Cinématique des solides

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1 Cinématique des solides 1- Positions Définir une position n a un sens que si l on précise par rapport à quoi se réfère cette position. Le référent est un repère ou un solide. Pour définir une position par rapport à un solide on définit la position par rapport à un repère fixe de ce solide Position d un point La position d un point M par rapport à un repère R = (, X, Y, Z ) est : le vecteur OM Dans l espace la position d un point est donc définie par au maximum trois variables (paramètres) car dans l espace un vecteur à trois composantes. Les variables choisies différent suivant les liaisons on a trois types de coordonnées pour préciser la position d un point Coordonnées cartésiennes : Le vecteur position OM et donc la position du point M est défini par ses trois coordonnées dans le repère orthonormé (O, x, y, z ) OM = Om 1 + Om 2 + Om 3 OM = x(t). x + y(t). y + z(t). z Coordonnées polaires ou cylindriques : Le vecteur OM et donc la position du point M est défini l orientation du vecteur X le rayon ρ(t) et l altitude z(t). Avec : OM = Om + mm OM = ρ(t). X + z(t). z ( x, X ) = θ(t) Coordonnées Sphériques : Le vecteur position OM et donc la position du point M est défini l orientation du vecteur et le rayon ρ(t). Avec : Et : OM = ρ(t). ( x, X ) = θ(t) 1.2- Position d un solide ( X, ) = ϕ(t) Cas général La position d un solide par rapport à un repère R = (, X, Y, Z ) sera défini par la position de 3 points fixes de ce solide. Ce qui a priori nous fait 9 variables. Cependant ces points étant fixes par rapports à ce solide on peut définir trois relations. Pour la position d un solide nous avons donc 6 variables indépendantes qui définissent sa position. En général on définit la position d un solide par rapport à un repère ou un solide par : La position d un point de ce solide : L orientation de ce solide : Au maximum trois paramètres Au maximum trois paramètres MPSI - Cinematique des Solides.docx page 1/8

2 Les angles d Euler Dans le cas ou l orientation d un solide peut être absolument quelconque on peut utiliser pour paramétrer la positon angulaire du solide les angles d Euler qui sont : l angle de précession ψ : Angle de rotation autour d un axe vertical fixe. L angle de nutation θ : Angle de rotation autour d un axe horizontal défini par l angle de précession. L angle de rotation propre ϕ : Angle de rotation autour d un axe défini par les angles de précession et de nutation. Ce paramétrage peut être pratique lorsque l on a une liaison rotule. Cependant il n est pas une obligation. Lorsque par exemple, un solide 1 est en liaison pivot par rapport à un solide 2 lui-même en liaison pivot par rapport au solide ; Il est préférable d utiliser les deux angles de rotation autour des axes des liaisons pivot comme paramètres de l orientation du solide Définition de la trajectoire 2- Trajectoire d un point La trajectoire d un point M d un solide 1 par rapport à un solide (ou repère R ) est l ensemble des positions prises par ce point dans le solide ou dans le repère R fixe par rapport au solide. On la note : T M 1/ ou : T M 1/R (où : R est un repère fixe par rapport à 1) Cette trajectoire est donc la courbe décrite au cours du temps par les positions du point M dans le repère R ou un repère fixe par rapport au solide Importance du repère d observation Les caractéristiques de cette courbe dépendent donc du repère par rapport auquel on observe le mouvement. Exemple : Trajectoire d un point de la roue d un véhicule La courbe décrite par un point M fixe par rapport à la roue 2 est : n cercle si on observe le mouvement par rapport au cadre 1 du vélo : T M 2/1 ne cycloïde si on observe le mouvement par rapport au sol : T M 2/ MPSI - Cinematique des Solides.docx page 2/8

3 3.1- Déplacement 3- Vitesse et accélération d un point Déplacement d un point M sur une durée de temps t. Si un point M occupe les positions M et M de la trajectoire T M 1/ au début et à la fin de la période de temps t alors le déplacement du point M sur la période t est le vecteur MM. Ce déplacement dépendant des positions du point M sur la trajectoire T M 1/ ; Ce déplacement dépend donc du repère ou solide par rapport auquel s observe le mouvement Vitesse moyenne La vitesse moyenne d un point M sur une durée t est le déplacement de ce point M divisé par la MM durée t. : V moy = Le déplacement MM étant fonction du repère par rapport auquel on observe t le mouvement ; La vitesse dépend du repère ou solide par rapport auquel on observe le mouvement. Si on observe ce mouvement par rapport à un repère R d origine O ou d un solide sur lequel le point O est fixe, alors : MM = MO + OM = OM OM Donc si on pose : Alors : 3.3- Vitesse instantanée OM = OM OM (variation de la position du point M) OM t V moy = La vitesse instantanée d un point M du solide 1 est la vitesse moyenne du point M sur une période de temps t qui tend vers zéro : V M 1/ = lim OM t t La vitesse instantanée V M 1/ est donc la dérivée par rapport au temps de la position du point M appartenant au solide 1 dans le repère R supposé comme fixe : Conséquence : La vitesse instantané : 3.4- Accélération d un point V M 1/ = d OM MPSI - Cinematique des Solides.docx page 3/8 R V M 1/ est tangente à la trajectoire : T M 1/ L accélération étant la variation de vitesse par rapport au temps on montre que l accélération instantanée Γ M 1/ est donc la dérivée par rapport au temps de la vitesse du point M appartenant au solide 1 dans le repère R supposé comme fixe : Γ M 1/ = dv M 1/ 3.5- Dérivation dans le repère fixe Si x=x(t), y=y(t) et z=z(t) sont les coordonnées du vecteur dans le repère R = (O, X ; Y ; Z ) Alors on a : On en déduit : = x. X + y. Y + z. Z d R = x. X + y. Y + z. Z R

