ANALYSE : SUITES ET SERIES. D. Schaub Département de Mathématiques Université d Angers 2, bd Lavoisier Angers Cédex, France.

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1 ANALYSE : SUITES ET SERIES D. Schaub Département de Mathématiques Université d Angers 2, bd Lavoisier Angers Cédex, France.

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3 Chapitre Suites. Introduction Etant donné un ensemble E, on peut considérer une partie finie de E ; par exemple, on peut prendre un ensemble de 55 éléments de E ; on les désignera alors par le premier, le deuxième, etc, jusqu au 55ième (même si l ordre choisi peut être arbitraire) et si on note par x un élément quelconque de E, on voudra les désigner par x, x 2,..., x 54, x 55 ; on peut voir cela comme l application f : {, 2, 3,..., 54, 55} E définie par, pour tout i =,..., 55, f(i) = x i. Si maintenant on a envie de prendre une infinité d éléments de E, mais qu on veuille quand même pouvoir les numéroter, càd. qu on aura un premier élément, un deuxième,..., un dixième,..., un centième, etc., qu on écrira, par exemple, x, x 2,..., x n,..., cela définit une application u : N E par u(i) = x i pour tout i N. On parlera alors de la suite u ou de la suite (x, x 2,..., x n,...), qu on écrira plus succinctement (x n ) n N. Définition.. Etant donné un ensemble E, on appelle suite de E une application u : N E. Nous nous intéresserons essentiellement cette année au cas où E = R (ou encore, exceptionnellement, C). Notations On remarquera que nous avons noté (x n ) n N la suite ci-dessus, mais, plus commodément, on désignera par la même lettre que l application elle-même, autrement dit, on notera (u n ) n N. Mais, cela se fait au prix d une confusion possible qu il faut éviter : il ne faut pas confondre l ensemble des valeurs de la suite : {u n ; n N} avec la suite (càd. l application!) (u n ) n N. Exemple : soit la suite de réels (u n ) définie par u n = ( ) n pour tout n N. Alors l ensemble des valeurs est {, }, alors que la suite s écrira (( ) n ) n N. Premiers exemples : i. Suite constante : soit a R, (on abandonne tout de suite le cas général d un ensemble E, même si, en l occurence, nous n aurions aucun problème à définir une suite constante dans ce cas général). La suite constante de valeur a est la suite définie par : u n = a, n N. Un cas particulier est celui de la suite nulle (qu on notera 0!! attention aux confusions) lorsque a = 0. ii. Suite arithmétique : soit r R un nombre réel. La suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r est définie par n N, u n+ = u n + r. On a alors, u n = u 0 + nr et la somme 0 p n u p = n+ 2 (u 0 + u n ). Par exemple, on peut prendre r = et u 0 = 0, on constate alors que S n = +2+ +n = n(n+) 2. 3

4 4 CHAPITRE. SUITES iii. Suites géométriques. La suite (u n ) n N définie par u n+ = au n et de premier terme u 0 est dite suite géométrique de raison a. Le terme général de cette suite est alors u n = a n u 0. La somme S n = u 0 + u + + u n = u 0 ( + a + a a n a n+ ) = u 0 ( pourquoi?). a iv. Suites arithmético-geométriques. Une combinaison des deux cas précédents donne une suite arithmético-géométrique ; c est donc une suite définie par u n+ = au n + b, a, b étant deux nombres réels (ou complexes) fixés. Dans ce cas, par un rapide calcul, on constate que u n = a n u 0 + b an. Mais on peut a aussi se ramener au cas des suites géométriques en posant v n = u n + c et en cherchant c tel que b v n+ = av n. On trouve immédiatement que c doit être a. De l une ou l autre façon, on peut alors exprimer u n : u n = a n u 0 + b an. A partir de a là, on peut aussi calculer S n en fonction de n, u 0, a, b (exercice). v. Une suite qui apparaît dans la nature, est la suite de Fibonacci, dont les premiers termes sont,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,... Elle est défine par une formule de récurrence à deux termes, u n+2 = u n+ + u n avec u 0 = 0, u =. En fait, cette suite décrit la croissance d une population de lapins par exemple. On enferme un couple de lapins dans un enclos. Le premier mois de leur vie, il n ont pas d enfants. Tous les mois suivants, ils enfantent un couple de lapins. Chaque couple né agit alors de la même façon : le mois suivant sa naissance, il ne donne pas d enfants, mais chaque mois, ensuite, il enfante un couple. Et ainsi de suite. Le problème, posé par le mathématicien italien Fibonacci, est de savoir quel est le nombre de couples de lapins le n-ième mois? Ce nombre est donné par u n. Cette suite se rencontre dans nombre de phénomènes naturels ; elle est aussi liée au nombre d or. Remarque : on peut tout de suite noter qu on peut généraliser la notion à celle de suite double (ou triple,...). Au lieu de considérer u : N E, E un ensemble, on pourrait aussi considérer les applications u : N N E. Une telle application associe alors à un couple (p, q) N N un élement u p,q de E. On notera aussi que, comme une suite réelle peut être vue comme une extension de la notion de vecteur (u,..., u n ) R n au cas d un n infini, la notion de suite double étend, en quelque sorte, les matrices finies en des matrices à un nombre infini de lignes et de colonnes. Dans tous ces exemples, une question naturelle est de savoir à quoi ressemble u n lorsque n est très grand? Une autre façon de dire est : quel est le comportement de la suite (u n ) lorsque n tend vers l infini?.2 Notion de convergence La notion de limite (centrale dans toute l analyse) est une notion très intuitive, au point que, pendant plusieurs siècles, les mathématiciens n ont pas cru devoir la définir de manière précise. C est au XXième siècle que, à la suite de travaux sur des fonctions continues nulle part dérivables, que Weierstrass a donné une définition correcte. Lorsqu on étudie une suite, une question importante est de savoir quel est son comportement lorsque n devient très grand. Par exemple, prenons la suite u n = /n. Clairement, plus n devient

