Lois et distributions de probabilité

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1 Lois et distributions de probabilité F-Z Meski 1 Objectifs Comprendre le concept des probabilités; Calculer la probabilité d un événement; Identifier les principales lois de probabilités; Calculer la probabilité d un événement à partir des tables statistiques. F-Z Meski 2 1

2 Plan Introduction 1. Notions de base de probabilité Définition Calcul de probabilités Théorème de BAYES 2. Distributions de probabilité Distribution binomiale Distribution de poisson Distribution de Laplasse-Gausse ou normale Distribution de chi-carré Distribution de T-student Conclusion F-Z Meski 3 Introduction Poids du bébé à la naissance? Nombre de malades qui consultent un CS en fin de la journée? Nombre de candidates qui vont réussir le concours d accès au 2 ème cycle? L'événement est un sous-ensemble des résultats possibles d une l'épreuve. Exemple: "l'individu est de sexe M lors d'une réalisation de l'épreuve(prendre un individu au hasard et déterminer son sexe) Les événements dont les variations ne peuvent être déterminés avec certitude sont dits «ALEATOIRES» F-Z Meski 4 2

3 1. Notions de base de probabilité: Définition La probabilité d un événement A = fréquence relative de survenue de cette événement lorsque des essais répétés en conditions identiques sont réalisés= Nombre de cas réalisation de l évènement )A Nombre de cas possibles et équiprobables (=)P r(f-z Meski5 peutprendretouteslesvaleursde0à1 Définition (suite) Pr(A)= 0 si l évènement est impossible Pr(A)= 1 si l évènement est sûr Pr(A) = lim n A / n n F-Z Meski 6 3

4 1. Notions de probabilité: Calcul de probabilités Probabilité complémentaire: la probabilité de non réalisation de A, Pr(A)= 1-Pr(A) Probabilité composée: c est la probabilité de survenue simultanée de plusieurs évènements (2 ou plus), Pr(A B) Exemple:-Probabilité de fumer et d être âgé de 20ans - Probabilité d avoir une méningite et d être vacciné Rq: Pas de préjugé de dépendance et de précède F-Z Meski 7 Calcul de probabilités (suite) Probabilité totale: c est la probabilité d occurrence de l un des évènements, Exemple: Pr(A B) = Pr(A)+Pr(B)-Pr(A B) Probabilité de fumer ou d être âgé de 20ans Probabilité d avoir une méningite ou d être vacciné F-Z Meski 8 4

5 Calcul de probabilités (suite) Probabilité conditionnelle: c est la probabilité d occurrence d un évènement sachant l existence d un ou plusieurs autres évènements, Pr(A/B) Exemple: - Probabilité d avoir une infarctus de myocarde étant donné être hypertendu - Probabilité de développer un cancer de sein étant donné que l on prend des contraceptifs oraux Pr(A/B) = Pr(A B)/Pr(B)= Pr(AB)/Pr(B) Survenue de A étant donné l existence de B Pr(B/A) = Pr(A B)/Pr(A)= Pr(BA)/Pr(A) 0 Survenue de B étant donné l existence de A F-Z Meski 9 Exemple1: Consommation de cigarettes dans un échantillon en fonction de l âge Catégories d'âge (ans) Nbre de cigarettes consommées /j et plus et plus

6 Exemple1 : Nbre «évènement» 5-9 C Pr(5-9C)= = = 11% Total possible des évènements Pr(âgé de ans)= 1215/2745= 44% Pr(25-29C/20-24 ans)= Pr(A B)/Pr(B)= =11,4% Pr(25 C ou plus)= = =44% / /2745 Pr(10-14C ou 10-14ans)= Pr(A)+Pr(B) P(A B)= ( )/2745= 26% F-Z Meski Les distributions de probabilité: Définition La probabilité est une fréquence elle peut être représentée par un graphique étudier sa distribution En pratique, plusieurs distributions sont utilisées dépendamment de la nature des variables. F-Z Meski 12 6

