Courbes de niveau. Cartographie

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1 Cartographie Pour représenter le relief, les cartographes utilisent des plans de coupe horizontale, d altitude constante. Par projection, les courbes obtenues donnent les courbes de niveau sur la carte. Sur l extrait de carte de la région de Richemont : (voir page 2) 1. Quelle est l altitude de la maison située au lieu-dit «Malabri». 2. On choisit un repère orthonormal de l espace tel que l axe des abscisses (est-ouest) et l axe des ordonnées (nord-sud) se coupent à la verticale de cette maison. L unité est le mètre. 3. A quel lieu correspond le point de coordonnées (2200 ; 0 ; 40)? 4. Entre quelles lignes de niveaux se trouve l église de Richemont? 5. Quelle est la dénivellation entre le point A sur la départementale et le pont situé en B? Sur l extrait de carte de la Martinique : (voir page 3) 1. Quelle est l impression globale de cet extrait? 2. Quelle est l altitude du deuxième refuge? 3. Quelle est la dénivellation entre le troisième refuge et le départ de la «rivière» situé en C? Page 1 sur 12

2 A B source : géoportail.fr Carte à l échelle 1/8000 Page 2 sur 12

3 C Source : geoportail.fr Carte à l échelle 1/8000 Page 3 sur 12

4 Courbes de niveau en économie En économie, il est fréquent d étudier une grandeur liée à deux variables. Par exemple : La production d un bien suivant le travail et le capital ; Les coûts de production d un producteur pour suivant les quantités de deux des produits fabriqués ; L indice de satisfaction du consommateur pour deux produits complémentaires ou substituables Pour cela on modélise la grandeur étudiée par une fonction dépendant de deux variables et. Pour toute valeur de et toute valeur de, on obtient une valeur de la grandeur étudiée que l on représente par un point dans un repère de l espace. Pour l ensemble des valeurs de et, on obtient une surface représentant la fonction. Afin de la visualiser, on trace les sections de cette surface par des plans d équation parallèles au plan de base ( ). Ces sections sont les courbes de niveau de la fonction. Etude d un profit Un producteur fabrique et vend deux produits Gloubi et Boulga en quantité et (en tonnes) avec et. Il réalise un profit dépendant de et (profit exprimé en milliers d euros). A l aide d un tableur, on a obtenu sur le graphique 1 représentant ce profit, et sur le graphique 2, les courbes de niveau d «iso profit» de ce producteur. B A Graphique 1 C Graphique 2 1. Lire les coordonnées des points A, B et C de la surface de profit 2. Repérer le point D représentant le profit réalisé pour 6 tonnes de produit Gloubi et 8 tonnes de produit Boulga. Quel le profit pour ce couple de production? 3. Tracer en rouge la courbe de niveau Lire deux couple ( ) de production donnant un profit nul. Page 4 sur 12

5 5. D après ces graphiques quelle quantité maximale de produit Boulga peut-on produire pour que le profit soit positif ou nul? Même question pour le produit Gloubi. Pour ce couple de production, a t on un profit positif? Etude d un profit CORRIGE Un producteur fabrique et vend deux produits Gloubi et Boulga en quantité et (en tonnes) avec et. Il réalise un profit dépendant de et (profit exprimé en milliers d euros). A l aide d un tableur, on a obtenu sur le graphique 1 représentant ce profit, et sur le graphique 2, les courbes de niveau d «iso profit» de ce producteur. B A D Graphique 1 C Graphique 2 1. Lire les coordonnées des points A, B et C de la surface de profit A(7,5 ; 7 ; 5) B(8 ; 4 ; 5) C(9,5 ; 10,5 ; 15) 2. Repérer le point D représentant le profit réalisé pour 6 tonnes de produit Gloubi et 8 tonnes de produit Boulga. Quel le profit pour ce couple de production? 3. Tracer en rouge la courbe de niveau Lire deux couple ( ) de production donnant un profit nul. Par lecture sur le graphique 2 : (9 ; 3) ; (9,5 ; 5) ou encore (7 ; 1) 5. D après ces graphiques quelle quantité maximale de produit Boulga peut-on produire pour que le profit soit positif ou nul? Même question pour le produit Gloubi. Pour ce couple de production, a t on un profit positif? La quantité maximale de produit Boulga à produire pour que le profit soit positif ou nul est de 9,5 tonnes. La quantité maximale de produit Gloubi à produire pour que le profit soit positif ou nul est de 9,5 tonnes. Mais une production de 9,5 tonnes de produit Gloubi et de 9,5 tonnes de produit Boulga donne un profit négatif ( 10 milliers d euros). Page 5 sur 12

