MACHINES THERMIQUES (corrigés)

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1 MACHINES THERMIQUES (corrigés) Fluides en écoulement :. Ecoulement d'un fluide dans une tuyère convergente. On peut appliquer comme un résultat du cours la relation : h+ + + () en grandeurs massiques qui serait vraisemblablement fournie dans un sujet. Dans la situation étudiée, l énergie potentielle (de pesanteur) n est pasà considérer puisque l écoulement resteà altitude constante. L énergie cinétique massique sera d expression e c w²/ (où la vitesse, ici notée w,prendra les valeur w o en entrée et w x en sortie). w u 0 : pas de travail massique utile puisqu il n y a pas d organe mécanique dans la tuyère. Pour établir la relation (), on peut procéder au bilan suivant : Système : {tranche de fluide en déplacement} (système fermé). A A B B x La tranche AA est située à l abscisse 0 (à dx près) tandis que la tranche BB est à l abscisse x, à dx près. système fermé à t Le régime étant stationnaire, la tranche A B (système ouvert système fermé à t + dt fixe) doit contenir à tout instant la même quantité de matière. Pendant dt, une masse δm va traverser la section positionnée en A et une masse δm identique va faire de même en la position B. La quantité δm de masse de matière dans la tranche d entrée AA doit donc être égale à celle contenue dans la tranche de sortie BB. Bilan énergétique ( principe) écrit pour le système fermé, entre t et t + dt. du + de c δw + δq avec du U (A B ) (t + dt) U (AB) (t) soit : du δm.u(x) + U (A B) (t + dt) U (A B) (t) δm.u(0) en notant u(x) l énergie interne massique du fluide à l abscisse x. Du fait du régime stationnaire : U (A B) (t + dt) U (A B) (t) donc : du δm.[u(x) u(0)] Le raisonnement est identique pour l énergie cinétique : soit : de c δm.e c (x) + E c(a B) (t + dt) E c(a B) (t) δm.e c (0) en notant e c (x) (/). w(x)² l énergie cinétique massique du fluide à l abscisse x, w(x) étant la vitesse du fluide à cette abscisse. Du fait du régime stationnaire : E c(a B) (t + dt) E c(a B) (t) donc : de c δm.[e c (x) e c (0)]

2 Le travail reçu par le fluide est δw δw amont + δw aval P(0).v(0).δm P(x).v(x).δm où v(x) est le volume massique du fluide en l abscisse x. Le transfert thermique reçu est d après l énoncé : δq q(x).δm dans la tuyère, entre les abscisses 0 et x, sur une durée dt où la masse δm traverse la tuyère. Il vient donc : δm.[u(x) u(0)] + δm.[e c (x) e c (0)] P(0).v(0).δm P(x).v(x).δm + q(x).δm En simplifiant par δm (on aurait pu tout aussi bien raisonner sur une masse-unité) et en rassemblant les termes, on fait apparaître l enthalpie massique h(x) u(x) + P(x).v(x) soit donc : [h(x) h(0)] + [e c (x) e c (0)] q(x) soit : [h(x) + w(x)²/] + [h(0) + w(0)²/] q(x) b) Le phénomène est supposé adiabatique : q(x) 0. Ayant un gaz parfait, il suit la seconde loi de Joule : h c p. T (ici cp est constant car cste) soit : h h 0 / T(x) n est pas donnée, mais les conditions d application de la loi de Laplace sont réunies (adiabatique, gaz parfait, réversible, constant). En employant la forme : P -.T Cste on tire : ( 0) ( ) P T ( x) T ( 0) T 0 P x ( )( ψ ) où ( ) ( 0) P x ψ avec P(x) P. P En reprenant le bilan établi en a) : 0 h +h / 0 dont on tire finalement : R w( x) T ( 0) ψ en considérant que w(0) 0. M AN : T 0 K 950 C, w 400 m/s 400 km.h -.. Puissance d une pompe : La pompe a un débit massique D m constant. On est en régime stationnaire. La dénivellation subie par le fluide pompé est de z s. En négligeant toute viscosité, dh (/ρ).dp (pour kilogramme de fluide). Faisons un bilan énergétique entre entrée et sortie, sur une durée dt. Le volume de contrôle contient l ensemble du fluide situé dans la pompe et dans les tubes de connection. La face d entrée est située au point bas et la face de sortie est située en sortie de pompe, à l entrée du réservoir pressurisé. z s puits pompe eau pressurisée