5 .2. NOTION DE CONVERGENCE 5 grand, plus u n devient petit, autrement dit u n approche de 0, sans jamais être 0. Autre exemple, v n = ( ) n. Cette suite prend alternativement les valeurs et - sans jamais se stabiliser sur l une ou l autre. On dira que (u n ) admet 0 pour limite, mais que (v n ) n admet pas de limite. Définition.2. On dit qu une suite (u n ) converge et admet la limite l ou encore que u n tend vers l lorsque n tend vers l infini, s il existe un nombre l R tel que tous les termes u n de la suite sont aussi proches que l on veut de l pourvu que n soit suffisamment grand. Ce qu on préférera écrire, de manière plus condensée, mais aussi plus lisible, ɛ > 0, N tel que n > N, on a u n l < ɛ. Note : il est capital de comprendre que la notion, d apparence intuitive, de la définition est exactement la même que sa formulation mathématique qu on peut d ailleurs réécrire sous la forme ɛ > 0, N tel que n > N u n l < ɛ. Notation : si (u n ) converge vers l, on écrira lim u n = l ou u n l. n + Exemples : on remarquera que concernant les 2 exemples précédents, la première converge vers 0, la deuxième ne converge vers aucun nombre (pourquoi?) Définition.2.2 Une suite qui ne converge pas est dite divergente. On peut revenir sur les premiers exemples : Pour une suite arithmétique de raison r > 0, la suite (u n ), dont le terme général u n = u 0 + nr diverge. Mais elle ne fait pas n importe quoi, puisque, selon que r > 0 ou r < 0, elle ne cesse de croître ou de décroître. Dans un tel cas, on dira que u n tend vers l infini (+ ou -) et on écrit lim u n = + (ou ). La suite v n = ( ) n était n + aussi divergente, mais elle ne tendait pas vers un infini. On peut rapidement encore dire ce qui se passe dans les autres cas : Pour la suite géométrique u n = a n, lorsque n +, on constate que, si a >, u n + (et donc aussi S n ), si a <, u n 0 et la suite des S n tend vers u 0 a, si a =, la suite est constante égale à u 0 et S n +. On a des résultats analogues dans le cas des suites arithmético-géométriques. Pour ce qui est de la suite de Fibonacci, on peut déjà remarquer qu elle est strictement croissante car u n+2 u n+ = u n > 0 (pour n ), autrement dit, elle croît indéfiniment. On peut donc penser qu elle diverge et tend vers + (ce que nous montrerons plus loin), mais la preuve n en est pas aussi imédiate : Exemple : prenons la suite obtenue de la manière suivante : u = /2, u 2 = u + /4, u 3 = u 2 + /2 3,..., u n+ = u n + /2 n. Cette suite est évidemment strictement croissante, mais on voit(!) immédiatement qu elle admet pour limite. Comment? On prend un carré de surface, alors u représente la moitié de la surface, u 2 représente cette moitié à laquelle on a ajouté la moitié de ce qui restait, u 3 c est u 2 + la moitié du reste, etc...si on hachure toute la surface qu on a ainsi couverte, on s aperçoit qu en continuant indéfiniment, on aura hachuré tout le carré, autrement dit u n. C est là un paradoxe apparent de ces questions de limite, on ajoute une infinité de termes positifs... et on ne dépasse, malgré tout, pas une quantité donnée.

6 6 CHAPITRE. SUITES Remarques immédiates : ) Il est très intéressant, pour pouvoir montrer la convergence d une suite, d avoir une idée précise de la limite qu on attend (éventuellement, on peut avoir plusieurs, mais un nombre fini, petit, de candidats limites). A contrario, on comprend qu il soit beaucoup plus difficile de montrer la divergence d une suite (en tout cas, dans un cas où elle ne tend pas vers l infini), puisqu il faut montrer qu aucun nombre ne peut être limite! 2) Il est équivalent de montrer que u n l n et que u n l 0. n 3) Unicité : Si une limite existe, elle est unique. En effet, supposons qu il existe deux nombres l et l tels que lim u n = l et lim u n = l. Alors, utilisant la définition, on peut écrire ɛ > N tq. n > N, u n l < ɛ et ɛ > N 2 tq. n > N 2, u n l < ɛ. Or, 0 l l = l u n +u n l u n l + u n l qui dès lors que n > max{n, N 2 } est inférieur à 2ɛ. On se retrouve donc avec deux nombres fixes dont la différence peut être rendue aussi petite que l on veut, donc nécessairement l = l..3 Suites monotones, suites bornées, premiers théorèmes.3. Généralités Définition.3. Une suite (u n ) est strictement croissante (resp. décroissante) si, pour tout p N, u p+ > u p (resp. u p+ < u p ). Elle croissante (resp. décroissante) au sens large si, pour tout p N, u p+ u p (resp. u p+ u p ). Toute suite de ce type est dite monotone. Remarque : toute suite N est PAS monotone (exemple : ( ) n n est ni croissante, ni décroissante). Définition.3.2 Une suite (u n ) est dite majorée (resp. minorée) si l ensemble des valeurs de la suite, {u n, n N}, admet un majorant (resp. un minorant). On en déduit qu une suite majorée admet une borne supérieure (pourquoi?), une suite minorée admet une borne inférieure. Une suite qui est, à la fois, majorée et minorée est dite bornée. Théorème.3. Toute suite convergente est bornée. Preuve : Supposons que u n l. Alors, il existe N tel que n N, u n l <, ce qui implique u n < l + D où, si M = max{ u 0, u,..., u N, N}, alors, pour tout n, u n < M. Théorème.3.2 Toute suite croissante (resp. décroissante) majorée (resp. minorée) est convergente. Preuve : La première chose à faire est de deviner un candidat-limite. Bien sûr, il y en a un tout désigné : la borne supérieure a de l ensemble des valeurs (on peut faire un dessin). Par définition de borne supérieure, on a : n, u n a, mais, de plus, ɛ > 0, N tq. a ɛ < u N a. Mais la suite est croissante, donc n > N, a ɛ < u N u n a, autrement dit, pour tout n > N, u n a < ɛ. Donc lim u n = a.

7 .3. SUITES MONOTONES, SUITES BORNÉES, PREMIERS THÉORÈMES 7 Exemple : la suite (/n) n est décroissante et minorée par 0, donc convergente. La suite (n) n est croissante, mais pas majorée, elle diverge (en fait, elle tend vers l infini). La suite (( ) n ) n est bornée, mais elle n est pas monotone. Ce qui nous amène à une autre notion : dans l exemple précédent, il y a une infinité de valeurs de la suite proches de et une infinité de valeurs proches de. D où les définitions : Définition.3.3 Un nombre réel x est appelé point d accumulation d une suite (u n ) n si pour tout ɛ > 0, il existe une infinité de n N tels que u n x < ɛ. Quelle est la différence entre les dire que x est point d accumulation de la suite (u n ) et x est limite de la suite (u n )? Exemples : Ainsi - et sont des points d accumulation de la suite précédente. Mais la suite (u n ) définie par u n = ( ) n + /n admet aussi - et pour (seuls!) points d accumulation. Définition.3.4 Etant donnée une suite (u n ) n N, on appelle suite extraite de la suite (u n ) toute suite dont le terme général v n est de la forme v n = u φ(n) où φ : N N est une application strictement croissante. Un cas très fréquent est le cas où v n = u 2n ou w n = u 2n+. La première est obtenue en prenant tous les termes d indice pair de la suite u n, la seconde en prenant tous les termes d indice impair de (u n ). Exemple : u n = ( ) n, alors la suite des termes pairs est la suite constante de terme général, la suite des termes impairs, est la suite constante de terme général -. Proposition.3. Si (u n ) est une suite convergente, de limite l, toute suite extraite est convergente de limite l. Preuve : Soit v n = u φ(n) où φ est une application strictement croissante de N dans lui-même. Alors, pour tout ɛ > 0, il existe N tel que n N u n l < ɛ. Mais v n = u φ(n) avec φ(n) n (à cause de la croissance), donc N, donc v n ɛ < ɛ, donc v n l. On remarque que cette proposition est très utile pour montrer qu une suite est divergente. Par exemple, si u n = ( ) n + /n, la suite u 2n = + /2n tend vers, alors que la suite u 2n+ = + /2n + tend vers -. On en décuit que u n ne peut être convergente. Il y a d ailleurs une réciproque à cette proposition dont on ne parlera pas pour l instant. Notons encore un résultat utile pour montrer la convergence d une suite : Proposition.3.2 Si pour une suite (u n ), la suite des termes pairs v k = u 2k et la suite des termes impairs w k = u 2k+ convergent vers une même limite l, alors (u n ) est convergente de limite l. La preuve est laissée en exercice..3.2 Critères de comparaison Théorème.3.3 Si deux suites u n et v n admettent les limites respectives l, l, et si l < l, alors, pour tout n suffisamment grand, u n < v n. Inversement, si à partir d un certain rang u n < v n et si u n l et v n l, alors l l.

