Fonction exponentielle. Définition Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a.

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1 Chapitre 6 Fonction exponentielle I. DEFINITION Définition Pour tout réel a, on appelle exponentielle de a et on note exp(a), l'unique réel b tel que ln b=a. Remarques On a donc ln(exp( a))=a. ln(1)=0 donc exp(0)=1 ln(e)=1 donc exp(1)=e par exemple, si ln x=2 alors exp(2)=x et d'après le chapitre précédent x=e 2 donc exp(2)=e 2 Cette dernière remarque nous conduit à la définition suivante : Définition Pour tout réel x, on pose : exp(x)=. On définit alors une fonction, appelée fonction exponentielle. II. PROPRIETES ALGEBRIQUES s Pour tout réel a, et tout réel strictement positif b, on a : e a >0 + y = e y ln b=a b=e a ln e a =a et e ln b =b 1 =e x x y =e y e ( ) n =e nx Exercice 1. Application : Calculs avec des exponentielles 1) Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=5 2 x+. Calculer f (0), f (ln 2), et f (3ln5). 2) Soit f la fonction définie sur R par f ( x)= 3 5+e. 2 x Calculer f (0), f (ln 4) et f ( ln 2 2 ). 3) Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=x+7+ 8ex 5+. Calculer f (0) et f (ln 3). Chapitre 6 : Exponentielle 1

2 Exercice 2. Application : Modification d'expressions 1) Soit f la fonction définie sur R par f ( x)= e 2 x +2 x+3 6. Montrer que f ( x)= ( +2 x e x +3 6e x ). 2) Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=6e x Montrer que f ( x)=3(e x +1)(2 ). 3) Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur R, simplifier l'expression proposée : a) f ( x)=+ln7 b) f ( x)=( ) 3 c) f ( x)= 1 e x+ln 2 d) f ( x)=e 3ln x Exercice 3. Application : Résolution d'équations Résoudre dans R les équations suivantes : 1) 2 +5=0 2) 5+ 2 =6 3) 5ln x= 3 4) 3e 5 x 15=0 5) 1 ln x+4=0 3 Exercice 4. Application : Résolution d'inéquation Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=5( 3)(2 e 2x +8). Résoudre l'inéquation f ( x) 0. III. ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 1) Ensemble de définition La fonction exponentielle est définie sur R par x. 2) Fonction dérivée et sens de variation s La fonction exponentielle est dérivable sur R et sa fonction dérivée est elle-même : La fonction f définie sur R par f ( x)= est dérivable sur R et sa fonction dérivée est : f ' ( x)=. Conséquence La fonction exponentielle est strictement croissante sur sur R. R car sa dérivée est strictement positive Remarque : pour obtenir cette propriété, il suffit de dériver chaque côté de l'égalité suivante : ln( )= x. Chapitre 6 : Exponentielle 2

3 Exercice 5 : Calculs de dérivées Dans chaque cas, calculer la dérivée de la fonction f définie sur I. a) f ( x)=(x 2 +3) et I =R b) f ( x)= ex x et I=] ;0 [ ] 0;+ [ c) f ( x)= 1 x et I =] ; 0[ 3) Limites s : Limites de la fonction exponentielle =+ =0 Exercice 6 Déterminer les ites aux bornes de leur ensemble de définition des fonctions f définies ci-dessous : 1) f ( x)= 1 x +3ex ; I=]0 ;+ [ 2) f ( x)= ln x ; I =]0; 1[ : Croissances comparées Pour tout entier naturel n : x n =+ Exercice 7 L'objectif est de déterminer les ites suivantes : a) b) ( x 2014 ) c) x 1) Vérifier que chacune des ites correspond à une forme indéterminée. 2) Déterminer chacune des ites après avoir remarqué 2014( que : a) = ex x x b) x 2014 =x x x 1 c) ) ) Tableau de variations et courbe x 3 x 3 = 1 ( ex x 3 ) Tableau de variation de la fonction exponentielle Courbe représentative de la fonction exponentielle Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=. x + f ' ( x)= + f ( x)= + 0 Chapitre 6 : Exponentielle 3

4 Conséquence La fonction exponentielle est strictement croissante donc : pour tous réels a et b : e a <e b si et seulement si a<b. IV. FONCTIONS DE TYPE exp( u ) 1) Limites Soit u une fonction définie sur un intervalle I de R. On considère les ites suivantes en un nombre réel, ou en + ou. si si si u( x)=+ alors u( x)= alors e u (x) =+ e u (x) =0 u( x)=a avec a R, alors Soit f la fonction définie sur R par ensemble de définition. 2 x+3=+ donc 2 x+3= donc e u (x) =e a f ( x)=e 2 x+3. Déterminer les ites de f aux bornes de son e 2 x+3 =+ c'est-à-dire e 2 x+3 =0 c'est-à-dire f ( x)=+ f ( x)=0 Exercice 8 : Limites de fonctions de type Déterminer les ites des fonctions f aux bornes de leur ensemble de définition I. 1) f ( x)=e 1 x+2 ; I =]2;+ [ 2) f ( x)=e 3+1 x ; I =] ; 0[ 3) f ( x)=e x2 +1 ; I =R e u 2) Dérivée Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R. La fonction e u est dérivable sur R et (e u )'=u ' e u. Autrement dit, soit f la fonction définie sur R par f ( x)=e u(x ). f est dérivable sur R et f ' ( x)=u ' ( x) e u(x). Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=2 2 x. Calculer la dérivée de f. On reconnaît la forme e u avec u( x)=x 2 2 x donc u ' ( x)=2 x 2. Rappel : (e u )'=u ' e u. Donc : f ' ( x)=(2 x 2) 2 2 x. Exercice 9 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes, dérivables sur R. 1) f ( x)=e 3 x 2) f ( x)=x e 2x 3) f ( x)= e x t 2. Chapitre 6 : Exponentielle 4

5 3) Primitives Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de R, de fonction dérivée u'. Une primitive de la fonction u ' e u est la fonction e u. Autrement dit, si f ( x)=u' ( x)e u( x) alors une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur I par F ( x)=e u(x). Soit f la fonction définie sur R par f ( x)=2 x Déterminer une primitive de la fonction f. Solution : On reconnaît la forme u ' e u avec u( x)=x 2 +3 d'où u ' ( x)=2 x donc une primitive de la fonction f sur R est e u c'est-à-dire : F ( x)=2 +3. Rappel : l'ensemble des primitives de la fonction f est de la forme F ( x)=2 +3 +c où c est une constante réelle. Exercice 10 : Calcul de primitives Déterminer les primitives des fonctions f définies sue R: a) f ( x)=(6 x 7)e 3 x2 7x b) f ( x)=e 3 x c) f ( x)= x 2 +3 Chapitre 6 : Exponentielle 5