1 2,5 cm xercices de 3 ème hapitre 3 héorème de halès Énoncés xercice 1 ur une planète lointaine, les hommes (au sens "masculin") portent tous une cagoule. 1. Écrire sous forme d'implication la loi qui est à l'origine de cette situation. 2. a] Écrire la contraposée de la loi. st-elle vraie? Par quoi cela se traduit-il dans la réalité? b] Écrire la réciproque de la loi. st-elle vraie? Par quoi cela se traduit-il dans la réalité? 3. a] Écrire la réciproque de la contraposée de la loi. b] Écrire la contraposée de la réciproque de la loi. c] Peut-on dire que la réciproque d'une contraposée est la contraposée de la réciproque? xercice 2 Dans chacun des cas suivants, démontrer qu'on est dans une configuration de halès et écrire les rapports égaux. a] b] P v w s z t P u x y xercice 3 oit FG un triangle tel que F = 5 cm ; G = 4 cm et FG = 3,3 cm. n appelle le point de [G) tel que = 6 cm. racer la parallèle à (FG) passant par le point. lle coupe [F) en. 1. onstruire la figure. 2. alculer et. xercice 4 Les droites () et (U) sont sécantes au point. () et (U) sont deux droites parallèles. alculer et. xercice 5 n considère le dessin ci-contre. Déterminer si () et () sont parallèles. 3,5 cm 2,1 cm 1,4 cm 3,5 cm 1,5 cm 2,5 cm 4 cm U éducmat Page 1 sur 11

2 xercice 6 xercices de 3 ème hapitre 3 héorème de halès ur le dessin ci-contre, on a : V = 0,6 cm ; G = 0,9 cm ; = 2,1 cm et = 1 cm. Déterminer si les droites (GV) et () sont parallèles. V G xercice 7 D et IJKL sont deux pyramides régulières à base carrée et de sommet. [] et [] sont les hauteurs respectives de IJKL et D. n a = 1,5 cm ; = 4,5 cm et D = 5 cm. 1. Que peut-on dire de (J) et ()? Pourquoi? 2. alculer la valeur exacte de J. D I L J K xercice 8 ompléter les phrases suivantes : a] i G GU = GP et si les points... d'une part et les points... d'autre part sont alignés GL dans... alors les droites (...) et (...) sont.... b] n considérant le dessin ci-contre, si =... et si les points... d'une part et les points... d'autre part sont... alors... P U L xercice 9 a] onstruire le triangle tel que = 6 cm ; = 9 cm et = 8 cm. Placer le point P sur [] tel que P = 4 cm et le point sur [] tel que = 3 cm. Démontrer que les droites (P) et () sont parallèles. b] onstruire le triangle VU tel que V = 2,5 cm ; U = 3,5 cm et VU = 5 cm. Placer sur [V) le point tel que V = 5,5 cm et sur [U) le point tel que U = 7,7 cm. Démontrer que les droites (UV) et () sont parallèles. xercice 10 racer un segment [F] de 10 cm de longueur puis un demi-cercle de diamètre [F]. Placer le point G sur ce demi-cercle, tel que G = 9 cm. Placer le point sur le segment [G] tel que = 5,4 cm et le point P sur le segment [F] tel que P = 6 cm. Démontrer que le triangle P est rectangle en. éducmat Page 2 sur 11

3 xercice 11 xercices de 3 ème hapitre 3 héorème de halès LIU est un rectangle. Le point appartient à [LI] et le point à [I]. L I LI = 24 dm ; LU = 18 dm ; L = 4 dm et = LU 6 dm. 1. Démontrer que L = 30 dm. 2. Déterminer les longueurs I et I. 3. Démontrer que () et (L) sont parallèles. U xercice 12 À l'aide d'une règle non graduée et sans faire aucun calcul, scinder les segments ci-dessous en sept parts égales. Laisser les traits de construction afin de rendre le raisonnement explicite. xercice 13 onstruire un agrandissement de rapport 3 2 du dessin ci-contre. 2cm cm éducmat Page 3 sur 11