8 8 CHAPITRE. SUITES Preuve : soit d = l l, et posons ɛ = d/3. Alors pour n suffisamment grand, u n l < ɛ et v n l < ɛ. Autrement dit, u n < l + ɛ < l ɛ < v n. Dans l autre sens, supposons l > l. D après la partie directe, on en déduit que, pour tout n à partir d un certain rang, u n > v n, ce qui contredit l hypothèse. Théorème.3.4 (dit théorème des gendarmes) Si, à partir d un certain rang, u n < v n < w n et si u n et w n ont la même limite l, alors v n est convergente et a pour limite l. Preuve : Pour tout ɛ > 0, il existe N et N 2 tels que n > N l ɛ < u n < l + ɛ et n > N 2 l ɛ < w n < l + ɛ. Donc si n > max{n, N 2 }, toutes les inégalités sont vérifiées en même temps, d où l ɛ < u n < v n < w n < l + ɛ, càd. v n l < ɛ. Théorème.3.5 Si une suite u n converge vers une limite l, alors la suite des valeurs absolues converge vers l. La preuve est laisée en exercice (elle repose sur l identité u n l u n l ). La réciproque est-elle vraie?.4 Opérations sur les suites et les limites Sur l ensemble S constitué de toutes les suites u : N R, on peut mettre, de manière naturelle, une structure d espace vectoriel réel. Pour cela, on définit la somme de 2 suites (u n ) n et (v n ) n comme la suite dont le terme général est w n = u n +v n ; on écrira (w n ) n = (u n ) n +(v n ) n. De même, si a R est un nombre réel quelconque, et (u n ) n une suite réelle, la suite dont le terme général est t n = au n est la suite obtenue en multipliant la suite (u n ) n par a (on notera (au n ) n ). On vérifie immédiatement que S muni de ces deux opérations a une structure d espace vectoriel réel. Remarque : Comme dit précédemment, on préfère se limiter aux suites réelles dans un premier temps, mais on peut dès à présent dire que l ensemble des suites à valeurs dans C est muni naturellement d une structure d espace vectoriel complexe de manière analogue. On peut aussi définir le produit de 2 suites (u n ) et (v n ) comme la suite dont le terme général est (u n v n ) (et, bien sûr, on a peut ainsi aussi définir différence et quotient de 2 suites). Le produit a aussi de bonnes propriétés : il est associatif, commutatif, la suite constante () n est un élément neutre, MAIS toute suite n admet pas nécessairement un inverse. De toute manière, on ne peut définir /u n que pour les n tels que u n 0. On ne fera donc le quotient u n /v n de deux suites que en dehors des m tq. v m = Suites convergentes Théorème.4. Soient (u n ), (v n ) deux suites, a R un réel et supposons que u n l, v n l. Alors les suites u n +v n, u n v n, au n convergent et leurs limites respectives sont u n +v n l+l, u n v n l l, au n al. Preuves : Commençons par montrer que u n + v n l + l. Traduisons que u n l : cela signifie que, pour tout ɛ > 0, il existe N tel que n > N u n l < ɛ, de même, il existe M tel que n > M v n l < ɛ. Supposons alors n > max{n, M}, on a alors u n + v n l l u n l + v n l < 2ɛ. Autrement dit, la différence entre u n + v n et l + l peut être rendue

9 .4. OPÉRATIONS SUR LES SUITES ET LES LIMITES 9 aussi petite que l on veut, il suffit de prendre n suffisamment grand (on peut aussi, comme on dit, couper ɛ en 2 ). On montre aussi imédiatement que n > N au n al = a u n l < a ɛ, donc, a 0 étant fixe, encore une fois, on peut rendre la différence au n al aussi petite que l on veut. Si a = 0, le résultat est encore plus immédiat. Il résulte de ce qui précède que, pour a, b R, au n +bv n al+bl, avec comme conséquence le résultat sur la différence u n v n. Théorème.4.2 Soient (u n ), (v n ) deux suites et supposons que u n l, v n l. Alors la suite produit est convergente de limite ll. Preuve : On veut montrer que u n v n ll peut être rendue arbitrairement petite. Plaçons-nous, comme ci-dessus, dans le cas n > max{n, M} et écrivons u n v n ll = u n (v n l )+l (u n l) u n (v n l ) + l (u n l). Nous allons conclure en utilisant un lemme intéressant par ailleurs : Lemme.4. Si la suite (u n ) est majorée et si v n 0, alors le produit u n v n 0. Preuve du lemme : si u n < K pour tout n, alors 0 u n v n < K v n, ce dernier terme tendant vers 0, d où le résultat. Fin de la preuve : il suffit alors de remarquer que, dans l expression précédente, le premier terme est produit d une suite u n, majorée parce que convergente, et d une suite v n l qui tend vers 0. Le deuxième terme tend vers 0 en application du résultat sur le produit d un réel par une suite convergente (ici vers 0). Théorème.4.3 Soient (u n ), (v n ) deux suites et supposons que u n l, v n l, l 0. Alors la suite quotient u n v n est convergente de limite l l. Montrons d abord le lemme : Lemme.4.2 Si v n est minorée à partir d un certain rang par un nombre strictement positif et si u n 0, alors u n v n 0. Preuve du lemme : pour n > p, v n > K > 0, d où u n v n < u n qui tend vers 0 lorsque n +. K Preuve du théorème : Si l 0, alors u n l v n l = l u n lv n l. Le numérateur tend vers 0 et le v n dénominateur tend vers l 2 0. Or, si v n l 0, cela signifie que, pour n suffisamment grand, v n > l /2 > 0. On est donc dans les hypothèses du lemme précédent, le quotient tend donc vers 0 et le théorème est démontré. Il suffit souvent de comparer les termes de 2 suites à l infini, ainsi Proposition.4. Si deux suites (u n ) et (v n ) sont équivalents au voisinage de l infini (ie. u n lim = ou encore u n = v n ( + ɛ(n)) avec ɛ(n) 0 lorsque n ), alors elles convergent n v n ou divergent simultanément. Preuve : Si u n = v n (+ɛ(n)), alors si v n l, comme +ɛ(n), on en déduit par le théorème sur les produits de suites, que u n = v n ( + ɛ(n)) l = l. Mais, dans l équivalence, u n et v n jouent le même rôle, donc (u n ) convergente implique (v n ) convergente.

