À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d autres grâce aux connecteurs

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1 Assertion Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui peut être «vraie» ou «fausse», mais jamais les deux à la fois. Exemples: (3 > 0), (3 = 0) sont des assertions. L énoncé «L avenue des Champs Élysées est située à Paris» est vrai. L énoncé «divise 13» est faux. Axiome Un axiome est un principe que l on admet, et à partir duquel on peut démontrer d autres propriétés à l aide de la logique. Exemple: On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes. Cette propriété ne se démontre pas, on l admet et autour de cette propriété, on obtient d autres propriétés de la géométrie plane. Proposition Une proposition P est un énoncé qui contient des variables, qui est vrai pour certaines valeurs qu on leur affecte et faux pour toutes les autres. Exemple: La proposition x >5 est vraie pour les nombres strictement supérieurs à 5 et est fausse pour tous les autres nombres. À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d autres grâce aux connecteurs logiques. oici les trois premiers connecteurs logiques : négation (non), conjonction (et), disjonction (ou) Négation d une proposition La négation d une proposition P, notée nonp, est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vraie. On lui attribue une table de vérité : P non P Exemples: La négation de la proposition x >5 est x 5. Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" alors la négation de P est : "le triangle ABC n est pas rectangle" Attention : La négation de la proposition «ce pull est noir» n est pas «ce pull est blanc» mais tout simplement «ce pull n est pas noir». Les connecteurs logiques «et», «ou» La conjonction de deux propositions Soient P et Q deux propositions. La conjonction de ces deux propositions est notée : P et Q, cette proposition est vraie lorsque les deux propositions sont vraies et elle est fausse dans tous les autres cas. oici sa table de vérité : P Q P et Q 1

2 Exemples: 1) La conjonction des deux propositions x 5 et x 5 n est autre que x = 5. ) Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" et Q est la proposition : "le triangle ABC est isocèle" alors «P et Q» est la proposition : "le triangle ABC est rectangle et isocèle" Disjonction Soient P et Q deux propositions. La disjonction de ces deux propositions est notée : P ou Q, cette proposition est vraie lorsque au moins l une des deux propositions est vraie, et elle est fausse dans tous les autres cas. oici sa table de vérité : P Q P ou Q Exemple: La négation de la proposition x >5 est x 5. Exemples: "4 est pair" ou "5 est pair" est vrai (en effet, la première propriété est vraie ). "4 est pair" ou "4 est inférieur à 5" est vrai.(en effet, les deux propriétés sont vraies) Lois de De Morgan (Soient P et Q deux propriétés) Non (P et Q) est ( Non(P) ou Non (Q) ). P Q P et Q Non(P et Q) Exemple: Le contraire de x = 4 x 0 est ( x 4 ou x > 0 ) Non (P ou Q) est ( Non(P) et Non (Q) ). P Q Non(P) Non(Q) Non(P) et Non(Q)

3 Implication Soient P et Q deux propositions. L implication P Q se lit P implique Q ou P est une condition suffisante de Q ou Q est une condition nécessaire de P. Elle peut se traduire aussi par «si P est vraie alors Q est vraie» ou «si P alors Q». oici sa table de vérité : P Q P Q Exemple: La négation de la proposition x >5 est x 5. Transitivité de l implication Soient P 1, P et P 3 trois propositions. (P 1 P ) et (P P 3 ) (P 1 P 3 ) Exemples: 1) 0 x 36 x 6 est vraie (il suffit de prendre la racine carrée des trois membres de l inégalité) ) Le théorème, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles, se traduit par une implication de la forme: ( 1 ) ( d ) ( 1 )//( ) ( ) ( d ) 3) ABC triangle équilatéral implique ABC triangle isocèle : ABC équilatéral ABC isocèle. L équivalence entre deux propositions Soient P et Q deux propositions. P Q, est la proposition (P Q) et (Q P).: oici sa table de vérité : P Q P Q Exemple: Pour tous réels x et y, on a l équivalence : x y = 0 x = 0 ou y = 0 Réciproque d une implication ( ) Soient P et Q deux propositions. La proposition ( Q P ) s appelle la réciproque ou l implication réciproque de l implication (P Q ). 3

4 Remarque : Pour montrer qu'une implication p q est fausse, il suffit de se mettre dans une situation dans laquelle p est vérifiée, alors que q ne l'est pas. Exemple: "n est pair n est un multiple de 6" est une implication fausse car 4 est pair et 4 n'est pas un multiple de 6. Remarque : Si ( Q P ) est la réciproque de l implication (P Q ), alors elles sont vraies toutes les deux, si et seulement si (P Q ) est vraie. Exemple: Quelle est la réciproque de l assertion «Tout professeur a été élève»? Solution : Toute personne ayant été élève est professeur. Qui est évidemment une assertion fausse. Exemples de raisonnements mathématiques Contraposée d une implication Soient P et Q deux propositions. La proposition (P Q) équivaut à (nonq nonp). L utilisation de la contraposée pour résoudre un problème mathématique 1 1 Exemple: Montrer que si a et b sont des réels distincts de, et si a b, alors. a b Solution : La contraposée de l énoncé est si a et b sont des réels distincts de, et si =, alors a=b. Et cela est vrai, car = a = b a=b. a b a b Raisonnement par l absurde Pour montrer que P Q, on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi, si P est vraie alors Q doit être vraie et donc «P Q» est vraie. Exemple: Montrer que pour tout nombre réel x différent de 1 on a : Solution : Raisonnement par l'absurde. Supposons qu'il existe un nombre réel x différent de 1 pour lequel alors x + 3 = x + dans ce cas, on a 3 =, ce qui est impossible. x + 3 Donc pour tout nombre réel x différent de 1 on a :. x + 1 x + 3 différent de. x + 1 x + 3 soit égal à, x + 1 4