4 xercice 14 Le triangle est une réduction du triangle. n a = 4 cm ; = 3 cm ; = 2 cm et = 5 cm. 1. Quel est le rapport de réduction? 2. alculer les longueurs et. 3. ontrer que =. xercice 15 Le cône ( 1 ) a pour sommet et pour base le disque de centre H et de rayon [H]. Le cône ( 2 ) a pour sommet et pour base le disque de centre et de rayon []. n a H = 2 cm et = 6 cm. Le cône ( 1 ) est une réduction du cône ( 2 ). 1. alculer le rapport de réduction. 2. n déduire le rayon de la base du cône ( 2 ) sachant que H = 1,5 cm. 3. alculer la longueur d'une génératrice du cône ( 2 ). 4. n déduire la longueur d'une génératrice du cône ( 1 ). H xercice 16 ur la figure ci-contre, on a () parallèle à (). 4,2 1. ontrer que (I) est parallèle à (). 2. alculer I. 3. alculer. 6 3 I 2 4 xercice 17 ur la figure suivante : les droites () et () sont parallèles. P = 12cm ; = 6,4cm ; P = 13,6cm ; P = 9cm ; P = 3,4cm ; P = 3cm. I est le milieu de [P]. 1. alculer. 2. Les droites () et () sont-elles parallèles? 3. Démontrer que le triangle P est rectangle. 4. Un autre triangle est rectangle. Lequel? Justifier. 5. alculer P puis I. I P xercice 18 Les cercles ( 1 ) et ( 2 ) ont pour diamètres respectifs [U] et [U]. n a U = 2cm ; U = 3cm et UG = 2,4cm. ( 1 ) ( 2 ) G 1. Quelle est la nature des triangles U et UG? Justifier les réponses. 2. U est une réduction de UG. Quel est le coefficient de réduction? 3. alculer G. 4. Déterminer les valeurs exactes de U et de. U éducmat Page 4 sur 11

5 xercice 19 n considère la figure ci-contre, sachant que : G = 5cm ; = 3,2cm ; = 5cm ; =36 et = ontrer que les droites (G) et () sont parallèles. 2. ontrer que les droites () et () sont parallèles. 3. alculer. 4. alculer. G xercice 20 ur le dessin ci-contre, les droites (d) et (d') sont parallèles. 1. ur la droite (d), placer deux points 1 et 2 de part et d'autre de tel que 1 = 2 = 2 cm. ur la droite (d') placer un point tel que = 3 cm. (d) (d') 2. oit le point d'intersection de () et ( 1 ). Déterminer la valeur exacte de. 3. oit ' le point d'intersection de () et ( 2 ). Déterminer la valeur exacte de '. ' 4. n utilisant la même méthode, construire les points de la droite (D) tels que D =3 4. D éducmat Page 5 sur 11

6 orrigés xercice 1 1. La loi est : "i on est un homme, alors on porte une cagoule". 2. a] ontraposée de la loi : "i on ne porte pas de cagoule, alors on n'est pas un homme". La contraposée a le même statut que l'implication initiale : elle est aussi vraie que la loi. ela se traduit par le fait que les seules personnes que l'on croise sans cagoule sont des femmes. b] éciproque de la loi : "i on porte une cagoule, alors on est un homme". ette phrase est fausse : on peut croiser des femmes cagoulées. 3. a] La réciproque de la contraposée de la loi est : "i on n'est pas un homme, alors on ne porte pas de cagoule". b] La contraposée de la réciproque de la loi est : "i on n'est pas un homme, alors on ne porte pas de cagoule". c] ui, la réciproque d'une contraposée est la contraposée de la réciproque. xercice 2 a] omme () et (P) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite () alors () est parallèle à (P). omme les parallèles () et (P) coupent les droites () et (P) sécantes en alors on est dans une configuration de halès. Par conséquent on a = P = P. b] omme les angles correspondants ŝ et Py sont égaux alors ( ) ( P). omme les parallèles () et (P) coupent les droites (P) et () sécantes en alors on est dans une configuration de halès. Par conséquent on a P = = P. xercice 3 1. Voir ci-contre. 2. omme les parallèles (GF) et () coupent les droites (G) et (F) sécantes en, alors on est dans une configuration de halès. Par conséquent on a G = F = GF donc 6 4 = 5 = 3,3 G n a 6 4 = donc = 6 5. D'où = 7,5 cm. 5 4 n a 6 4 = 3,3 donc = 6 3,3. D'où = 4,95 cm. 4 F xercice 4 omme les parallèles (U) et () coupent les droites () et (U) sécantes en, alors on est dans une configuration de halès. Par conséquent on a =U = U donc 1,4 = 2,1 = 3,5 2,5. n a 1,4 = 3,5 2,5 donc = 1,4 3,5. D'où =1,96 cm. 2,5 n a 2,1 = 3,5 2,5 donc = 2,5 2,1 3,5. D'où =1,5 cm. n a omme xercice 5 =3,5 1,5 donc = 7 3. n a = 4 2,5 donc =8 5. alors, d'après la contraposée du théorème de halès, les droites () et () ne sont pas parallèles. éducmat Page 6 sur 11