10 0 CHAPITRE. SUITES.4.2 Suites à terme général tendant vers l infini On ne peut rien dire de général pour des opérations concernant des suites divergentes quelconques, il faut faire une étude particulière dans chaque cas. Par contre, lorsque la divergence provient du fait que le terme général tend vers l infini, on peut être un peu plus précis. Lemme.4.3 i. Si u n + (resp. ) et si (v n ) est bornée, alors u n + v n + (resp. ). ii. Si u n et v n tendent toutes deux vers + (resp. ), alors u n +v n + (resp. ). Preuve : i. c est presque évident : si v n K, alors u n + v n u n K. Or (écrivons que u n + ), A > 0, N tel que n > N u n > A, donc u n + v n u n K > A K > A et de manière analogue en. ii. Les hypothèses signifient que, quel que soit A > 0, il existe N, M tels que n > N u n > A et n > M v n > B, donc si n > max{n, M} (mais on pourrait même se contenter de > min{m, N}!), on a u n + v n > 2A > A. Remarque Si l une tend vers + et l autre vers, on ne peut rien dire a priori ; on se trouve en présence d une forme indéterminée. Lemme.4.4 Si u n tend vers l infini et v n > K > 0, à partir d un certain rang, alors le produit u n v n tend vers l infini. Preuve : en effet, u n v n > u n K à partir d un certain rang p. Or si u n tend vers l infini, pour tout A > 0, il existe N tel que n > N u n > A/K, d où u n v n > A. Remarque Si u n + et v n 0, on ne peut rien dire a priori ; on se trouve en présence d une forme indéterminée 0. Lemme.4.5 i. Si u n + et v n est bornée, alors un v +. n ii. Si u n est bornée et si v n +, un v n 0. Preuve : i. Si v n est bornée, v n < M, d où (on suppose v n 0), la suite /v n > /M et on est ramené au cas du lemme précédent. ii. En remarquant que v n + équivaut à v n 0 (en effet, ɛ > 0, N tel que v n > /ɛ v n < ɛ), on se ramène à un lemme du paragraphe précédent. Remarque Dans deux cas, on ne peut rien dire a priori : si u n et v n tendent tous deux vers l infini, on se trouve en présence d une forme indéterminée ; si u n et v n tendent tous deux vers 0, on a une forme indéterminée Image par une application continue Théorème.4.4 Soit f : R R une application continue en un point x 0 R, alors pour toute suite (u n ) qui converge vers x 0, la suite (f(u n )) converge vers f(x 0 ). Preuve : il s agit de montrer que ɛ > 0, il existe N tel que n > N f(u n ) f(x 0 ) < ɛ. Or, par continuité de f en x, nous savons qu il existe η > 0 tel que x x 0 < η f(x) f(x 0 < ɛ. Soit alors N tel que n > N, u n x 0 < η. Par conséquent, f(u n ) f(x 0 ) < ɛ. Exercice (difficile) : montrer qu une application f : R R est continue en un point x 0 si et seulement si, pour TOUTE suite (u n ) telle que u n x 0, on a f(u n ) f(x 0 ).

11 .5. SUITES ADJACENTES.5 Suites adjacentes Définition.5. Deux suites (u n ) et (v n ), l une croissante, l autre décroissante, sont dites adjacentes si v n u n converge vers la limite 0. Théorème.5. Deux suites adjacentes sont toutes deux convergentes et ont la même limite. Preuve : supposons (u n ) croissante et (v n ) décroissante. Si lim( u n v n ) = 0, cela signifie qu il existe N tel que n > N u n v n <, autrement dit v n < u n < v n + < v 0 + (puisque (v n ) est décroissante) pour tout n > N, donc (u n ) est croissante et majorée par v 0 (au moins à partir d un certain rang N). Mais, on a aussi u 0 < u n < v n, pour tout n > N, donc (v n ) est minorée. On en déduit donc que (u n ) et (v n ) sont convergentes. Appelons l et l les limites et soit ɛ > 0 un nombre réel arbitrairement petit. Alors, 0 l l = l u n +u n v n +v n l l u n + u n v n + v n l et si N = max{n, N 2, N 3 } choisis tels que n > N u n l < ɛ/3 n > N 2 u n v n < ɛ/3 n > N 3 v n l < ɛ/3, alors n > N l l < 3ɛ/3 = ɛ. Or, l l est un nombre positif ou nul fixé, s il est arbitrairement petit, il est nécessairement 0, c est-à-dire l = l. L exemple premier de telles suites est donné par les suites qui définissent le nombre e : on considère la suite u n = n k= k! et la suite v n = u n + n!. Ces dexu suites sont adjacentes et leur limite commune est le nombre e. (voir TD.) Théorème.5.2 Soit une suite de segments I, I 2,..., I n,... tels que i. I n+ est un sous-ensemble de I n ; ii. la longueur de I n tend vers 0 lorsque n tend vers l infini ; Alors, il existe un nombre réel a et un seul commun à tous les segments I n. Preuve : Appelant u n et v n les bornes inférieure et supérieure de I n, on montre que les deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. En effet, u n u n+ et v n+ v n pour tout n. D autre part, la longueur de I n est égale à v n u n, qui, par hypothèse tend vers 0. Conséquence, les deux suites tendent vers une limite commune a et n; u n a v n, donc n, a I n. Définition.5.2 Une suite (u n ) est appelée de Cauchy si, pour tout ɛ > 0, il existe un entier N tel que p, q > N u p u q < ɛ. Nous sommes à présent en mesure de démontrer l un des théorèmes les plus intéressants concernant R : Théorème.5.3 Critère de Cauchy Dans R, une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. Preuve : La partie directe est immédiate : Si (u n ) est convergente de limite l, alors, pour tout ɛ > 0, il existe N tel que n > N u n l < ɛ/2 ; d où p, q > n u p u q = u l + l u q u p l + u q l < 2ɛ/2 = ɛ. Réciproquement, supposons que, pour tout ɛ > 0, il existe un entier N tel que p, q > N u p u q < ɛ/3. Considérons, pour tout n, l ensemble A n = {u k k n}. Cet ensemble est borné