3 Etant en régime stationnaire, l énergie totale contenue dans le volume de contrôle ne varie pas dans le temps. Il n y aura ni accumulation ni déficit de matière dans ce volume de contrôle, donc la quantité de masse dm D m dt contenue dans la tranche d entrée est identique à celle dans la tranche de sortie. L eau étant immobile dans le puits et dans le réservoir, l énergie cinétique n interviendra pas. Notons en minuscules les quantités massiques. Le premier principe donne : D m.dt.g(z s z e ) + D m.dt.(u s u e ) δw+ δq + δw (avec ici z e 0) Le sujet ne mentionne aucun transfert thermique : δq 0 δw représente les travaux des forces pressantes : δw (P e.v e P s v s ).D m.dt δw est le travail apporté par la pompe sur la durée dt : δw P f.dt Il vient : D m.gz s + D m.[(u s + P s v s ) - (u e + P e v e )] P f soit : D m.gz s + D m.[(h s ) - (h e )] avec s s Ps Pe hs he dh dp ρ ρ car ρ cste. e e P Po D où finalement : Pf Dm gh + ρ b) Le terme de dissipation d énergie dû à la viscosité est de forme K.D m /ρ, par unité de masse transvasée. Le bilan de puissance mettant en jeu des énergies par unité de temps, il correspond au transfert d une masse D m. Le terme de puissance dissipée par viscosité est donc K.D m /ρ. Ce terme doit être apporté en sus par la puissance de la pompe. Donc finalement : P Po KDm Pf Dm gh + + ρ ρ 3. Réfrigérant : La mise en équation se fait pour chacun des deux fluides (air et eau) en considérant une tranche de fluide entrée-sortie en déplacement (système fermé). Le volume de contrôle est délimité par l échangeur thermique. Les variations d énergie cinétique et d énergie potentielle sont négligeables. (le sujet ne donne d ailleurs aucune information pour les préciser ). Le régime étant supposé stationnaire, une même quantité de masse est contenue dans les tranches d entrée et de sortie : dm e dm s dm D m.dt en raisonnant sur une durée dt, avec un débit massique D m. Pour chacun des fluides le bilan énergétique s écrira : du δq + δw e + δw s sur une durée dt. Notons les grandeurs massiques en minuscules. δw e étant le travail des forces pressante en entrée : δw e P e v e.d m.dt δw s étant le travail des forces pressante en entrée : δw s -P s v s.d m.dt Comme le régime est stationnaire, le volume de contrôle contient une quantité d énergie interne identique à tout instant. Donc : du dm s.u s dm e.u e D m.dt.(u s u e ) On a donc pour chaque fluide : D m.dt.(u s + P s v s u e - P e v e ) δq En sommant les contributions pour l eau et pour l air, Le système étant thermiquement isolé : δq eau + δq air 0 (l échange thermique ne se fait qu entre l air et l eau dans l échangeur) : 3

4 D m.dt.(h s h e ) air + D m.dt.(h s h e ) eau 0 soit : D mair.c p (T o T ) air + d.c.(θ s θ e ) eau 0 d où finalement : θ s θ e + D mair.c p.(t T o ) /(d.c) R M air AN : θ s 5, C avec cp 4

