1. À partir des informations portées sur le graphique, reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant : x f (x) f (x) - 2 e²

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1 BACCALAUREAT BLANC n Epreuve: MATHEMATIQUES Série : ES Durée : 3 heures Coefficient : 5 L énoncé est constitué de 6 pages (I/6 à 6/6). Les eercices peuvent être traités dans n'importe quel ordre. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L'utilisation d'une calculatrice à alimentation autonome est autorisée, sous réserve qu il ne soit pas fait usage d'imprimante. Eercice 1 ( 5 points) Partie A Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique en annee, la courbe (C) représente une fonction f définie et dérivable sur R. La droite (T) est la tangente à la courbe (C) au point A d abscisse À partir des informations portées sur le graphique, reproduire sur votre copie et compléter le tableau suivant : f () f () - e². Résoudre graphiquement, dans R, les équations ou inéquations suivantes : a. f() = ; puis f() <. b. f () = 0 ; puis f () > 1 Partie B Soit la fonction numérique f définie sur R par f() = ( + )e - On désigne par (C) la courbe représentative de f. On ne demande pas de construire (C). 1. Déterminer la limite de f en -.. Déterminer la limite de f en +.. Comment se traduit graphiquement ce résultat? On rappelle que la limite en + de e est égal à Établir que pour tout réel, f ()= -(+1) e - En déduire le signe de f (), puis le tableau de variation de la fonction f. Démontrer que l équation f() = a deu solutions distinctes sur l intervalle [- ; ] et donner une valeur approchée à 10 - près de celles-ci. 1/6

2 Eercice (5 points) PARTIE A Le coût marginal de production est fonction de la quantité de médicaments produits. Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction C m définie pour les nombres réels de l intervalle [0 ; 10] par : 16 C m () = + où Cm() est eprimé en centaines d euros, en kilogrammes Étudier les variations de la fonction Cm sur l'intervalle [0 ; 10].. Dresser le tableau de variation de la fonction C m sur l'intervalle [0 ; 10]. PARTIE B On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu. Le bénéfice hebdomadaire (eprimé eu centaines d'euros) dépend de la masse (eprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l intervalle [1 ; 10] par : B() = 9 0,5² - 16 ln(+1) La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe Γ donnée ci-dessous. y a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l intervalle [1 ; 7] et strictement décroissante sur l intervalle [7 ; 10]. En déduire la quantité de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d euros) soit maimal. b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maimal en centaines d euros (arrondir à l euro).. Utiliser la courbe Γ pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité o de médicaments que l entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d argent. /6

3 Eercice 3 (5 points) Un client désirant louer une voiture auprès de la société Alizé doit formuler sa demande en précisant deu critères : la puissance du véhicule ; il a le choi entre deu catégories A ou B l équipement : voiture climatisée ou non climatisée. Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis d établir que 60 % des clients louent une voiture de catégorie A et que, parmi eu, 0 % désirent la climatisation. En revanche, 60 % des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation. 1. Traduire à l aide d un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.. Dans cette question, on donnera des résultats numériques eacts. On choisit au hasard un client et on définit les événements suivants : C1 = «le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée» C = «le client a choisi une voiture climatisée». a. Déterminer la probabilité de ces événements. b. Quelle est la probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu elle est climatisée? 3. On suppose que le nombre des clients est suffisamment important pour que la probabilité de choisir une voiture climatisée de catégorie A soit, pour chacun d eu, celle obtenue à la question et que leurs choi sont indépendants les uns des autres. On choisit au hasard trois clients. On considère le nombre de voitures de catégorie A climatisées louées par ces trois clients. a) Montrer que la probabilité pour que le nombre de voiture climatisées louées soit égal à 3 est 0,1 3. b) Déterminer la probabilité qu il y ait zéro voiture climatisée louée et en donner l arrondi à deu décimales. c) Déterminer la probabilité de l événement : «Au moins un des clients a choisi une voiture de catégorie A climatisée» et en donner l arrondi à deu décimales. 3/6

4 Eercice (5 points) Commun à tous les candidats Cet eercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choi Multiples). Chaque question admet une seule réponse eacte. On portera la réponse dans le tableau donné en annee. Barème : une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. Une absence de réponse aucun point. La note globale ne peut être négative. Question 1 : L epression f() = (1 + e - ) + 1 peut aussi s écrire a) f() = ln e + e - ( + e ) b) f() = e- c) f() = e e Question : On connaît les tableau de variation de deu fonctions f et g f() + g() 0 + Alors a) g[f(-1)] = -1 b) g[f(-)] = - c) g[f(-1)] = - 1 Question 3 : Dire que la droite d équation y = 1 est asymptote oblique à la courbe représentative d une fonction f en + dans un repère du plan revient à dire que : a) lim f () = -1 + inf b) lim [f () - ( - 1)] = + 0 c) lim [f () - ( - 1)] = 0 + inf Question : a et b sont deu réels strictement positifs, alors : a) ln (a + b) = ln(a) ln(b) b) ln (a + b) = ln(a) + ln 1 a + 1 b + ln(b) c) ln (a + b) = ln(a) + ln(b) Question 5 : soit C la courbe représentative de la fonction f dont le tableau de variation est donné ci-dessous. Sur ]-5 ; + [, cette courbe f' f() a) admet une seule asymptote, la droite d équation = -5 b) admet eactement deu asymptotes, les droites d équation = -,5 et y = -5 c) admet eactement deu asymptotes, les droites d équation y = -,5 et = -5,5 /6

5 Question 6 : soit C la courbe représentative de la fonction f dont le tableau de variation est donné à la question 5. On sait de plus que f () = 0 alors l équation de la tangente à C au point d abscisse est : a) y = b) y = ( ) c) = Question 7 : la fonction f définie par f() = 1 e- + ln ( + ) est une primitive sur ]- ; + [ de la fonction g définie sur ]- ; + [ par : a) g() = 1 e- + + b) g() = e- + + c) g() = e- + + Question 8 : l intégrale 1 3 d est égale à - 1 a) 0,5 b) 0 c) 0,5 Question 9 : A et B sont deu événements indépendants d un univers et sont tels que p(a) = 0,, p(b) = 0,3 et p(a B) = 0, alors p(a B) = a) 0,1 b) 0,5 c) 0,7 Question 10 : A et B sont deu événements indépendants d un univers et sont tels que p(a) = 0,, p(b) = 0,3 et p(a B) = 0, alors p A (B) = a) 3 b) 1 c) 3 5/6

6 Eercice 1 Partie A Annee à joindre à la copie y 3 e A T (C) - -3 Eercice Indiquer la réponse choisie par une croi dans la case correspondante. Question n Réponse a Réponse b Réponse c NOM : PRENOM : 6/6