12 2 CHAPITRE. SUITES puisque constitué de l ensemble fini {u n, u n+,..., u N } d une part, de l ensemble {u k k > N} d autre part. Le premier, étant fini, est borné ; tout élément du deuxième vérifie u k u N+ < ɛ/3, ou encore u N+ ɛ/3 < u k < u N+ + ɛ/3, donc est aussi borné. Par ailleurs, A n étant un sous-ensemble borné de R admet une borne supérieure b n et une borne inférieure a n. Il est clair aussi que a n a n+ b n+ b n, pour tout n. On se trouve donc avec une suite de segments emboîtés I n = [a n, b n ]. Mais, n > N étant fixé, il existe p n tel que u p a n + ɛ/3 (puisque a n est borne inférieure) et il existe q n tel que b b ɛ/3 u q. Par conséquent, pour tout ɛ > 0, il existe N tel que n > N b n a n b n u q + u q u p + u p a n < ɛ ; autrement dit, la longueur des segments [a n, b n ] tend vers zéro. En conséquence, il existe un unique a appartenant à tous les A n, limite des deux suites adjacentes (a n ) et (b n ) et comme a n u n b n, on en déduit u n a. Remarque : une conséquence de ce résultat est que R contient toutes les limites de toutes les suites de Cauchy de R. C est aussi une façon de construire R. Un exemple : le développement décimal d un nombre réel Soit a un nombre réel. Soit a 0 la partie entière de a, on note a 0 = E(a). Alors b 0 = a a 0 [0, [. Soit alors a = E(0b 0 ), et posons b = 0b 0 a [0, [, puis a 2 = E(0b ), b 2 = 0b a 2 [0, [, et ainsi de suite, a n = E(0b n ) et b n = 0b n a n [0, [. On trouve ainsi une suite (a n ) (n ) de nombres entiers compris entre 0 (inclus) et 9. Soit alors les suites (u n ) et (v n ) définies par u n = a 0, a a 2 a n et v n = a 0, a a 2 (a n + ) si a n 8 et v n = a 0, a a 2 (a n + ) si a n 8, et etc sinon. Ainsi, u n a < v n. Il est immédiat de constater que la suite (u n ) est croissante et la suite (v n ) décroissante. De plus, v n u n < 9/0 n 0, les deux suites sont donc adjacentes et tendent vers a. On en déduit que tout nombre réel peur s écrire sous la forme a 0, a a a n. Cette expression s appelle développement décimal de a. Remarques : ) il n y a pas unicité de ce développement puisque = 0, ) Un nombre est dit décimal si son développement est fini. Si le développement est fini, on voit immédiatement que a Q. Cependant, comme le prouve /3 = 0, 3333, il y a des rationnels dont le développement décimal n est pas fini. En fait, on peut montrer (exercice) : un nombre réel a est rationnel ssi il admet un développement décimal fini ou périodique..6 Suite définies par une relation de récurrence Il s agit de suites définies par une relation exprimant u n+ en fonction d un ou plusieurs termes précédents, une fois donnés le(s) premier(s) terme(s)..6. Cas d une relation à un terme donnée par u n+ = f(u n ) On se donne u 0 et on suppose que u n+ = f(u n ), n > 0, f désignant une application de R dans R. On veut étudier la convergence d une telle suite. Commençons par remarquer que : Proposition.6. Si la suite (u n ), définie par u 0 et la relation u n+ = f(u n ), f : R R étant une fonction continue en l, converge vers une limite l, alors l est solution de l équation f(x) = x.

13 .6. SUITE DÉFINIES PAR UNE RELATION DE RÉCURRENCE 3 Preuve : On a u n+ = f(u n ). Lorsque n +, u n l, d où, par continuité de f, f(u n ) f(l). Mais u n+ aussi tend vers l. Par unicité de la limite, on en déduit f(l) = l. Nous n allons pas ici faire de théorie générale, mais nous limiter à l étude de quelques exemples. Exemples : ) f = Id, la suite est alors constante, de valeur u 0. Si f(x) = ax, alors u = au 0, u 2 = au = a 2 u 0,..., u n = a n u 0,.... Cette suite est donc u 0 fois une suite géométrique. Bien sûr, la seule solution de ax = x, lorsque a, est 0, seule limite possible. Si a <, la suite converge vers 0, si a =, elle est constante égale à u 0, si a =, c est une suite alternée, elle est divergente (2 points d accumulation distincts : u 0 et u 0 ), si a >, elle tend vers l infini, si a <, sa valeur absolue tend vers l infini et la suite oscille entre valeurs positives et négatives. 2) f(x) = (/2)(x + x 2. On peut alors tracer la courbe de f et la première bissectrice, il y a une seule racine réelle de f(x) = x x 3 =, c est. On peut tracer les valeurs successives u = f(u 0 ), u 2 = f(u ),... en s aidant de la bissectrice et regarder ce qui se passe. 3) Un exemple qui donne une bonne idée de tous les cas qu on peut rencontrer est celui de la suite logistique : on prend g(x) = 4cx( x) et on va considérer les fonctions f c (x) = cg(x) pour différentes valeurs de c. On peut alors regarder ce que cela donne. Bien sûr, une étude graphique ne prouve rien et on est obligé de faire un raisonnement dans chaque cas pour conclure à la convergence ou non. Ainsi, lorsque dans l exemple 3, c se trouve à gauche de 3/4, on peut s appuyer sur les dessins pour montrer que la suite est, par exemple, monotone et bornée, ou trouver deux suites adjacentes, on chercher des suites extraites (u 2k, u 2k+ ) lorsque l on se trouve à droite de 3/4 par exemple..6.2 Récurrences linéaires > Le cas le plus simple est u n+ = au n. Il est immédiat puisque cela donne alors u n = a n u 0. > Plus généralement, si u n+ = au n + b, on se ramène au cas précédent en cherchant une constante c telle que, si v n = u n + c, alors v n+ = av n. Pour cela, on exprime v n+ de deux manières : v n+ = u n+ + c = au n + b + c et v n+ = av n = a(u n + c) = au n + ac. En rapprochant b a. les deux expressions, on trouve b + c = ac c = > Plus généralement encore. L ensemble S 2 des suites dont le terme général vérifie la relation u n+2 = au n+ +bu n, a, b R fixés, forme un sous-espace vectoriel de l ensemble des suites réelles. Or, on peut trouver des suites (géométriques) de la forme u n = r n, r 0, qui vérifient une telle récurrence. En effet, s il en existe, r doit vérifier r n+2 = ar n+ + br n r n (r 2 ar b) = 0, d où si r 0, r doit être solution de r 2 ar b = 0. Il faudra distinguer les cas où il existe deux racines distinctes ( > 0) r e r 2, le cas = 0 et le cas < 0. Dans le premier cas, on dispose donc de 2 suites (r n) n et (r2 n) n de S 2 ; on vérifie qu elles sont linéairement indépendantes et qu elles engendrent S 2 (exercice), par conséquent toute suite u n de S 2 s écrit u n = ar n + brn 2. Dans le 2ième cas, on prend les suite (rn 0 ) n et (nr0 n) n dont on vérifie qu elles forment une base de S 2. Pour ce qui est du 3ième cas, les racines sont complexes et il faudra prendre les parties réelles des suites obtenues. > On peut aller plus loin et considérer des relations du type r n+k = a 0 r n + a r n+ + a k r n+k. On procède de manière analogue à ci-dessus, mais il s agira, en général, de résoudre des équations de degré 3!