6 Exercice Partie A La figure ci dessous représente la surface S d équation avec [0 ; 10] et [0 ;10]. 1. a) Le point A(2;6;70) appartient-il à la surface S? b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d abscisse 2 et d ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B? 2. a) Soit. Exprimer alors sous 1a forme puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation. b) Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan ( ) d une courbe de niveau d ordonnée constante. Déterminer la valeur de. Page 6 sur 12

7 Partie B La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note : la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d heures ; la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d heures ; La quantité produite (en tonnes) est donnée par avec [0 ; 10] et [0 ;10]. Les contraintes, liées aux horaires de travail, font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d heures. 1. On cherche à maximiser la production sous cette contrainte. a) Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction définie sur l intervalle ]0;10] par. b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes. 2. La direction de l entreprise envisage d augmenter d une centaine d heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines. La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xoy) d une partie de la surface S d équation. a) Représenter sur la figure 3 les contraintes et. b) Quelle sera la conclusion de la direction de l entreprise? Page 7 sur 12

8 Exercice CORRIGE Partie A La figure ci dessous représente la surface S d équation avec [0 ; 10] et [0 ;10]. 1. a) Le point A(2;6;70) appartient-il à la surface S? Pour et, on a Donc A S b) Placer, sur la figure ci-dessus, le point B d abscisse 2 et d ordonnée 4 qui appartient à S. Quelle est la cote du point B? Pour et, on a B Donc B(2 ; 4 ; 70) 2. a) Soit. Exprimer alors sous 1a forme puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d équation. Pour, on a Soit La fonction est un polynôme du second degré. La section de la surface S avec le plan d équation est une parabole. b) Sur la figure 2, la courbe C représente la projection orthogonale dans le plan ( ) d une courbe de niveau d ordonnée constante. Déterminer la valeur de. La courbe passe par le point d abscisse et de cote, on a donc Soit On a donc deux solutions : ou. La courbe passe aussi par le point d abscisse et de cote, on a donc Soit L équation admet deux solutions : Il s agit donc de la courbe de niveau Partie B ou La fabrication d un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines A et B. On note : la durée de fonctionnement de la machine A, exprimée en centaines d heures ; la durée de fonctionnement de la machine B, exprimée en centaines d heures ; La quantité produite (en tonnes) est donnée par avec [0 ; 10] et [0 ;10]. Les contraintes, liées aux horaires de travail, font que la somme des durées fonctionnement des deux machines A et B est de neuf centaines d heures. 1. On cherche à maximiser la production sous cette contrainte. a) Vérifier que la quantité produite exprimée en tonnes sous cette contrainte de temps peut être modélisée par la fonction définie sur l intervalle ]0;10] par. La contrainte donne. Soit On obtient alors b) En déduire les durées de fonctionnement des machines A et B permettant d obtenir une production maximale. Préciser la quantité maximale produite exprimée en tonnes. La production sera maximale quand la fonction atteindra son maximum. donc La dérivée est positive sur ] ; 6[ et négative sur ]6 ; + [. On en déduit que la fonction est croissante puis décroissante, elle admet un maximum en 6. La production sera maximale pour et donc pour. Page 8 sur 12

9 Les durées de fonctionnement des machines A et B seront donc respectivement de 600h et 300h. 2. La direction de l entreprise envisage d augmenter d une centaine d heures la somme des durées de fonctionnement des deux machines. La figure 3 ci-dessous, représente des courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xoy) d une partie de la surface S d équation. a) Représenter sur la figure 3 les contraintes et. La droite d équation passe par les points de coordonnées (4 ; 6) et (9 ; 1) La droite d équation passe par les points de coordonnées (3 ; 6) et (9 ; 0) b) Quelle sera la conclusion de la direction de l entreprise? Page 9 sur 12

