3 ème Angle inscrit Feuille d exercices n 1

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1 3 ème ngle inscrit Feuille d exercices n 1 Exercice n 1 1. Tracer un cercle de centre et de rayon 3 cm. 2. Placer 3 points, et sur le cercle. 3. onstruire les trois tangentes à en,, et. Exercice n 2 est un cercle de centre et de diamètre 5 cm. ( d ) est une droite tangente en un point T au cercle 1. Quelle est la distance du point à la droite ( d )? 2. est un point de la droite ( d ), distinct de T. Démontrer que la droite ( T ) est tangente au cercle de centre qui passe par T. Exercice n 3 1. Tracer un cercle de centre et deux points et ' diamétralement opposés sur ce cercle. 2. onstruire les tangentes ( d ) et ( d ') en et ' au cercle et démontrer qu elles sont parallèles. Exercice n 4 (*). est un point de ce demi cercle. La tangente est un demi cercle de centre, de diamètre [ ] en à coupe la tangente en à au point P et la médiatrice du segment [ ] au point. 1. a. omparer les angles P a et P a puis les angles P a et P a. b. En déduire la nature du triangle P. 2. Démontrer que le cercle de centre passant par P est tangent en à la droite ( ). Exercice n 5 vec un logiciel de géométrie ou «à la main» : 1. onstruire un cercle de centre, puis quatre points,, et D sur ce cercle. 2. Á écrire dans le cahier de cours (schémas inclus) : hapitre : ngles inscrit et angle au centre I) Vocabulaire : n appelle NGLE U ENTRE l angle de sommet le centre du cercle, et dont les côtés passent par deux points du cercle. n appelle NGLE INSRIT l angle de sommet un point du cercle, et dont les côtés passent par deux points du cercle. n dit que deux angles INTEREPTENT le même arc l intersection de ces deux angles avec le cercle est un même arc de ce cercle. 3. Établir la conjecture : a. esurer les angles a et a. b. esurer l angle a D. c. Si vous travaillez sur un logiciel de géométrie, bougez le point sur le cercle.

2 d. Que semble-t-il se passer? Énoncez-le le plus précisément possible, de façon générale, en utilisant le vocabulaire vu dans le cours. Une fois validée par le professeur, écrivez cette propriété n 1 dans le cahier de cours, dans un paragraphe II, intitulé «Propriétés». ette propriété est à savoir par cœur. Exercice n 6 Démonstration de la propriété de l angle au centre et de l angle inscrit, dans le cas où le centre du cercle circonscrit au triangle est à l intérieur du triangle. 1. Pourquoi les triangles, et sont ils isocèles? 2. Quelle est la mesure de l angle a en fonction de la mesure de l angle a? 3. L angle a est nommé â. L angle a est nommé bˆ. L angle a est nommé ĉ. a. Exprimer la somme des angles du triangle en fonction de â, bˆ, et ĉ. b. En utilisant la propriété de la somme des angles dans un triangle, exprimer 2 â en fonction de bˆ et ĉ. c. Déduire du b et du 2 l expression de l angle a en fonction de bˆ et ĉ. d. En déduire, en factorisant par 2, l expression de l angle a en fonction de l angle inscrit a. Exercice n 7 Démonstration du fait que deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. 1. Exprimer l angle a en fonction de ' l angle a. 2. Exprimer l angle a ' en fonction de l angle a. 3. onclure. Énoncez la propriété démontrée le plus précisément possible, de façon générale, en utilisant le vocabulaire vu dans le cours. Une fois validée par le professeur, écrivez cette propriété n 2 dans le cahier de cours, dans un paragraphe II, intitulé «Propriétés». ette propriété est à savoir par cœur. Exercice n 8 Soit le cercle circonscrit à un triangle tel que a = 70 et = 5 cm et = 7 cm. n note le centre de ce cercle. 1. onstruire la figure. 2. n peut remarquer que a est un angle au centre. Peut on trouver un angle inscrit associé à cet angle au centre? 3. D après le cours, quelle relation y a t il entre cet angle inscrit et a? 4. En déduire la mesure de a.

3 Exercice n 9 Soit D un quadrilatère et son cercle circonscrit (construire d abord le cercle, puis le quadrilatère quelconque dont les sommets sont sur le cercle) ad est un angle inscrit. Quel arc intercepte t il? ad est lui aussi un angle inscrit. Quel arc intercepte t il? 3. Que peut on dire alors des angles a D et a D? Justifier. Exercice n 10 est un cercle de rayon 3 cm., et D sont trois points de tels que a D = 20 et [D] est un diamètre de. 1. Faire une figure. 2. Que peut on dire du triangle D? Justifier. 3. alculer la longueur au centième près. Exercice n 11 est un triangle isocèle en tel que a = 80 et, en centimètres, = 6. est un cercle de centre, circonscrit à ce triangle. [ ] est un diamètre de. 1. Faire une figure. 2. Que peut on dire du triangle? 3. alculer la longueur au millième près. Exercice n 12 Sur la figure ci contre, D est un trapèze D. isocèle de bases [ ] et [ ] n se propose de démontrer que a PD = a P. 1. iter deux angles inscrits qui interceptent l arc qui contient. 2. iter deux angles inscrits qui interceptent l arc D qui contient. 3. En déduire que a DP = a P. 4. Rédiger la conclusion.

4 Exercice n 1 Résultats ou indications (d) T Exercice n ,5 cm. 2. (d) est tgte à en T et (d), donc (T) et (T) sont perpendiculaires. est le centre du deuxième cercle, et T est sur ce deuxième cercle, donc (T) est un rayon de ce cercle et (T) est la tgte au deuxième cercle en T. Exercice n (d) et (d ) sont perpendiculaire à une même droite Exercice n 4 1. a. Dans les triangles P et P, = et le côté P est en commun. vec le théorème de Pythagore, on en déduit que P = P. eci veut donc dire que Pest sur la bissectrice de a. (P) étant la bissectrice de (d ) (d) a, a P = a P, et par conséquent, a P = ap = a P. De plus, a P = 90 a P = 90 (90 a P) = a P (ou par les angles alternes internes). b. P est isocèle en (angles à la base égaux) 2. au cercle de centre passant par P car P = (cf 1.b.). () et () sont perpendiculaires (médiatrice). P Exercice n 6

5 1. ême rayon. 2. a = a. 3. a. 2 d a+2 d b+2 d c 3.b. 2 d a = d b 2 d c 3.c. a = 2 d b+2 d c 3.d. a = 2 a Exercice n 8 1. centre du cercle circonscrit = intersections des mé Exercice n 9 3. Ils sont égaux. Exercice n Rectangle en. 3. 5,64 cm. Exercice n ,093 cm.