7 xercice 6 n a G = 2,1 0,9 =7 3 et V = 1 0,6 =5 3. omme G V alors, d'après le théorème de halès, les droites (GV) et () ne sont pas parallèles. xercice 7 1. omme D et IJKL sont des pyramides régulières de hauteurs [] et [] alors (J) et () sont toutes deux perpendiculaires à (). Donc (J) et () sont parallèles. 2. omme [] est la hauteur d'une pyramide régulière de base carrée de sommet alors est le centre du carré D, d'où = D donc =2,5cm. 2 omme les parallèles (J) et () interceptent les droites (J) et () sécantes en alors on a = J = J. n a donc 1,5 4,5 = J 2,5 soit J = 2,5 1,5 4,5. D'où J = 5 6 cm. xercice 8 a] i G GU = GP et si les points, G, U d'une part et les points P, G, L d'autre part sont alignés dans cet ordre alors les droites GL (P) et (UL) sont parallèles. b] i U P = L et si les points L,, d'une part et les points U,, P d'autre part sont alignés dans cet ordre alors les droites (P) et (UL) sont parallèles. xercice 9 a] n a P =4 6 = 2 3 et = 6 9 = 2 3. omme P = avec, P, d'une part et,, d'autre part, alignés dans cet ordre, alors (P) et () sont parallèles. P b] n a = 7,7 3,5 donc = 4,2cm. n a = 5,5 2,5 donc = 3cm. n a U = 3,5 4,2 =5 6 et V = 2,5 3 =5 6. omme U =V avec V,, d'une part et U,, d'autre part, alignés dans cet ordre, alors (UV) et () sont parallèles. V U éducmat Page 7 sur 11

8 xercice 10 n a P F = 6 10 =0,6 et G =5,4 9 =0,6. omme P F = avec, P, F d'une part et,, G d'autre part, alignés dans cet G ordre, alors (P) et (FG) sont parallèles. G omme G appartient au cercle de diamètre [F] alors GF est rectangle en G. omme les droites (P) et (FG) sont parallèles et que (G) est perpendiculaire à (FG) alors () est perpendiculaire à (P). n en déduit que le triangle P est rectangle en. P F xercice omme le triangle LI est rectangle en I alors L 2 =LI 2 + I 2. Donc L 2 = d'où L = 30dm. 2. n a I = LI L donc I = 24 4 soit I = 20 dm. n a I = I donc I = 18 18/6 soit I = 15 dm. 3. n a I IL = =5 6 omme I IL = I I et I I =15 18 =5 6. avec I,, L d'une part et I,, d'autre part, alignés dans cet ordre, alors () et (L) sont parallèles. xercice 12 éducmat Page 8 sur 11

