Calcul stochastique appliqué à la finance. Introduction aux modèles d actifs à sauts

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Véronique Gascon
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1 Calcul stochastique appliqué à la finance Ioane Muni Toke Draft version 1 Introduction aux processus à sauts On énonce ici quelques concepts et résultats sur les processus à sauts. Certaines démonstrations seront faites en amphi. Pour des développements plus amples de ces notions, on pourra se reporter aux références données en bibliographie. 1.1 Une formule d Itô pour les processus à sauts Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité muni d une filtration (F t ) t T. On appelle processus à sauts un processus de la forme : X t = X + µ s ds+ σ s dw s +J(t), (1) avec µ et σ deux processusf t -adaptés, W un mouvement browniensous P et J t un processus adapté, continu à droite, purement discontinu (i.e. constant entre les sauts). On peut définir une intégrale stochastique par rapport à X t pour un processus φ t adapté : φ s dx s = φ s µ s ds+ φ s σ s dw s + <s t φ s J s, (2) avec J s = J(s) J(s ). Le théorème suivant permet donne des conditions suffisantes pour que cette intégrale soit une martingale. Théorème 1. Si le processus X défini en (1) est une martingale, alors pour tout processus ϕ F t -adapté, continu à gauche, et vérifiant la condition d intégrabilité [ t [,T, E σs 2 φ2 s ds < +, (3) 1

2 ECP - Option Mathématiques Appliquées - Majeure Finance ( ) le processus ϕ s dx s t est une F t -martingale. Notons Xt c = µ sds+ σ sdw s la partie continue duprocessusx défini en (1). De manière similaire au cas continu, on peut calculer la variation quadratique du processus à sauts X : X t = X c t + ( X(s)) 2, (4) <s t et la variation croisée de deux processus à sauts X 1 et X 2 : X 1,X 2 t = X c 1,X c 2 t + <s t X 1 (s) X 2 (s). (5) On peut finalement montrer une formule d Itô pour notre classe de processus à sauts. Théorème 2. Soit X un processus à sauts défini comme en (1) et f(t,x) une fontion de classe C 1,2 ([,T R). Alors : f(t,x t ) = f(,x )+ + d j=1 + <s t d 1 2 f t (s,x s )ds+ f ij (s,x s )d X i,c,x j,c s [f(s,x s ) f(s,x s ). 1.2 Rappels sur les processus de Poisson f i (s,x s )dx i,c s On rappelle ici quelques propriétés nécessaires à l étude de modèles financiers dans lesquels les sauts du sous-jacent sont modélisés par des processus de Poisson. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité. Soit N t un processus de Poisson d intensitéλadaptéàunefiltrationf t.ladistributiondepoissonestdonnée par : P(N t = k) = (λt)k e λt, (6) k! Proposition 1. N t est un processus à accroissements indépendants et stationnaires. Proposition 2. La fonction caractéristique de N t est : φ Nt (u) = E [ e iunt = exp { λt(e iu 1) }. (7) 2

3 Ioane Muni Toke Proposition 3. Le processus de Poisson compensé M t = N t λt est une F t -martingale sous P. Proposition 4. Soit (Y i ) une suite de variables aléatoires i.i.d. Le processus de Poisson composé Q t = N t Y i est à accroissements indépendants et stationnaires. Proposition 5. Le processus compensé Q t λe[y 1 t est une F t -martingale sous P. Proposition 6. Si W est un mouvement brownien défini sur (Ω,F,P) adapté à la filtration F t, alors W et N sont indépendants. 1.3 Théorème de changement de mesure d un processus de Poisson Un raisonnement comparable à celui utilisé pour montrer le théorème de Girsanov pour un mouvement brownien permet de définir un changement de probabilité dont la conséquence pour le processus de Poisson est un changement d intensité. Le processus de changement de mesure apparaît sous la forme suivante. Proposition 7. Soit X un processus à sauts défini comme en (1). Alors le processus { Z t = exp Xt c 1 } 2 Xc t (1+ X s ) (8) est solution de l EDS <s t dz t = Z t dx t, Z = 1 (9) On peut alors énoncer le théorème de changement de mesure pour un processus de Poisson : Théorème 3. Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité et N t un processus de Poisson d intensité λ sous P. Soit λ R + et Z le processus définit par : Z t = e (λ λ)t ) Nt ( λ. (1) λ Alors Z est une martingale d espérance 1 et sous la probabilité P définie par A F, P(A) = Z T dp, (11) (N t ) est un processus de Poisson d intensité λ. A 3