14 4 CHAPITRE. SUITES

15 Chapitre 2 Séries numériques 2. Introduction 2.. Définitions Etant donnée une suite réelle (ou complexe) (u n ) n N, étudier la série (u n ) ou u n, c est chercher si la suite des sommes partielles S n = u 0 + u + + u n converge lorsque n tend vers +. Le terme u n est appelé terme général de la série u n. Définition 2.. On dit que la série de terme général u n est convergente si la suite (S n ) l est. On dit alors que la limite S est la somme de la série u n et on écrit S = u n. On dit que la série est divergente, si la suite S n n admet pas de limite lorsque n +. Il y a deux sortes de divergence selon que S n tend vers l infini, ou que S n, restant fini, ne tend vers aucune limite. Exemples : Pour la série de terme général u n = a, la somme partielle jusqu à n est S n = na qui + lorsque n. Mais la série de terme général v n = ( ) n a, a pour somme S n = a a + a a + qui est égale à 0 ou a suivant les valeurs de n. On peut aussi considérer les séries de terme général u n = v n + iw n, à valeurs dans C. Comme, pour tout n, n k= u n = n k= v n +i n k= w n, la convergence de la série (u n ) se ramène à la convergence simultanée des séries v n et w n. On ramène donc l étude des séries complexes à celle des séries réelles. Remarque : la convergence d une série ne dépend pas des premiers termes. En effet, considérons les séries de termes généraux u n et v n = u n+l, alors notons S N = N k= u k = u + + u l + N l k= v k. On remarque ainsi que la suite des sommes partielles S N converge ssi la suite des sommes partielles S N l = N l k= v k converge. Lorsque la série u n est convergente, et si S désigne sa somme, on note R n = S S n = u l+ + u l+ + qui s appelle reste d ordre n de la série. On note que la somme S de u n est égale à S S l où S est la somme de la série v n Un premier critère Théorème 2.. Une série u n est convergente ssi, pour tout ɛ > 0, il existe N N tel que n > N u n+ + + u n+p < ɛ, p N. 5 n=

16 6 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Preuve : C est une conséquence immédiate du critère de Cauchy appliqué à la suite S n. En effet, u n+ + + u n+p = S n+p S n. Or S n est convergente SSI c est une suite de Cauchy. Corollaire 2.. Si la série u n converge, alors son terme général u n tend vers 0. Il suffit de prendre p = dans le théorème ci-dessus. Exemple : Soit a R. On appelle série géométrique la série de terme général u n = a n. Si a, a n ne tend pas vers 0, donc u n est divergente. Si a <, le terme général tend bien vers 0 (MAIS cela ne suffit pas à assurer la convergence!!!). Or nous avons vu que S n = n k=0 ak = a n+ a, pour tout n ; on voit ainsi que S n a. En résumé : la série géométrique a n est : > divergente si a > convergente, de somme / a si a <. Exemple : la série harmonique est la série de terme général u n = /n. Le terme d harmonique provient de ce que 2 = + 2n = (n ) + (n + ), u n u n u n+ (ie. u n est la moyenne harmonique des 2 terme qui l encadrent). Calculons S 2n S n = n + + n n > n 2n = 2 (car n+k > 2n ). D où, par le critère ci-dessus, la série est divergente Opérations sur les séries Soit a R, a 0, alors les séries u n et au n sont de même nature. Si u n est convergente de somme S, alors au n est convergente de somme as. Soit deux séries u n et v n. On définit leur somme comme w n où w n = u n + v n. Si les 2 séries sont convergentes de somme U et V, alors la série w n est convergente de somme W = U + V. Si l une est convergente, l autre divergente, alors la série w n est divergente. Si elles sont divergentes toutes les deux, on ne peut rien dire de général. En conclusion, l ensemble des séries convergentes forme un espace vectoriel sur R Suites et séries Théorème 2..2 La suite (a n ) est convergente si et seulement si la série de terme général u n = a n a n est convergente. Preuve : La n-ième somme partielle S n de u n est donnée par S n = (a a 2 ) + (a 2 a 3 ) + + (a n a n+ ) = a a n+. Par conséquent, S n admet une limite ssi a n+ admet une limite. S il y a convergence et si A = lim(a n ), alors S = a A. Ce théorème peut permettre de ramener l étude d une série à celle d une suite, mais aussi l inverse. Exemples : a) a n = /n, alors u n = /n(n + ), donc la série (u n ) est convergente de somme. b) Si a n = Arctg(/n), u n = Arctg(/n) Arctg(/(n + )) = Arctg(/(n 2 + n + ). Comme lim a n = 0, la série u n est convergente de somme Arctg() = π/4.

17 2.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS Séries à termes positifs Ce sont des séries dont le terme général u n est > 0. Bien entendu, si u n 0 et si seuls un nombre fini de termes sont 0, on se ramène au cas d une série à termes positifs en n étudiant la série qu à partir d un certain rang. Théorème 2.2. Une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Preuve : Les termes u n de la série étant tous 0, la suite des S n est croissante (en effet : S n+ S n = u n 0. Celle-ci est donc convergente ssi elle est majorée Comparaison série-intégrale Soit f :]0, + [ R une fonction continue, positive et décroissante et soit u n = f(n) et étudions la série u n = f() + f(2) + + f(n) +. (faire un dessin) Comme f est décroissante, pour n < x < n, f(n ) > f(x) > f(n). Donc n n f(n )dt > ce qui s écrit en intégrant les deux extémités, D où et, en sommant, f(n ) > n n f() > 2 f(2) > 3 2 n n f(n ) > n n S n > n f(t)dt > f n f(t)dt > f(n). f(t)dt > f(2) f(t)dt > f(3) f(t)dt > f(n) f(t)dt > S n S. (n)dt a) Supposons que l intégrale I = + f(t)dt existe (rappelons que cette intégrale existe, A par définition, si lim ( f(t)dt) existe), alors S n < I + f(), donc S n est croissante majorée, A + donc convergente. La somme S de la série est alors < I + f(). b) Supposons au contraire que la série u n est convergente de somme S, alors F (X) = X f(t)dt est majorée, lorsque X +, par S, donc la fonction F (X) est croissante et majorée, donc admet une limite < S. Nous avons donc prouvé le Théorème Si f :]0, + [ R est une fonction définie, continue, positive, décroissante, alors la série f(n) et l intégrale + f(t)dt sont de même nature. Remarque : ce théorème continue à s appliquer si la fonction n a ces propriétés qu à partir d un nombre positif a ; il suffit de négliger les premiers termes de la série.