9 xercice 13 xercices de 3 ème hapitre 3 héorème de halès Lors d'un agrandissement, les longueurs sont multipliées mais pas les angles. 30 3cm 120 1,5cm xercice Le rapport de réduction est = 2 5 soit 0,4. 2. omme est la réduction de alors =0,4 soit = 1,6 cm. omme est la réduction de alors =0,4 donc = soit = 7,5 cm. 0,4 3. omme le triangle est une réduction du triangle et que les réductions conservent les angles, alors =. xercice omme ( 1 ) est une réduction du cône ( 2 ) alors [H] est la réduction de [] et le rapport est H = 2 6 soit omme ( 1 ) est une réduction du cône ( 2 ) alors [H] est la réduction de [] et on a H = 1 3 rayon de la base de ( 2 ) vaut 3 1,5 =4,5 cm. d'où =3 H donc le 3. Dans le triangle rectangle en, on a : 2 = La longueur d'une génératrice de ( 2 ) est 7,5 cm. 2 = ,5 2 2 =36+ 20,25 2 =56,25 d'où =7,5cm. 4. omme ( 1 ) est une réduction du cône ( 2 ) alors [] est la réduction de [] et = 1 d'où =2,5cm. 3 La longueur d'une génératrice de ( 1 ) est 2,5 cm. xercice n a = 3 9 =1 3 et I =2 6 =1 3. omme = I avec,, d'une part et, I, d'autre part, alignés dans cet ordre, alors (I) et () sont parallèles. 2. n sait que () est parallèle à () et on a montré que (I) est parallèle à (). omme le quadrilatère I a ses côtés deux à deux parallèles alors c'est un parallélogramme. n en déduit que I= donc I=4,2 cm. 3. omme les parallèles (I) et () coupent les droites () et (I) sécantes en, alors est un agrandissement de I de rapport 9 3 =3. n a donc I = donc I=1,4cm. 3 omme I =+ I alors on en déduit que =4,2 1,4 soit = 2,8 cm. éducmat Page 9 sur 11

10 xercice omme les parallèles () et () coupent les droites () et () sécantes en P, alors on a : P P = P P = 12 9 =13,6 P = 6,4 9 6,4. n a donc : = donc =4,8cm. 12 donc P 2. n a P = 3 P =0,25 et 12 P = 3,4 13,6 =0,25. P omme P = P avec P,, d'une part et P,, d'autre part, alignés dans cet ordre, alors () et () sont parallèles. P 3. n a P 2 =13,6 2 donc P 2 =184,96. D'autre part, on a P = ,4 2 donc P = ,96 donc P =184,96. omme P =P 2 alors le triangle P est rectangle en. 4. omme les parallèles () et () coupent les droites () et () sécantes en P, alors le triangle P est une réduction du triangle P. Donc le triangle P est rectangle en. 5. D'après les égalités du 1. on a P= 9 13,6 donc P=10,2 cm. 12 omme P est une réduction de P alors P est rectangle en. omme le centre du cercle circonscrit du triangle P rectangle en est le milieu de son hypoténuse, alors I=IP=I. n a donc I = P soit I=5,1 cm. 2 xercice omme et G appartiennent respectivement aux cercles de diamètres [U] et [U], alors les traingles U et UG sont rectangles, respectivement en et G. 2. omme U est une réduction de UG alors [U] est la réduction de [U]. Donc le coefficient de réduction vaut U U = omme UG est rectangle en G alors U 2 =GU 2 + G 2 d'où G 2 =3 2 2,4 2 d'où G=1,8cm. 4. omme U est une réduction de UG alors [U] est la réduction de [UG] et [] est la réduction de [G]. n a donc U= 2 3 2,4 et = 2 1,8. Donc U=1,6cm et =1,2cm. 3 xercice Dans le triangle G, comme la droite () passe par les milieux des côtés [G] et [] alors elle est parallèle au troisième côté. D'où () parallèle à (G). 2. La droite () coupe les droites () et (). omme les angles alternes internes Ŝ et Ê sont égaux, alors les droites () et () sont parallèles. 3. Dans le triangle G, comme [] a pour extrémités les milieux des côtés [G] et [] alors = G 2. D'où =2,5cm. 4. omme les parallèles () et () coupent les droites () et () sécantes en, alors on a : = = soit 5 = = 2,5 5 3,2. Donc = donc =6,4cm. 3,2 2,5 éducmat Page 10 sur 11

11 xercice Voir ci-contre. (d) (d') 1 ' 2 2. omme les parallèles (d) et (d') coupent les droites ( 1 ) et () sécantes en, alors on a : = 1 3. omme les parallèles (d) et (d') coupent les droites ( 2 ) et () sécantes en ', alors on a : ' ' = 2 donc =2 3. ' donc ' = Pour construire les points de la droite (D) tels que D = 3 4 on commence par tracer deux droites parallèles (d) et (d') passant par et D. n place les points 1 et 2 sur (d) à 3cm de et un point sur (d') tel que D=4cm. Les points cherchés, que l'on nomme et ', se situent à l'intersection de (D) avec ( 1 ) et ( 2 ). ' D éducmat Page 11 sur 11