mpsi Khôlles MPSI. Équa_diff - Algèbre linéaire. Sujet A S =

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1 Khôlles MPSI. Équa_diff - Algèbre linéaire. Sujet A mpsi Correction Résoudre sur Ê l équation différentielle ( + t y = t y + ( + t (L. Déterminer la solution de (L telle que y(0 = π. Solution générale de l équation homogène : ( + t y = ty y = t t + y = y = y = y y = t t + dt = ln y = / ln Méthode de variation de la constante pour (L : ( + t y = t[ y + ( + t ( + t C + t + C = Ct ] t + t + = C = ln (t + t + t t + ( t + + k = y = C + t = tc t + + t + (+k Résoudre sur Ê l équation différentielle y + y + y = t e t (L Déterminer la solution de (L telle que y(0 = 0 et y( = Équation caractéristique associée : r +r+ = (r+ = 0 = r = Solution générale de l équation homogène : S = y } = (ax + b e x ; Ê a,b Solution particulière de (L Elle est de la forme y P = Q(xe x = (ax + b e x avec deg Q = car n est pas solution de l équation caractéristique. On trouve a = /4; b = /4 : y P = ( /4x /4 e x. Solution générale de (L y = (ax + b e x + ( /4x /4 e x ; a,b Ê } On recherche la solution particulière au problème de Cauchy : y(0 = b /4 = 0 = b = /4 y( = (a + /4 e = = a = e /4 D où la solution générale de (L : y = C ( + t + ln t + } t + + t Ê ; C On recherche la solution particulière au problème de Cauchy : y(0 = C + ln = π = C = π y = π ( + t + ln t + t + + t

2 3 On considère p l application linéaire définie de la manière suivante : Ê Ê p : (x,y (4x y,6x 3y Montrer que p est un projecteur et donner ses caractéristiques. Comment étudier un projecteur : Pour démontrer qu un endomorphisme f est un projecteur et donner ses éléments caractéristiques, je vérifie que f f = f je détermine E = Imf en me rappelant qu il s agit du sev des invariants : Imf = ker(f Id E. ( Pour cela, je résous l équation vectorielle f x = x. 3 je ( détermine E f x = 0 E. = ker f en résolvant l équation vectorielle 4 en ce cas, f est la projection de E sur E parallèlement à E. p p (x,y = p (4x y,6x 3y = (4 (4x y (6x 3y,6 (4x y 3 (6x 3y p p (x,y = (4x y,6x 3y = p (x,y p p = p p(x,y = (x,y Imp = Vect 3 4x y = x 6x 3y = y 3x y = 0 ( ( x y 3 4x y = 0 3 p(x,y = (0,0 6x 3y = 0 ker p = Vect x y = 0 ( ( x y p projette sur (; 3 parallèlement à (;

3 Khôlles MPSI. Équa_diff - Algèbre linéaire. Sujet B mpsi Correction Résoudre sur Ê l équation y y + y = x + (L. Déterminer la solution de (L telle que y(0 = 0 et y( = Équation caractéristique associée : r r+ = (r = 0 = r = Solution générale de l équation homogène :. Montrer qu une primitive sur Ê de t e t sin t est : t et (sin t cos t Il suffit de dériver : t et (sin t cos t On obtient bien la fonction attendue : t et (sin t cos t + et (cos t + sin t = et sin t. Résoudre sur Ê l équation différentielle y + y = sin(t (L. Déterminer la solution de (L telle que y(0 = 0. Résolution de l équation homogène. On résout : y + y = 0 y = Ce t Méthode de variation de la constante pour (L : y + y = C (t.e t C(t.e t + C(t.e t = sin t d où C (t = e t sin t = C(t = et (. (sin t cos t + C ; C Ê d où les solutions générales de (L : sin t cos t S } = + Ce t ; C Ê On cherche la solution particulière : y(0 = 0 (sin 0 cos 0 + Ce 0 = 0 / + C = 0 C = / y = sin t cos t + e t y + y = sin t S = y } = (ax + b e x ; Ê a,b Solution particulière de (L Elle est de la forme y P = Q(xe 0x x + βx + γ avec deg Q = car 0 n est pas solution de l équation caractéristique. On trouve α = ; β = 4; γ = 7 : y P = x + 4x + 7. Solution générale de (L y = (ax + b e x + x + 4x + 7 ; a,b Ê } On recherche la solution particulière au problème de Cauchy : y(0 = b + 7 = 0 = b = 7 y( = (a 7 e + = = a = 7 3 On considère s l application linéaire définie de la manière suivante : Ê Ê s : (x,y ( 3x + y, 4x + 3y Montrer que s est une symétrie de Ê 3 et donner ses caractéristiques.