7 2. Les distributions de probabilité Types de distributions En pratique, les distributions utilisées dépendent de la nature de la variable définissant le phénomène étudié Qualitatives et Discretes binaires Distribution Binomiale Distribution de Poisson Continues Distribution Normale Distribution Chi-2 Distribution T-student Distribution F-Fisher F-Z Meski Les distributions de probabilité Distributions binomiale Étude d un phénomène QUALITATIF ou QUANTITATIF DISCRET ayant DEUX modalités(variable dichotomique) On recherche la «probabilité de succès» parmi un certain nombre d épreuves indépendantes, lorsque l on connaît la probabilité de succès à chaque épreuve F-Z Meski 14 7

8 2. Distribution binomiale: exemple Au Maroc, la probabilité d avoir une fille est de 52%. Quelle est la probabilité, pour une famille de 4 enfants d avoir une fille? (FFFF, FFFG, FFGF, FGFF, GFFF, FFGG, FGFG, FGGF, GFGF, GFFG, GGFF, FGGG, GFGG, GGFG, GGGF, GGGG) Dans un centre de santé, la probabilité de diagnostiquer une rougeole est de 4%. Quelle est la probabilité, parmi les 12 premiers patients, d avoir trois personnes ayant une rougeole? F-Z Meski 15 Exemple Naissance d 1 fille = Bon= un succès Naissance d 1 garçon = Mauvais= un échec F-Z Meski 16 8

9 Exemple (suite) F-Z Meski 17 Distribution binomiale (suite) Nombre d épreuves Indépendants: n Probabilité de chaque épreuve est connue: p Je cherche la probabilité de k succès?? La loi binomiale est exprimée par la formule suivante: P(x=k)= n! k! (n-k)! P k (1-p) n-k n!=1x2x3x x n F-Z Meski 18 9

10 Distributions binomiale: Exemple Reprenons les questions précédentes et appliquons la loi: L épreuve= naissance Succès: naissance d une fille probabilité d avoir une fille lors de chaque épreuve : 0,52 n= nombre d épreuve = 4 P(1 fille)= 4! 1x2x3x4 x 0,52 1 x 0,48 3 = x 0,52 1 x 0,48 3 1! 3! 1x 1x2x3 =0,23 P(3 rougeole)= 12! x 0,04 3 x 0,96 9 =0,01 3! 9! F-Z Meski Les distributions de probabilité Distribution de poisson Dérivée de la binomiale Concerne aussi les variables dichotomiques (comme binomiale) Elle correspond à une binomiale où l une des deux éventualités a une probabilité très faible (événement très rare) Ou bien Où le nombre de «non-évènements» ou «échecs» ne peut être dénombré parce que l échantillon est très grand F-Z Meski 20 10

11 Rappel du plan Qualitatives et Discretes binaires Distribution Binomiale Distribution de Poisson Continues Distribution Normale Distribution Chi-2 Distribution T-student F-Z Meski 21 Exemple: variable taille F-Z Meski 22 11

12 Distribution Normale ou continue Permet d étudier la distribution d une variable Quantitative continue dans une population Une distribution normale est caractérisée par deux paramètres:samoyenneµetsadéviationstandard σ Notation:X N(µ, σ) Exemple: Taille N(170,6) les erreurs de mesures dans les phénomènes biologiques sont souvent distribuées normalement Dans certains cas, les distributions binomiale et de Poisson peuvent être approximées par la distribution normale F-Z Meski 23 Distribution Normale f (x) = Pr(x) = σ 1 2π e 1 (x µ)² - 2 σ² 0,07 0,06 0,05 f(x) 0,04 0,03 0,02 0,01 0, x x Pr(x>x 1 ) F-Z Meski 24 12