10 Exercice 1 : Asie On a représenté la surface (S) d équation, avec x [0; 1,5], et y [0; 1,5]. Partie A Exploitation du graphique. On considère le plan (P) d équation z = Sur la figure, placer le point A de coordonnées (1; 1; 6). 2. Surlignez en couleur la partie visible de l intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée. Partie B Recherche d un coût minimum. On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût. 1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants. On a donc x + y = 2. Exprimer C(x ; y) en fonction de la seule variable x. On note f la Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs fonction ainsi obtenue. Vérifier que. dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois. Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d euros, est donné par : C(x ; y) = 3(x² + y) 2. Montrer que sur l intervalle [0; 1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x = 0,5. 3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût? 4. Placer sur la figure le point K correspondant au coût minimum ,2 0,4 0,6 0,8 1 x 1,2 1, y Exercice 2 Soit f la fonction définie pour tout réel x de [0 ; 10] et pour tout réel y de [0 ; 12] par :. On donne la représentation de la surface dans (O;,, ). Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d une association décident de fabriquer des cartes de vœux. Pour produire une quantité z de paquets de cartes, ils utilisent x décilitres d encre A et y décilitres d encre B. On admet que x, y et z sont liés par la relation où x est un nombre entier entre 0 et 10, et y un nombre entier entre 0 et 12. Les quantités d encre seront exprimées en décilitres. Partie A 1. (a) Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d encre A et 8 décilitres d encre B? (b) Donner la quantité d encre A, la quantité d encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée. 2. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d équation x = 4, parallèle au plan (O ;, )? Justifier. Partie B Le prix d un décilitre d encre A est 6 et celui d un décilitre d encre B est 2. L association décide d investir 46 dans l achat des encres. 1. Donner la relation entre les quantités x et y d encres A et B achetées pour un montant de Montrer alors que. 3. (a) Quelle quantité d encre A l association achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes? (b) Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués? (c) Quelle quantité d encre B sera alors utilisée? Page 10 sur 12

11 Exercice 1 : Asie juin 2006 CORRIGE On a représenté la surface (S) d équation, avec x [0; 1,5], et y [0; 1,5]. Partie A Exploitation du graphique. On considère le plan (P) d équation z = Sur la figure, placer le point A de coordonnées (1; 1; 6). donc A S 2. Surlignez en couleur la partie visible de l intersection de la surface (S) et du plan (P) sur la figure donnée. Entre la zône verte et la violette Partie B Recherche d un coût minimum. Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs. On appelle x le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et y le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois. Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d euros, est donné par : C(x ; y) = 3(x² + y) On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût. 1. La production mensuelle totale est de deux milliers de composants. On a donc x + y = 2. Exprimer C(x ; y) en fonction de la seule variable x. On note f la fonction ainsi obtenue. Vérifier que. 2. Montrer que sur l intervalle [0; 1,5], la fonction f admet un minimum atteint pour x = 0,5. On obtient le tableau de variation suivant : 0 0,5 1, ,25 Avec 3. Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production? Quel est ce coût? Le cout est minimum est de 5,25 pour et Soit pour 500 microprocesseurs et 1500 cartes mères 4. Placer sur la figure le point K correspondant au coût minimum ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 x 1, y Exercice 2 Soit f la fonction définie pour tout réel x de [0 ; 10] et pour tout réel y de [0 ; 12] par :. On donne la représentation de la surface dans (O;,, ). Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d une association décident de fabriquer des cartes de vœux. Pour produire une quantité z de paquets de cartes, ils utilisent x décilitres d encre A et y décilitres d encre B. On admet que x, y et z sont liés par la relation où x est un nombre entier entre 0 et 10, et y un nombre entier entre 0 et 12. Les quantités d encre seront exprimées en décilitres. Partie A 1. (a) Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d encre A et 8 décilitres d encre B? (b) Donner la quantité d encre A, la quantité d encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée. M (8 ; 9 ;160) P (5 ; 11 ;120) R (5 ; 4 ;40) 2. Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d équation x = 4, parallèle au plan (O ;, )? Justifier. donc la section est une droite. Partie B Le prix d un décilitre d encre A est 6 et celui d un décilitre d encre B est 2. L association décide d investir 46 dans l achat des encres. 1. Donner la relation entre les quantités x et y d encres A et B achetées pour un montant de 46. donc 2. Montrer alors que. 3. (a) Quelle quantité d encre A l association achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes? donc On obtient le tableau de variation suivant : Avec Le maximum de paquet est obtenu pour 4 décilitre d encre A. (b) Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués? (c) Quelle quantité d encre B sera alors utilisée? Si donc et Page 11 sur 12

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