5 L utilisation de contre-exemple Pour montrer qu une assertion P ( x) est fausse, il suffit de trouver un x E tel que ( x) fausse. P soit Exemple: L implication x < 3 x < 9 est-elle vraie? Solution : Cette assertion est fausse. En effet, on peut le montrer, en choisissant le contreexemple suivant : 4 < 3 mais ( 4 ) > 3 3, Raisonnement par disjonction des cas Pour montrer que x E vérifie la propriété P, on considère toutes les possibilités pour x. Exemple: Montrer que pour tout entier naturel n, le produit n(n + 1) est divisible par. Solution : On sait qu un entier naturel n peut être pair ou impair. - Si n est pair, alors il existe un entier k tel que n = k et dans ce cas, on a : n ( n + 1 ) = k( k + 1) n ( n + 1 ) = [ k( k + 1) ], ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par. - Si n est impair, alors il existe un entier k tel que n = k + 1 et dans ce cas, on a : n ( n + 1 ) = ( k + 1)( k ) n n + 1 = k + 1 k + 1, ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par. ( ) [( )( )] Quantificateurs Les quantificateurs sont les deux symboles : «qui signifie "Il existe "» et «qui signifie Quelque soit ou Pour tout» Les quantificateurs et servent à la formulation des énoncés mathématiques à l aide des éléments d un ensemble donné E. Exemple: Pour tout nombre réel x il existe un nombre réel y tel que y = x se traduit par : x R, y R, y = x L ordre des quantificateurs dans une expression mathématique Si l on utilise deux fois le même quantificateur, l ordre n a pas d importance ; on peut donc écrire dans l ordre qu on veut x E y. ou encore x E y. Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important : - Dans l écriture : x E y y dépend de x. - Dans l écriture y x E. y est indépendant de x. 5

6 Quantificateurs et la négation La négation de x E, x vérifiant une certaine propriété p est x E tel que x ne vérifie pas p. La négation de x E, x vérifiant une certaine propriété p est x E tel que x ne vérifie pas p. Exemple: Ecrire une expression mathématique traduisant l assertion «Tout réel possède un opposé». Donner sa négation. Solution : a R b R a + b = 0, Sa négation est a R b R a + b 0. 6

7 Exercices à faire à la maison Exercice 1- Donner la négation des propositions suivantes : 1. Cette chemise est blanche.. Toutes les voitures sont rouges. 3. Cette balle est rouge ou elle est bleue. 4. Cette fleur est grande et elle est rouge. 5. Le nombre n'est pas rationnel et il est supérieur à 1. Exercice - Donner la réciproque et la contraposée des implications suivantes : 1. Si un quadrilatère est un losange alors ce quadrilatère est un parallélogramme.. Si a > b et b >c alors a > c. 3. Si (d) est parallèle à (d ) et (d ) est parallèle à (d ) alors (d) est parallèle à (d ). 4. Si deux droites ne sont pas sécantes alors elles sont parallèles. 5. Si A est le symétrique de A par rapport à (d) alors (d) est la médiatrice de [AA ]. Exercice 3- Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose :, ou : x R, x = 4 x = Exercice 4- Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : 1. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.. Pour chaque entier naturel, on peut trouver un entier strictement plus grand. 3. Soit f une fonction définie sur R. a) f est strictement monotone sur R, b) f est constante, c) f ne prend pas de valeur négative. Exercice 5- Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses? Donner leurs négations. 1. x R y R y > x,. x R y R x + y > 0, 3. x R y R x + y > 0, Exercice 6- Soient n un entier naturel non nul. Montrer qu'il n'existe pas d'entier naturel m tel que n + 1 = m. Exercice 7- Comment Euclide a-t-il démontré que «Si deux angles d'un triangle sont égaux entre eux, alors les côtés opposés à ces angles égaux sont aussi égaux entre eux»? Exercice 8 Montrer que si a et b sont des entiers tels que a + b est impair, alors a et b sont de parité différente. 7

8 Exercice 9-1. L implication ( < x < y et a < b) xa < yb. L implication ( ) 0 est-elle vraie ou fausse? xy 0 et x < y 1 1 < est-elle vraie ou fausse? y x Exercice 10- Soit I un intervalle de R et f une fonction définie sur I. Exprimer à l'aide de quantificateurs les propriétés suivantes : a) f est la fonction nulle. b) f s'annule sur I. c) f est à valeurs positives. 8