13 Distribution normale (suite) Infinités de distributions normales probabilités complexes calculs de µ1 µ2 µ3 µ4 On utilise la normale centré réduite(standardisée) z N(0,1) F-Z Meski 25 Distribution normale centrée réduite z = X µ σ f ( z) = 1 e 2π 1 z² 2 0,45 f(z) 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00-3,25-2,75-2,25-1,75-1,25-0,75-0,25 0,25 z 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 F-Z Meski 26 13

14 Distribution normale (suite) Il existe des tables permettant de faire les calculs de probabilité pour la normale centrée réduite: Pr(z > 1,28) Pr(z -2,26) Pr(-1,2 z 1,02) Pr(-3< z +3) Pr(-1.96 < z +1,96)? z1 tel que Pr(z > z1)=0,15?z2 tel que Pr(z z2)=0,995 F-Z Meski 27 Pr( Z > Z α )=α (unilatéral) 1,035 F-Z Meski 28 14

15 Pr(-Z α Z Z α )=1-α (bilatéral) F-Z Meski 29 Distribution normale (suite) Pr(z > 1,28)= 0,1003 Pr(z -2,26) = Pr(z 2,26)=0,12 Pr(-1,2 z 1,02)= 1-Pr(z<-1,2)-Pr(z>1,02) = 1-Pr(z>1,2)- Pr(z>1,02)= 1-0,115-0,154= 0,731 Pr(-3 < z +3) =1-2Pr(z>3)= 1-2x0,0014=0,9972 Pr(-1,96 < z +1,96)= 1-2Pr(z>1,96)= 0,95? z1 tel que Pr(z > z1)=0,15, z1=1,035?z2 tel que Pr(z z2)=0,995, z2=2,57 F-Z Meski 30 15

16 Exercice Parmi les diabétiques, la concentration en glucose à jeun est distribuée approximativement «normalement», avec une moyenne de 105 mg/100ml et une déviation standard de 9 mg/100ml Quelle proportion de diabétique ont une concentration comprise entre 90 et 125mg/100ml X Pr(90 X 125)=Pr( Z= ) % des diabétiques ont une concentration entre 90 et 125 mg/100ml =Pr(-1,67 Z 2,22 ) =1-Pr(Z <-1,67)-Pr(Z>2,22) =1-Pr(Z>1,67)-Pr(Z>2,22) =1-0,0475-0,0132 =0,9393 F-Z Meski 31 Rappel du plan Qualitatives et Discretes binaires Distribution Binomiale Distribution de Poisson Continues Distribution Normale Distribution Chi-2 Distribution T-student F-Z Meski 32 16

17 Distribution de chi-carré(χ²) Distribution dérivée de la distribution Z Soit Z N(0, 1), la variable chi-carré, notée χ², de paramètre k (appelé k aussi nombre de degrés de libertés), est définie ainsi: = k 2 2 χ Z k = i Utilisée dans certaines analyses statistiques i 1 Les tables de probabilités de χ² donnent des valeurs particulières appelées valeurs critiques et notées χ² P k;α 2 2 r χ k χ k ; α > = α F-Z Meski 33 Pr(χ²<1,64)=0, Pr(χ²>13,4)=0,1 F-Z Meski 34 17

18 = 21/02/2012 Distribution de student(t) Distribution dérivée de la distribution Z Soit Z N(0, 1), la variable t k de studentde paramètre k (appelé aussi nombre de degrés de libertés), est définie comme suit: = Z χ Utilisée aussi dans certaines analyses statistiques t k k 2 k Les tables de probabilités de t k donnent des valeurs particulières appelées valeurs critiques et notées t k,α tq: P r k k, α > α F-Z Meski 35 F-Z Meski 36 18

19 Objectifs Comprendre le concept des probabilités; Calculer la probabilité d un événement; Identifier les principales lois de probabilités; Calculer la probabilité d un événement à partir des tables statistiques. F-Z Meski 37 Conclusion La probabilité est un outil qui permet d effectuer les inférences statistiques F-Z Meski 38 19