4 Comment étudier un automorphisme involutif : Pour démontrer qu un endomorphisme f est une symétrie et donner ses éléments caractéristiques, je vérifie que f f = Id E je détermine E = ker(f Id E en me rappelant qu il s agit du sev des invariants : ( Pour cela, je résous l équation vectorielle f x = x. 3 je ( détermine E = ker(f + Id E en résolvant l équation vectorielle f x = x. 4 en ce cas, f est la symétrie de E par rapport à E parallèlement à E. s s (x,y = s ( 3x + y, 4x + 3y = ( 3 ( 4x + 3y + ( 4x + 3y, 4 ( 3x + y + 3 ( 4x + 3y s s (x,y = (x,y s s = Id E s(x,y = (x,y E = Vect 3x + y = x x + y = 0 4x + 3y = y ( ( x y 3 s(x,y = ( x, y ker p = Vect 3x + y = x x + y = 0 4x + 3y = y ( ( x y s est le symétrique par rapport à (; parallèlement à (;

5 Khôlles MPSI. Équa_diff - Algèbre linéaire. Sujet C mpsi Correction Résoudre sur Ê l équation différentielle suivante y + y + = e x (L. Déterminer la solution de (L telle que y(0 = 0. Résolution de l équation homogène. On résout : y + y = 0 y = Ce x Méthode de variation de la constante pour (L : y + y = e x y + y = C (x.e x C(x.e x + C(x.e x = e x d où C (x = e x e x ( d où C(x = ex e ex + Ê C ; C = y = e x x ex = ex est sol particulière de (L : d où les solutions générales de (L : e x S } = + Ce x ; Ê C Résoudre sur Ê l équation différentielle y y + y = x x (L. Déterminer la solution de (L telle que y(0 = 0 et y( = 8. Équation caractéristique associée : r r+ = (r = 0 = r = Solution générale de l équation homogène : S = y } = (ax + b e x ; Ê a,b Solution particulière de (L Elle est de la forme y P = Q(xe 0x x + βx + γ avec deg Q = car 0 n est pas solution de l équation caractéristique. On trouve α = ; β = 7; γ = 9 : y P = x + 7x + 9. Solution générale de (L y = (ax + b e x + x + 7x + 9 ; a,b Ê } On recherche la solution particulière au problème de Cauchy : y(0 = b + 9 = 0 = b = 9 y( = (a 9 e + 8 = 8 = a = 9 On cherche la solution particulière : y(0 = 0 e0 + Ce 0 = 0 / + C = 0 C = / y = ex + e x