18 8 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Série de Riemann Définition 2.2. On appelle série de Riemann la série dont le terme général est est un nombre positif donné. où α R+ nα La fonction f(x) = est continue, positive, décroissante sur ]0 + [, par conséquent, on peut xα appliquer le théorème précédent pour conclure que la série de Riemann est de même nature que l intégrale + f(t)dt. Or, si α, x f(t)dt = [ α α ] x α (une primitive de /x α étant ). (α )xα Par conséquent : si α >, 0, l intégrale est convergente et si α <, l intégrale est xα divergente. Si α =, une primitive est en ln, ie. F (x) = n (/t)dt = ln(x) + quand x +, l intégrale est donc divergente. Ainsi nous obtenons le Théorème La série est convergente si α >, divergente si 0 < α. nα Reste d une série comparée à une intégrale Dans la comparaison avec l intégrale (cf. ci-dessus), on remarque que, dans le cas où la série est convergente, le reste R n = f(n + ) + f(n + 2) + est encadré par + n+ f(t)dt < R n < + n f(t)dt (les inégalités restant strictes). Cela se vérifie aisément graphiquement. Cet encadrement est très utile lorsque l on veut calculer la somme d une série convergente de façon approchée Comparaison des séries à termes positifs Théorème Etant données deux séries à termes positifs u n et v n, alors, si, pour tout n, u n v n, i. si v n est convergente, alors u n l est ; ii. si u n est divergente, alors u n l est. Preuve : C est presque immédiat. En effet, si u n v n, pour tout n, les sommes partielles des deux séries verifient U N V N, pour tout N, donc ces suites étant croissantes, U N V n V où V désigne la somme de la série v n. Comme la suite des sommes partielles U N est croissante majorée, elle est convergente. De plus, bien sûr, sa somme U est V. De même, si la série u n est divergente, cela signifie que la suite des sommes partielles U N tend vers l infini. Or, U N V N, donc V N aussi tend vers l infini. Le résultat reste vrai si les inégalités ne sont réalisées qu à partir d un certain rang. Exemples : ) Soit u n = an an. On a n n an, pour tout n, donc si 0 a <, u n a n, terme général d une série géométrique (positive) de raison <, donc convergente, d où la série u n est convergente. Inversement, si a, alors u n n, terme général de la série harmonique, donc divergente. 2) Une autre preuve de la divergence de lorsque α <. En effet, α < nα n α > n.

19 2.3. ETUDE PRATIQUE DES SÉRIES À TERMES POSITIFS 9 Théorème Soient deux séries à termes positifs, u n et v n. S il existe a, b R tels que, n (ou à partir d un certain rang), a u n v n b, alors les deux séries sont de même nature. Preuve : Des inégalités, on déduit que u n bv n, pour tout n, d où, si la série v n converge, la série bv n aussi et donc u n et si u n diverge, v n aussi. Inversement, comme pour tout n, av n u n, on en déduit que si la série u n converge, alors la série v n aussi et si v n diverge, u n aussi. Corollaire 2.2. i. Si pour deux séries à termes positifs u n et v n, le rapport u n v n k, k 0, lorsque n +, alors les deux séries sont de même nature. ii. Si les termes généraux de deux séries à termes positifs sont des infiniment petits équivalents, pour n infini, les deux séries sont de même nature. Preuve : i. Si u n /v n k, on en déduit que, pour n suffisamment grand, k/2 u n /v n 3k/2, d où le résultat par application du théorème. ii. Dire que u n et v n sont des infiniments petits équivalents signifie que lim(u n /v n ) =. 2.3 Etude pratique des séries à termes positifs Pour étudier la nature d une série à termes positifs, on peut la comparer à une série connue (géométrique, Riemann, etc...) et conclure à l aide d un des résultats ci-dessus ou alors utiliser un des critères suivants. Notes : ) si u n k n α, alors u n est de même nature que la série de t.g. 2) si on ne peut trouver d équivalent de ce type pour u n, on peut comparer u n à k n α et pour cela considérer le rapport u n n α = n α u n. Alors, soit n α u n tend vers une limite l 0 et alors u n l/n α, d où on est ramené à ) ; soit n α u n 0, donc n α u n < ɛ pour n >> 0 (écriture pour dire n suffisamment grand) ; on peut conclure si α > ; soit n α u n +, alors u n > A/n α pour n >> 0 et on conclut si α. Exemples : a) u n = cos(/n), alors u n /2n 2, donc la série converge. (ln n)k b) u n = n p pour p > 0 et k Z. Autres exemples : ) a n = +/2+ +/n ln(n). En étudiant la série u n où u n = a n a n+ ; 2) Etudier la suite u n = n ; 3) Etude des séries de terme général u 2 cos( n ) n = ln(n)k n p, p > 0, k quelconque. k n α Critère de Cauchy Théorème 2.3. Soit la série à termes positifs u n. Alors a. si, à partir d un certain rang, n u n k <, k fixé, la série est convergente. b. si, à partir d un certain rang, n u n, la série est divergente.

20 20 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Preuve : n u n k < u n k n. Or, k n est le terme général d une série géométrique, à termes positifs, qui est convergente. Donc, aussi la série de t.g. u n. Par contre, n u n u n, donc le terme général ne tend pas vers 0, donc la série est divergente. En fait, on appliquera ce théorème plutôt en regardant ce qui se passe lorsque n tend vers l infini : Corollaire 2.3. Règle de cauchy Supposons que pour la série à termes positifs u n, on ait n un l. Alors : i. si l <, la série est convergente ; ii. si l >, la série est divergente. Preuve : n u n l signifie que ɛ > 0, N tel que n N l ɛ < n u n < l + ɛ. Si l < et ɛ assez petit pour que n u n < l + ɛ <, la série converge. Si l >, soit ɛ assez petit pour que < l ɛ < n u n, d où la série u n diverge. Remarque : il reste un cas douteux : si n u n. Dans ce cas, on ne peut rien conclure sauf (exercice) si n u n par valeurs supérieures, alors la série est divergente. ( ) 2n 2n ( ) Exemple : u n = x n, x > 0. Alors n + n 2n 2 u n = x, donc n + n u n 4x et, en appliquant la règle de Cauchy, on constate que si x > /4, la série diverge, si x < /4, la série converge. Si x = /4, on ne peut rien conclure. On doit faire une étude particulière : on remarque que ln(u n ) 3, d où u n e 3, donc la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers zéro Critère de d Alembert Théorème Soit la série à termes positifs u n. Alors a. si, à partir d un certain rang, u n+ k <, k fixe, la série est convergente. u n b. si, à partir d un certain rang, u n+ u n, la série est divergente. Preuve : Si, pour n p, on a u n+ k <, alors si v n = k n, on a v n+ = k. On a donc n v n n p, u n+ k = v n+. D où u n+ u n u p = a. D où u n av n. La série v n étant u n v n v n+ v n v p convergente, on en déduit alors la convergence de la série u n. Au contraire, si à partir de p, on a u n+, alors u n+ u n u p, donc u n ne u n peut tendre vers 0, la série est donc divergente. Corollaire Règle de d Alembert Supposons que pour la série à termes positifs u n, on ait u n+ u n l. Alors : i. si l <, la série est convergente ; ii. si l >, la série est divergente. Preuve : Si u n+ /u n l <, alors pour n assez grand, u n+ /u n k <, ce qui conduit à la convergence. Si, au contraire, l >, alors u n+ /u n l >, d où dès que n est suffisamment grand, u n+ /u n.