4 3.6- Dérivation dans un repère non fixe Si x=x(t), y=y(t) et z=z(t) sont les coordonnées du vecteur dans le repère R 1 = (O, X 1 ; Y 1 ; Z 1 ) Alors on a : = x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 On a donc : d R = x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 + x. d X 1 R + y. d Y 1 R + z. d Z 1 R Or d une part on a : x. X 1 + y. Y 1 + z. Z 1 = d R 1 d X 1 Et d autre part on montre que : x. + y. R + z. R = Ω R R1/R On en déduit donc que : d R = d Y 1 d R 1 + d Z 1 Ω R1/R 3- Différents type de mouvements d un solide 3.1- Définition Le mouvement d un solide 1 par rapport à un solide se définit par la variation des paramètres qui décrivent la position du solide 1 par rapport au solide Mouvement de translation n solide 1 est en mouvement de translation par rapport au solide si et seulement si l orientation de ce solide 1 est constante par rapport au solide (Constante par rapport à un repère R fixe par rapport à ) Pour un mouvement de translation, les paramètres définissant l orientation sont donc des constantes au cours du temps Mouvement de rotation Définition n solide 1 est en mouvement de rotation autour d un axe par rapport au solide si et seulement si la position des points de l axe appartenant au solide 1 est constante par rapport au solide (Constante par rapport à un repère R fixe par rapport à ) Vecteur rotation ou Taux de rotation Si un solide 1 est en rotation autour d un axe par rapport au solide alors on peut définir la position du solide par un angle α entre deux plans dont l intersection est l axe et dont l un est fixe par rapport au solide 1 et l autre fixe par rapport au solide. Alors, le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est le vecteur : = α. u où : Et : u est un vecteur unitaire porté par l axe α est la dérivée par rapport au temps de l angle α 3.4- Mouvement quelconque Tout mouvement est la composition d un mouvement de rotation et d un mouvement de translation. MPSI - Cinematique des Solides.docx page 4/8 1 u α

5 4.1- Définition 4- Trajectoire, vitesse et accélération pour un mouvement de rotation Si les solides 1 et sont en liaison pivot d axe alors le solide 1 est en rotation d axe par rapport au solide. Caractéristiques du mouvement On peut poser : α = ω : la vitesse angulaire du solide 1 par rapport au solide. C est la dérivée par rapport au temps de l angle α entre deux plans passant par et appartenant à et 1. Γ T Mh 1/ Γ Mh 1/ R M T Mh 1/ V Mh 1/ O M Γ C Mh 1/ O M le projeté du point M sur l axe. On a alors : [O M M] le rayon lié au point M. On note R la distance O M M 4.2- Vecteur rotation Le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est un vecteur : est parallèle à l axe 4.3- Trajectoires tel que : a pour module : Ω 1/ = α = ω Toutes les trajectoires des points appartenant au solide 1 par rapport au solide : T M 1/ sont : Des cercles : De centre O M De rayon R = O M M D axe Vitesses Les vitesses des points M du solide 1 par rapport au solide sont des vecteurs : V M 1/ est orthogonal au rayon O M M et à l axe de rotation V M 1/ a pour module : V M 1/ = α. R = ω. R V M 1/ tels que : 4.5- Accélérations Toutes les accélérations des points appartenant au solide 1 par rapport au solide : Peuvent être définies par la somme de deux composantes qui sont les accélérations : Γ M 1/ Tangentielle Γ T M 1/ telle que : Γ T M 1/ // V M 1/ Soit Γ T M 1/ O M M De module : Γ T M 1/ = α. R = ω. R Centripète Γ C M 1/ telle que : Γ C M 1/ // O M M et de sens vers l axe De module : Γ C M 1/ = α 2. R = ω 2. R MPSI - Cinematique des Solides.docx page 5/8