5 Machines thermiques :. Pompe à chaleur : a) système {appartement} ; évolution isobare : δq p dh avec δq p -δq -a.c(t T o ).dt. La variation d enthalpie de l appartment est liée à sa variation de température : dh C.dT. D où le bilan bilan thermique sur dt : CdT + ac(t - T o )dt 0. ln T T ln T T a. t par intégration sur une durée t : ( o ) ( o ) ( T T ) soit : ln o a. AN : a 9, s-. t ( T T ) o b) Par définition, l efficacité réelle : e réelle P th /P où P th est la puissance thermique apportée par la pompe à chaleur et P la puissance mécanique qu il faut lui fournir pour son fonctionnement. Pour maintenir la température de l appartement à T il faut compenser les pertes thermiques, donc P th a.c.(t T o ). Il faut donc pour cela fournir à la pompe : P P th /e réelle. Or e réelle 0,4.e rév. e rév se calcule à partir des deux principes de la thermodynamique, dans l hypothèse d un fonctionnement réversible de la machine cyclique : W + Q f + Q c 0 Q f Qc et + 0 ce qui peut s écrire en therme de puissances, en notant respectivement P f et T T f c P c -P th les puissances thermiques reçues par la machine de la source froide (de température T f ) et de la source chaude (de température T c ). Pf Pc Soit : P + P f + P c 0 et + 0 T T En éliminant P f entre ces deux équations on tire : D où finalement : ( Tc Tf ) ac ( T To ) f c e rév Pth Pc Tc P P T T P AN : P 830 W. 0,4. T. Perte d efficacité d un congélateur par givrage. donc : c a) En appliquant le premier principe et leseond principe pour un cycle réversible(voir cours) et en définissant e Q fr / W, on aboutit à : é 6,5 donc α 0,3. b) Par le premier principe : W -(Q fr + Q ch ) ce qui amène : + Le second principe pour un cycle impose S 0 et donc S c -S e ce qui pour cette machine cyclique donne : ce qui conduit à : soit : c f 5

6 +. + Par l expression de l efficacité réversible établie en a) : On en déduit immédiatement : é. é La non réversibilité de la machine, c est à dire la création d entropie durant ses cycles de fonctionnement amène une diminution de l efficacité. soit : c) En présence de givrage, le doublement de la création d entropie se traduit par :.. é ce qui conduit après calcul à : d oùun rapport α e / e rév qui vaut : é é. é é é d) α 0,8 et e,. Pour une même puissance frigorifique, la puissance consommée sera P c (e/e ).P c,67.p c : elle est augmentée de 67%. Il est donc conseillé de régulièrement dégivrer son congélateur. 3. Elévation de la température d un fleuve par une centrale : Puissance fournie par la centrale : 000 MW GW. La centrale répond au graphe énergétique d un moteur, pour lequel la source froide est le fleuve (T 300 K) et la source chaude est le circuit primaire (T 700 K). Cherchons la puissance thermique cédée au fleuve : P th P (P < 0). Par définition du rendement : ρ P u / P Or on affirme : ρ 0,6.ρ rév où d après le théorème de Carnot : ρ rév (T /T ) Le premier principe, écrit en puissances donne : P + P + P u 0 car le processus est cyclique, donc l énergie interne de la machine ne doit pas varier. On a donc : P P u P soit P P u P u /ρ Finalement : P P u (P T < 0). f 0,6 T c En raisonnant sur une durée t, l énergie cédée au fleuve : P. t va servir à échauffer une quantité d eau exprimée à partir de son débit-volume D V 400 m 3.s - et de la masse volumique de l eau µ, kg.m -3 (quantité d eau entrant ou sortant pendant t). D où le bilan énergétique : P. t µ.d V.c. t. T où T est la variation de température. D où T P / (µ.d V.c) AN : T, K. 6

7 4. Machine frigorifique à absorbtion : Q A pompe absorbeur (T A ) Q évaporateur enceinte à refroidir (T 3 ) générateur (T ) Q 3 condenseur (T ) Q a) b) L intérêt du réfrigérateur est d extraire Q 3 de l enceinte à refroidir. Il consomme Q au niveau du générateur. Son efficacité est : η Q 3 / Q. principe (machine cyclique) : Q + Q + QA+ Q3 0 () ; principe : (Q / T) + ((Q + QA) / T) + (Q3 / T3) 0 () en supposant le fonctionnement réversible. Q + Q3 Q Q3 D après () : Q + Q A -(Q + Q 3 ) soit en injectant dans () : + T T T3 T3 T T On tire : η Q3 / Q + d où η Q3 / Q,8. T T T 3 Avec le second système, c'est-à-dire une machine à compresseur, η Q3 / W principe (machine cyclique) : W + Q + Q3 0 () ; principe : (Q / T) + (Q3 / T3) 0 () en supposant le fonctionnement réversible. T3 On en tire : η AN : η 8,9. Système plus avantageux, malgré la présence de pièces T T3 mécaniques. (W : travail fourni par le compresseur). c) Q mbut. Hcomb ; Q3 ηréel.q ; masse d'eau congelée : m 00 kg. 5. Rendement d'une turbine à gaz : P T C B C B D A D V A S 7

