SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES

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1 SYSTÈME D ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES GÉNÉRALITÉS Considérons une équation à deus inconnues x et y : x 2y + 1 = 0. Si on remplace x par 1, et y par 2, on obtient une égalité numérique : = 4 4 = 0. L ensemble des deux nombres x 1 = 1, y 1 = 2 constitue une solution de l équation, qui, d ailleurs, en possède beaucoup d autres : 2= 1 x, y 2 = 0, x = 0, y 1 = 2.etc En fait, elle en possède une infinité, car si on donne à y (par exemple) une valeur y 0 quelconque, l équation considérée devient une équation à une inconnue et un paramètre y 0 : x 2y = 0, que l on peut résoudre. On obtient : x = 2y 0 1, = y x. Or, on peut donner à y 0 une infinité de valeurs. Pour y 0 = 2 notamment, on aura : x 0= 5 et les nombres 5 0= x et y 0 = 2 constituent bien une solution de : x 2y + 1 = 0. Si l on donne à x une valeur x 0, on obtient de même une équation à une inconnue y : x 0 2y + 1 = 0, que l on peut résoudre. On obtient : 2y = 1 x 0, 1 + x0 x=. 2 On ne peut donc pas résoudre une équation à deux inconnues, c est à dire trouver toutes ses solutions, on peut seulement former une expression algébrique permettant de calculer la valeur à attribuer à une inconnue lorsqu on a donné une valeur à l autre. De l équation : x 2y + 1 = 0, par exemple on peut tirer : 2y = x +1 ;

2 +1 = x 2 y, écriture qu on appelle l expression de y en fonction de x, 2 1 = y x, écriture qu on appelle l expression de x en fonction de y. Lorsqu une quantité variable y dépend d une autre quantité variable x de telle sorte qu à chaque valeur attribuée à x correspond une valeur bien déterminée pour y, ont dit que y est fonction de x. On peut faire les mêmes observations à partir d une équation générale du premier degré à deux inconnues : ax + by + c = 0, (avec : a 0, b 0). Nous ferons des observations analogues à partir d une équation à trois inconnues x, y, z : ax + by + cz + d = 0. Donnons à y une valeur quelconque y 0, et à z une valeur également quelconque z 0. On obtient une équation à une inconnue x : ax+ by 0 + cz 0 + d = 0 ou ax = by 0 cz 0 d, possédant, si a 0, une solution : x b c d = y z a 0 a 0 a 0, qui dépend de deux paramètres y 0 et z 0. Les trois nombres x 0, y 0, z 0 constituent évidemment une solution de ax+by+cz+d = 0, et, comme on peut donner à y 0 et à z 0 une infinité de valeurs, on peut énoncer : Une équation à plusieurs inconnues a une infinité de solutions. On peut aussi bien donner à x et y des valeurs arbitraires x 0 et y 0, puis calculer la valeur correspondante de z. Il résulte de la propriété énoncée qu une seule équation, comme ax + by + c = 0, ne suffit pas pour résoudre un problème dépendant de deux inconnues x et y. Il faut généralement deux équations pour déterminer deux inconnues, trois équations pour déterminer trois inconnues.n équations pour déterminer n inconnues. Définitions. L association de plusieurs équations, à plusieurs inconnues, qui doivent être satisfaites simultanément pour un même ensemble de valeurs attribuées aux inconnues, constitue un système d équations. Résoudre un système d équations, c est déterminer l ensemble des valeurs à attribuer aux inconnues pour que toutes les équations du système soient satisfaites. Cet ensemble de valeurs constitue la solution du système. Deux systèmes sont dits équivalents lorsque toute solution de l un est solution de l autre. Lorsqu un système admet une infinité de solutions, il est dit indéterminé. Lorsqu un système n a aucune solution, on dit qu il est impossible et que les équations qui le composent sont incompatibles. EXEMPLE Le système :

3 2x y = 7, x + 4y = 5. admet pour solution : x 0 = et y 0 = 1, comme on peut le vérifier aisément. On chercherait vainement d autres solutions à ce système. Par contre le système : 2x y = 7, 6x y = 21. est indéterminé, car il admet une infinité de solutions. Cela tient dans son cas à une raison très simple. L équation 6x y = 21 est en effet équivalente à l équation : 2x y = 7, car elle s obtient en multipliant les deux membres de cette dernière par. Le système ne contient donc au fond qu une seule équation répétée deux fois. Pour résoudre un système, on cherche à former d abord, à partir de ses équations, une équation admettant la même solution mais ne contenant qu une seule inconnue. On dit alors qu on élimine (provisoirement) les autres inconnues. Ceci est possible grâce aux principes qui suivent. Principe de substitution. Considérons le système : 2x + y = 5, x 4y = 2. Supposons que ce système possède une solution, c est-à-dire qu il existe deux nombres x et y satisfaisant simultanément les deux équations. Ces deux lettres ne doivent donc plus représenter, pour nous, deux variables, mais deux nombres supposés connus. D une des équations, la première par exemple, on peut tirer l expression de y en fonction de x : y = 5 2x. Remplaçons dans l autre équation y par cette expression. On obtient une équation à une inconnue : x 4(5 2x) = 2, ou : x x = 2 11x = 22 ou x = 2. Reportons ce résultat dans une des équations données, par exemple 2x + y = 5, écrite sous la forme : y = 5 2x. On obtient : y = = 5 4 = 1. Remarquons que nous avons résolu le système donné en résolvant le système équivalent : 2x + y = 5, x 4(5 2x) = 2. On admettra donc sans peine le principe suivant que l on a établi seulement sur un cas particulier.

4 Etant donné un système de deux équations à deux inconnues, on peut dans l une des équations substituer l une des inconnues par son expression (en fonction de l autre inconnue) tirée de l autre équation. On obtient aussi un système équivalent. Etant donné plus généralement un système d équations à n inconnues, on peut, dans n 1 équations, substituer à l une des inconnues son expression (en fonction des autres inconnues) tirée de l équation restante. On obtient un système équivalent. Principe d addition. Considérons un système quelconque à deux inconnues : (I) En additionnant, membre à membre, ces deux équations, on obtient une nouvelle équation A + C = B + D qu on peut associer à l une des équations du système, la première par exemple, pour former un nouveau système : (II) Ce système est équivalent au système (I). En effet, si le système (I) a une solution, les équations : A = C et C = D peuvent être simultanément satisfaites et, lorsqu elles le sont, l équation A + C = B + D l est aussi. Si réciproquement, le système (II) a une solution, pour cette solution la valeur de A+C est égale à celle de B+D, ce qui entraîne bien que la valeur de C est égale à celle de D. Le même raisonnement conduirait pour un système : C = D E = F. à remplacer l une des deux premières équations par l équation A + C = B + D, ou n importe laquelle des trois par l équation : A + C + E = B + D + F. Application. Reprenons le système : C = D. A + C = B + D. 2x y = 5, x + 4y = 2. L addition membre à membre des équations de ce système ne conduit pas à une équation intéressante. Mais si l on remplace l équation 2x y = 5 par l équation équivalente : 4(2x y) = 4. 5, soit 8x 4y = 20, cette équation, additionnée, membre à membre, avec l équation x + 4y = 2, fournit une équation à une seule inconnue : 8x 4y + x + 4y = , 11x = 22 ou x = 11.

5 Le deuxième principe, comme le premier, permet donc d éliminer une inconnue entre deux équations.