6 5.1- Définition 5- Vitesse et accélération pour un mouvement de translation n solide 1 est en mouvement de translation par rapport au solide si et seulement si l orientation de ce solide 1 est constante par rapport au solide. Les mouvements de translation peuvent être de plusieurs type suivant les trajectoires. On distingue trois principaux type de translation : Les translations rectilignes, circulaires ou quelconques. Si les solides 1 et sont en liaison glissière d axe alors le solide 1 est en translation rectiligne d axe par rapport à. Si le solide 1 est lié au solide par deux biellettes en liaisons pivot sur 1 et sur telles que les axes des pivots forment un parallélogramme déformable alors le solide 1 est en translation circulaire par rapport à Vecteur rotation Le vecteur rotation du solide 1 par rapport au solide est le vecteur : = 5.3- Trajectoires Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les trajectoires sont des droites parallèles à l axe. Pour un mouvement de translation circulaire toutes les trajectoires sont des cercles de même rayon. Pour un mouvement de translation quelconque les trajectoires sont des courbes quelconques Vitesses Quelque soit le mouvement de translation toutes les vitesses sont identiques. C'est-à-dire que : Quelque soit le mouvement de translation entre les solides 1 et et quelque soit les points A et B appartenant au solide 1, on a : V A 1/ = V B 1/ Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les vitesses sont parallèles à Accélérations Quelque soit le mouvement de translation toutes les accélérations sont identiques. C'est-à-dire que : Quelque soit le mouvement de translation entre les solides 1 et et quelque soit les points A et B appartenant au solide 1, on a : Γ A 1/ = Γ B 1/ Pour un mouvement de translation rectiligne d axe toutes les accélérations sont parallèles à. MPSI - Cinematique des Solides.docx page 6/8

7 6.1- Définition 6- Vitesse et accélération pour un mouvement quelconque Soit A et B deux point appartenant au solide 1. On sait que : or : Donc : V B 1/ = d OB R et : OB = OA + AB Soit : V B 1/ = V A 1/ + d AB R V A 1/ = d OA R dob = doa R + dab R R D autre part : dab R = dab R + Ω 1/ AB et : dab 1 R = car A et B appartiennent à 1. 1 On a donc quelque soit les points A et B appartenant au solide 1 : V B 1/ = V A 1/ + BA Ω 1/ Le mouvement d un solide 1 par rapport à un solide peut donc être décrit par : Le torseur cinématique : {V(1/)} = A V A 1/ Dont : la résultante est le vecteur rotation : Le moment en A est le vecteur vitesse du point A : V A 1/ Donc : {V(1/)} = B V B 1/ 6.2- Cas du mouvement de rotation Avec : V B 1/ = V A 1/ + BA Ω 1/ Si un solide 1 est en mouvement de rotation d axe par rapport à un solide, alors le torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à est : n glisseur d axe : {V(1/)} =O 6.3- Cas du mouvement de translation MPSI - Cinematique des Solides.docx page 7/8 le point O appartenant à Si un solide 1 est en mouvement de translation par rapport à un solide, alors le torseur cinématique du mouvement de 1 par rapport à est : n torseur couple : {V(1/)} =A V 1/ le point A on a : V A 1/ = V 1/

8 7.1- Loi de composition des vitesses 7- Loi de composition des mouvements Quelque soit les solides, 1 et 2 et le point A on démontre que : V A 2/ = V A 2/1 + V A 1/ et : Ω 2/ = Ω 2/1 + Ω 1/ Si on appelle : Ω 2/ et V A 2/ les vitesses absolues de rotation et du point A et V A 1/ les vitesses d entraînement de rotation et du point A Ω 2/1 et V A 2/1 les vitesses relatives de rotation et du point A Alors la vitesse absolue est la somme des vitesses relative et d entraînement Enoncé général de la loi Quelque soit les solides, 1 et 2 ; Le mouvement du solide 1 par rapport au solide est égal à la somme des mouvements du solide 1 par rapport au solide 2 et du solide 2 par rapport au solide. A Ω 2/ V A 2/ = A Ω 2/1 V A 2/1 + A V A 1/ Cette loi se traduit par l égalité des torseurs cinématiques ci-dessous. Si on appelle : 7.3- Composition des accélérations {V(2/)} = {V(2/1)} + {V(1/)} Le mouvement de 2 par rapport à le mouvement absolu Le mouvement de 1 par rapport à le mouvement d entraînement Le mouvement de 2 par rapport à 1 le mouvement relatif Alors le mouvement absolu est la somme des mouvements relatif et d entraînement. Quelque soit les solides, 1 et 2 et le point A on montre que : Γ A 2/ = Γ A 2/1 + Γ A 1/ + 2. Ω 1/ V A 2/1 Si on appelle : Γ A 2/ l accélération absolue du point A Γ A 1/ l accélération d entraînement du point A Γ A 2/1 l accélération relative du point A Alors l accélération absolue est la somme des accélérations relative et d entraînement et de l accélération de Coriolis. Soit : Avec : Γ Absolue = Γ Relative + Γ Coriolis = 2. Γ Entraînement + Ω Entraînement Γ Coriolis V Relative MPSI - Cinematique des Solides.docx page 8/8