8 ) A B et C D sont adiabatiques et réversibles, donc isentropiques. B C et D A sont isobares. D après le formulaire sur les variations d entropie d un gaz parfait : S C p. (lnt) nr. (lnp) et en écrivant le long de l isobare dp 0, on aura S C p. (lnt). Soit entre les états (T o, S o ) et (T,S) : S S o C p.ln(t/t o ) d où en passant à l exponentielle : T(S) T o exp((s-s o )/C p ) ) a) Turbine à gaz : même graphe énergétique qu un moteur. rendement : r -W/Q c avec ici Q c Q BC. Par le premier principe, pour un processus cyclique : -W Q BC +Q DA avec : Q BC C p.(t C T B ) et Q DA C p.(t A T D ). 4 D où : r T r + T. T3 T b) Loi de Laplace le long des isentropiques AB et CD, pour ce gaz parfait. P P On tire : T4 T3 et T T P P Après simplifications : P P r x 3) a) y T 3 /T est imposé. W Q BC.r avec Q BC C p.(t C T B ) C p.(t 3 T ) où T 3 y.t et ( ) α T T T x T x en posant : α ( - )/. x On calcule alors : -W C p T (y x α ).( x -α ) C p T (y x α y. x -α + ). On cherche x max tel que W soit maximal. Soit x max tel que d(-w)/dx 0 La solution est x max y /α nrt T3 T 3 qui conduit après calculs à W max + T T 6. Centrale nucléaire, diagramme de Mollier : ) Par le modèle du fluide incompressible, puisque les états de référence et E et F sont à l état liquide : h E c l.(t E T o ) ; h F c l.(t F T o ) ; s E c l.ln(t E /T o ) ; s F c l.ln(t F /T o ). ) Identifier sur le diagramme de Mollier es courbes isobares, les courbes isochores, les courbes isothermes, et les courbes isotitre ; l isotitre x correspond à la courbe de rosée (limite de saturation). Sous la courbe de saturation, remarquons que les isobares et les isothermes sont confondues. On lira les valeurs au besoin par interpolation linéaire. Quelques indications pour situer les points : Le point A est situé sur le diagramme par sa température (87 C) et son titre. La transformation A B est adiabatique et réversible donc isentropique. La transformation B C est isobare, et mène à une températre de 70 C. La transformation C D est adiabatique et réversible donc isentropique. Les points E et F, situés sur la courbe d ébullition (x 0) n apparaissent pas dans le diagramme. 8

9 état P (bar) θ ( C) x h (kj.kg - ) s(kj.kg -.K - ) A ,8 B ,8 C 0 70 (vap sèche) 980 7,0 D 0, ,0 E 0, ,5 F ,0 3) Les transferts thermiques isobares correspondent aux variations d enthalpie. En écrivant le premier principe pour ce processus cyclique, on tire : W Q BC + Q DE + Q EF + Q FA en notant que Q AB Q CD 0 (adiabatiques). Q EF c l.(t F T E ) en utilisant le modèle du fluide incompressible. AN : W 80 kj.kg -. L énergie fournie par la source chaude est : Q Q EF + Q FA + Q BC. AN : Q 370 kj.kg - Le rendement vaut : ρ W /Q 0,37. 4) En faisant un bilan énergétique sur chacune des turbines (prendre un volume de contrôle et des tranches d entrée et de sortie contenant kg de fluide), on établit : w u h pour chacune d elle. (voir cours sur les systèmes ouverts). Soit pour l ensemble : W u (h B h A ) + (h D h C ) On obtient : W u 80 kj.kg - W. 5) On veut P u 300 MW. Le travail massique est W u 80 kj.kg - W. La relation entre puissance et travail massique fait intervenir le débit massique du fluide D m selon : P u D m.w u D où : D m P u /W u AN : D m 00 kg.s -. 9