6 3 On considère p l application linéaire définie de la manière suivante : Ê Ê p : (x,y ( x + y, 3x + 3y Montrer que p est un projecteur et donner ses caractéristiques. Comment étudier un projecteur : Pour démontrer qu un endomorphisme f est un projecteur et donner ses éléments caractéristiques, je vérifie que f f = f je détermine E = Imf en me rappelant qu il s agit du sev des invariants : Imf = ker(f Id E. ( Pour cela, je résous l équation vectorielle f x = x. 3 je ( détermine E f x = 0 E. = ker f en résolvant l équation vectorielle 4 en ce cas, f est la projection de E sur E parallèlement à E. p p (x,y = p ( x + y, 3x + 3y = ( ( x + y + ( 3x + 3y, 3 ( x + y + 3 ( 3x + 3y p p (x,y = ( x + y, 3x + 3y = p (x,y p p = p x + y = x p(x,y = (x,y 3x + y = 0 3x + 3y = y Imp = Vect 3 ( ( x y 3 x + y = 0 3 p(x,y = (0,0 3x + 3y = 0 ker p = Vect x + y = 0 ( ( x y p projette sur (; 3 parallèlement à (;

7 Khôlles MPSI. Équa_diff - Algèbre linéaire. Bonus mpsi Correction d où en simplifiant et en arrangeant on a : (E z (x + ( 6x + x z(x = 3. Intégrer (E sur ]0 ; + [. On se propose d intégrer sur l intervalle le plus grand possible contenu dans ]0 ; + [ l équation différentielle : (E y (x y(x x y(x = 9x. Déterminer a ]0 ; + [ tel que y(x = ax soit une solution particulière y 0 de (E. On cherche une solution particulière de (E, de la forme y(x = ax pour x ]0 ; + [. Alors en injectant y(x dans (E on a a ax x a x = 9x donc a = 9. On prend donc y 0 (x = 3x comme solution particulière de (E définie sur ]0 ; + [.. Montrer que le changement de fonction inconnue : y(x = y 0 (x z(x transforme l équation (E en l équation différentielle (E z (x + (6x + x z(x = On fait le changement de fonction inconnue suivant : y(x = y 0 (x z(x où z est une fonction définie sur ]0 ; + [ à trouver. Ici y 0 (x = 3x donc y(x = 3x z(x. On calcule les dérivées et le carré de y(x pour l injecter dans (E : On a y (x = 3 + z (x z (x et y (x = 9x 6x z(x + z (x, donc en injectant dans (E on a 3 + z (x z (x 3 + xz(x 9x + 6x z(x z (x = 9x Résolution de l équation homogène z (x + ( 6x + x z(x = 0. Une primitive de a(x = 6x x est A(x = 3x ln x, donc les solutions de l équation homogène sont les z(x = λ exp( 3x ln x = λ x exp( 3x, pour λ une constante réelle quelconque. Recherche d une solution particulière. Nous allons utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière à l équation z (x + ( 6x + x z(x =. On cherche une telle solution sous la forme z 0 (x = λ(x x exp( 3x où x λ(x est maintenant une fonction. On calcule d abord z 0(x = λ (x x exp( 3x + λ(x Maintenant : ( x 6 exp( 3x z 0 est solution de z (x + ( 6x + x z(x = z 0 + ( 6x + x z0 = λ (x x exp( 3x + λ(x ( x 6 exp( 3x ( 6x + λ(x x x exp( 3x = λ (x x exp( 3x = cela doit se simplifier! λ (x = x exp(3x Ainsi on peut prendre λ(x = 6 exp(3x, ce qui fournit la solution particulière : z 0 (x = λ(x x exp( 3x = 6 exp(3x x exp( 3x = 6x Pour se rassurer, on n oublie pas de vérifier que c est bien une solution!

8 Solution générale. L ensemble des solutions s obtient par la somme de la solution particulière avec les solutions de l équation homogène. Autrement dit, les solutions sont les : z(x = 6x + λ x exp( 3x = + λ exp( 3x 6x (λ Ê 4. Donner toutes les solutions de (E définies sur ]0 ; + [. Les solutions : ( y(x = y 0 (x z(x = 3x 6x + λ exp( 3x sont définies sur ]0 ; + [ ssi x ]0 ; + [: + λ exp( 3x 0 λ 0 ( 6x y(x = 3x + λ exp( 3x (λ Ê +