4 ECP - Option Mathématiques Appliquées - Majeure Finance 1.4 Décomposition d un processus de Poisson composé Soit (Ω,F,P) un espace deprobabilité. Soient (W t ) t T un mouvement brownien, Nt 1,...,Nt M M processus de Poisson indépendants d intensité λ m > et 1 < y 1 < y 2 <... < y M M réels non nuls. On pose N t = Nt m, Q t = M m=1 y mnt m. On a alors les résultats m=1 suivants (par calcul direct des fonctions caractéristiques). Proposition 8. N t est un processus de Poisson d intensité λ = Proposition 9. Q t est un processus de Poisson composé et s écrit λ m. m=1 N t Q t = Y i, (12) avec (Y i ) une suite de variables aléatoires i.i.d. et P(Y i = y m ) = λ m λ, m. Par conséquent, Q t λβt, où β = E[Y 1, est martingale sous P. 2 Un modèle brownien-poisson composé Cette section présente sous forme de TD une étude d un modèle d actif financier dont la variation du prix est due à un mouvement brownien et à un processus de Poisson composé défini comme à la section 1.4. Ce type de modèle a été étudié pour la première fois par Merton (1976), qui obtient la formule (16) (parfois dite formule de Merton). Pour des compléments de calcul stochastique sur ces modèles, on pourra consulter les ouvrages classiques (Lamberton 1998, Shreve 24). Gatheral (26) propose quelques résultats théoriques et empiriques pour une approche combinant les processus à sauts et la volatilité stochastique. 2.1 Modèle d actifs On pose la dynamique de prix du sous-jacent S : ds t = αs t dt+σs t dw t +S t d(q t βλt) = (α βλ)s t dt+σs t dw t +S t dq t (13) Evaluation d un call européen 1. Montrer par une méthode heuristique que : S t = S e (α βλ σ2 2 )t+σwt N t (1+Y i ) (14) 4

5 Ioane Muni Toke 2. Prouver ce résultat avec le lemme d Itô pour les processus discontinus. 3. Montrer qu il existe une probabilité risque-neutre P si et seulement si il existe θ R et λ 1,..., λ M des constantes positives telles que : P est-elle unique? α r = σθ + (λ m λ m )y m (15) 4. On note C BS t (x,k,t) le prix dans le modèle Black & Scholes standard du call européen de strike K et de maturité T à la date t, sachant S t = x. Montrer que dans le modèle d actif à saut, le prix du call européen s écrit (en posant β = Ẽ[Y 1) : C(t,x) = + j= [ λ j (T t) j λ(t t) e j! Ẽ C BS (xe λ β(t t) Approche EDP et couverture en delta j (1+Y i ),K,T). 1. Donner une équation aux dérivées partielles vérifiée par C(t, x). (16) 2. Pour essayer de couvrir la vente d un call, on construit un portefeuille de capital initial X = C(,S ) et contenant une quantité t de l actif S. Montrer que d(e rt X t ) = e [σ rt t S t d W t + t S t d(q t β λt). 3. Calculer d(e rt C(t,S t )) d(e rt X t ). En déduire le comportement de la couverture si on utilise la couverture en delta classique t = C x (t,x). Références Gatheral, J. (26), The Volatility Surface : A Practitioner s Guide, Wiley. Lamberton, D. (1998), Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, 2e edn, Ellipses Marketing. Merton, R. C. (1976), Option pricing when underlying stock returns are discontinuous, Journal of Financial Economics 3(1-2), Shreve, S. E. (24), Stochastic Calculus for Finance II : Continuous- Time Models (Springer Finance), 1st ed. 24. corr. 2nd printing edn, Springer. 5

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