21 2.4. SÉRIES ABSOLUMENT CONVERGENTES 2 Remarque : il reste un cas douteux : si u n+ (exercice) si u n+ u n u n. Dans ce cas, on ne peut rien conclure sauf par valeurs supérieures, alors la série est divergente. Remarque : La série de Riemann u n =, α > 0 amène toujours au cas douteux des règles de nα Cauchy et d Alembert. Exemples : a) La série de terme général u n = n!x n. Si x, le terme général ne tend pas vers 0, elle est donc divergente. Si x <, u n+ = nx, donc la série est encore divergente. u n b) Pour la série de terme général v n = xn n!, le rapport u n+ = x 0. Cette série est u n n + donc convergente quel que soit x (sa somme est d ailleurs e x ) Comparaison des deux méthodes Remarque : il faut noter qu on peut compléter les résultats précédents et aboutir à des affirmations un peu plus fortes ou remarquer (ce qui est bien le moins) que si n u n l et u n+ u n l, l et l non nuls, alors on a l = l. Mais nous ne retiendrons que les règles ci-dessus. Sans préciser davantage, on peut encore noter que la règle de Cauchy est un peu plus puissante que celle de d Alembert. Si aucune ne s applique, on peut encore essayer n α u n. 2.4 Séries absolument convergentes Définition 2.4. Une série u n est absolument convergente si la série de ses valeurs absolues (ou modules si u n C) u n est convergente. Il y a dans une série quelconque des termes positifs et des termes négatifs, pour n aussi grand qu on veut (sinon, on peut oublier les premiers termes et on se retrouve avec une série à termes de signes constants - il faut d ailleurs en profiter pour remarquer qu une série à termes négatifs satisfaits aux mêmes critères qu une série à termes positifs, ou plus simplement, si u n est telle que u n 0, pour tout n, la série v n où v n = u n est à termes positifs et les sommes partielles vérifient U n = V n. Conclusion : les deux séries sont de même nature.-) La somme partielle S n peut s écrire S n = P n Q n où P n est la somme des termes positifs P n et Q n la somme des valeurs absolues des termes négatifs. Si la série converge absolument, cela signifie que la suite des sommes partielles Σ n = u + u u n = P n + Q n converge vers une limite Σ et Σ n < Σ. Ce qui signifie que P n et Q n sont des suites croissantes majorées par Σ, donc convergentes, de sommes P, Q. Et, par les théorèmes sur la somme de suites, la limite de S n = P n Q n tend vers S = P Q. Autrement dit, la série u n est convergente. Proposition 2.4. Si pour une série u n, il existe une série convergente v n, telle que u n v n, pour tout n, la série u n est absolument convergente. C est une conséquence immédiate du théorème de comparaison pour les séries à termes positifs Règles de Cauchy et d Alembert Si une série n est pas absolument convergente, on ne peut, en général, en conclure que la série elle-même est divergente. Mais il y a des cas où il est possible de conclure :

22 22 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES Théorème 2.4. Règle de Cauchy Soit u n une série à termes réels telle que n u n admet une limite l lorsque n. Alors, si l <, la série u n est absolument convergente ; si l >, la série u n est divergente. Preuve : Si l <, la règle de Cauchy pour les séries à termes positifs entraîne la convergence de la série des valeurs absolues, donc l absolue convergence de u n. Si, par contre, l >, cela signifie qu il existe N tel que n > N n u n >, donc u n >, donc u n ne peut pas tendre vers 0. Théorème Règle de d Alembert Soit u n une série à termes réels telle que u n+ u n admet une limite l lorsque n. Alors, si l <, la série u n est absolument convergente ; si l >, la série u n est divergente. Preuve : De même que ci-dessus, si l <, la série des valeurs absolues est convergente. Si l >, alors, pour n suffisamment grand, u n+ >, d où u n+ > u n, donc u n ne peut tendre vers u n 0. Exemples ) Soit u n = x n /n!, x R. Alors la série de terme général x n /n! est convergente quel que soit x, donc la série xn n! converge, pour tout x. Sa somme est notée ex. ( ) 2n 2n ( ) 2) Soit u n = x n, x R. Alors n 2n 2 u n = x 4 x. D où, si n + n + x < /4, la série u n est absolument convergente ; si x > /4, la série u n diverge. Et, si x = /4, u n e 3, donc ne tend pas vers 0, la série est donc divergente Propriétés Théorème La valeur absolue de la somme d une série absolument convergente est inférieure ou égale à la somme de la série des valeurs absolues. Preuve : On a pour tout n, l inégalité entre les sommes partielles S n de u n et Σ n de u n, S n = u + u u n u + u u n = Σ n, d où le résultat par passage à la limite. On dit que deux séries u n et v n ne diffèrent que par l ordre des termes, si pour tout p N, il existe q N tel que u p = v q. Autrement dit, les deux suites (u n ) et (v n ) ont même ensemble de valeurs, ou encore les deux applications correspondantes u, v : N R ont même image. Théorème Si on change l ordre des termes dans une série à termes réels absolument convergente, la série reste absolument convergente et la somme est la même. Preuve : Commençons par le montrer pour une série à termes positifs. Soit donc u n une série à termes positifs, et v n une série obtenue à partir de la première en changeant l ordre des termes. Soit alors U p = u + + u p et supposons que q = max{k v k {u,..., u p }}, alors V q = v + + v q U p. Inversement, soit r = max{l u l {v,..., v q }}, on a alors U r V q. Donc U r V q U p. Dès lors, si la série u n converge, alors U r < U V q U, la série v n est donc convergente et on a V U.